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VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数(曲線)

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

実数空間もしくはその部分集合を定義域とし、値としてユークリッド空間上の点をとるような写像をベクトル値関数や曲線などと呼びます。

本節ではベクトル値関数が収束することの意味や、連続であることの意味を解説します。本節で得られる知識は後にベクトル値関数の微分について学ぶ上での前提知識となります。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

ベクトル値関数(曲線)

ベクトル値関数(曲線)の概念を定義します。

SECTION 2

ベクトル値関数の極限

ベクトル値関数が収束することの意味を定義した上で、収束すること・収束しないことを判定する方法を解説します。

成分関数を用いたベクトル値関数の収束判定

ベクトル値関数(曲線)が収束することと、そのすべての成分関数が収束することは必要十分です。したがって、ベクトル値関数の収束可能性に関する議論は、1変数関数である成分関数の収束可能性に関する議論に帰着させられます。

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点列を用いたベクトル値関数の収束判定

ベクトル値関数(曲線)の収束可能性に関する議論は点列の収束可能性に関する議論に置き換えられます。さらに、点列の収束可能性に関する議論は座標数列の収束可能性に関する議論に置き換えることができるため、結局、ベクトル値関数の収束可能性に関する議論を数列の収束可能性に関する議論に帰着させることができます。

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SECTION 3

ベクトル値関数の片側極限

ベクトル値関数の変数が点に近づいていく際の経路を指定する形で極限を定義することも可能であり、その場合の極限を片側極限と呼びます。

SECTION 4

準備中

準備中です。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。

数列

数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。

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1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

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ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

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ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

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ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

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ベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

多変数関数の微分

スカラー場(多変数関数)について、その微分(偏微分・方向微分・全微分)を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

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