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VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数(曲線)

OVERVIEW

1変数のベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、値としてユークリッド空間上の点をとるような写像をベクトル値関数や曲線などと呼びます。本節ではベクトル値関数が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後にベクトル値関数の微分について学ぶ上での前提知識となります。

TABLE OF CONTENTS

目次

VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数(曲線)

ベクトル値関数(曲線)の概念を定義します。

ベクトル値関数(曲線)の定義

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、値としてユークリッド空間の点をとる写像をベクトル値関数や曲線などと呼びます。

ベクトル値関数のグラフ

ベクトル値関数 f が与えられたとき、y=f(x) を満たすベクトル (x,y) からなる集合を f のグラフと呼びます。

LIMIT OF VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数の極限

ベクトル値関数が収束することの意味を定義した上で、収束すること・収束しないことを判定する方法を解説します。

成分関数を用いたベクトル値関数の収束判定

ベクトル値関数(曲線)が収束することと、そのすべての成分関数が収束することは必要十分です。したがって、ベクトル値関数の収束可能性に関する議論は、1変数関数である成分関数の収束可能性に関する議論に帰着させられます。

点列を用いたベクトル値関数の収束判定

ベクトル値関数(曲線)の収束可能性に関する議論は点列の収束可能性に関する議論に置き換えられます。さらに、点列の収束可能性に関する議論は座標数列の収束可能性に関する議論に置き換えることができるため、結局、ベクトル値関数の収束可能性に関する議論を数列の収束可能性に関する議論に帰着させることができます。

ONE-SIDED LIMIT OF VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数の片側極限

ベクトル値関数の変数が点に近づいていく際の経路を指定する形で極限を定義することも可能であり、その場合の極限を片側極限と呼びます。

ベクトル値関数の片側極限

1変数のベクトル値関数(曲線)の変数が点に限りなく近づいていく際の経路を指定する形で定義される極限概念を片側極限と呼びます。

LIMIT AT INFINITY OF VECTOR VALUED FUNCTION

無限大におけるベクトル値関数の極限

ベクトル値関数の変数が限りなく大きくなる場合や限りなく小さくなる場合の極限について解説します。

PROPERTIES OF LIMIT OF VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数の極限の性質

ベクトル値関数の極限と関連する基本的な性質について解説します。

収束するベクトル値関数と有界性・局所有界性

ベクトル値関数(曲線)が有界であること、点の周辺において局所有界であることの意味を定義します。ベクトル値関数が収束する場合、有界であるとは限らない一方で、局所有界であることは保証されます。

CONTINUITY OF VECTOR VALUED FUNCTION

べクトル値関数の連続性

ベクトル値関数が連続であることの意味を定義します。

ベクトル値関数の連続性

ベクトル値関数(曲線)が定義域上の点において収束するとともに、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。

PROPERTIES OF CONTINUOUS VECTOR VALUED FUNCTION

連続なベクトル値関数の性質

連続なベクトル値関数が満たす性質について解説します。

ベクトル値関数のスカラー倍の連続性

連続な1変数のベクトル値関数のスカラー倍として定義されるベクトル値関数もまた連続です。同様に、片側連続(右側連続・左側連続)なベクトル値関数のスカラー倍として定義されるベクトル値関数もまた片側連続です。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

前提知識

以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。

数列

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。

1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

ベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。

多変数関数(スカラー場)

多変数関数(スカラー場)という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。

多変数のベクトル値関数(ベクトル場)

本節では多変数のベクトル値関数(ベクトル場)が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後に多変数のベクトル値関数の微分について学ぶ際の前提知識となります。

ベクトル値関数の微分

曲線(1変数のベクトル値関数)について、その微分を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

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