ベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係
定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \) \(\left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。
その上で、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap \left( X\backslash
\left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。
このようなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいてベクトル値関数が有限なベクトルへ収束することを証明するのは面倒です。ベクトル値関数の極限は1変数関数の極限を用いて表現できます。順番に解説します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素である実数\(x\in X\)に対して定める像は\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}\left(x\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、関数\(f_{i}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する実数値関数です。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数と呼びます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束する場合、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が有限なベクトルへ収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
以上の2つの命題により、ベクトル値関数の収束という概念は、1変数関数である成分関数の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&x\left( t\right) \boldsymbol{i}+y\left( t\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。定義域の\(T\)の集積点\(t_{0}\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、先の命題より、\(t\rightarrow t_{0}\)の場合に\(\boldsymbol{r}\)が有限なベクトルへ収束することと、\(\boldsymbol{r}\)のすべての成分関数\(x,y:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} \)が\(t\rightarrow t_{0}\)の場合に有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow t_{0}}\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}x\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}y\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}x\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}y\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&x\left( t\right) \boldsymbol{i}+y\left( t\right) \boldsymbol{j}+z\left(
t\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。定義域の\(T\)の集積点\(t_{0}\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、先の命題より、\(t\rightarrow t_{0}\)の場合に\(\boldsymbol{r}\)が有限なベクトルへ収束することと、\(\boldsymbol{r}\)のすべての成分関数\(x,y,z:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} \)が\(t\rightarrow t_{0}\)の場合に有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow t_{0}}\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}x\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}y\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}z\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}x\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}y\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow t_{0}}z\left(
t\right) \right] \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
ベクトル値関数が収束することの判定
先の命題より、ベクトル値関数の収束に関する議論を、1変数関数である成分関数の収束に関する議論に置き換えることができます。つまり、ベクトル値関数の収束可能性を判定する際に、イプシロン・デルタ論法を利用する必要はなく、1変数関数の極限に関する知識を動員できます。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} \)の集積点です。そこで、先の命題を用いて、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するか判定します。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =x^{2}-x
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
x^{2}-x\right) \quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}x^{2}-\lim_{x\rightarrow 0}x\quad \because \text{多項式関数の極限} \\
&=&0^{2}-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =x+1
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
x+1\right) \quad \because f_{2}\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}x+\lim_{x\rightarrow 0}1\quad \because \text{多項式関数の極限} \\
&=&0+1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。
\begin{array}{c}
\frac{x-1}{x+1} \\
\frac{e^{x}-1}{x} \\
2x^{2}-\pi
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \)の集積点です。そこで、先の命題を用いて、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するか判定します。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =\frac{x-1}{x+1}
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
\frac{x-1}{x+1}\right) \quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( x-1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( x+1\right) }\quad \because \text{有理関数の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}x-\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}x+\lim\limits_{x\rightarrow 0}1}\quad \because
\text{多項式関数の極限} \\
&=&\frac{0-1}{0+1} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{x}
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
\frac{e^{x}-1}{x}\right) \quad \because f_{2}\text{の定義}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}}{1}\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 0}e^{x}}{\lim\limits_{x\rightarrow 0}1} \\
&=&\frac{e^{0}}{1}\quad \because \text{指数関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\begin{equation*}
f_{3}\left( x\right) =2x^{2}-\pi
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{3}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
2x^{2}-\pi \right) \quad \because f_{3}\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}2x^{2}-\lim_{x\rightarrow 0}\pi \\
&=&2\cdot 0^{2}-\pi \quad \because \text{多項式関数の極限} \\
&=&-\pi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}f_{3}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
-\pi
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。
ベクトル値関数が収束しないことの証明
先の命題はベクトル値関数が収束するための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が収束しないことを判定する上でも有用です。
つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)の少なくとも1つの成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しない場合、先の命題より、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束しません。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x^{2}} \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の集積点です。そこで、先の命題を用いて、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束するか判定します。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
\frac{1}{x^{2}}\right) \quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は有限なベクトルへ収束しません。
演習問題
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right) \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow \frac{\pi }{4}\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
e^{x} \\
-2\cos \left( \pi x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left( x\right) }{x} \\
x^{2}-3x+3 \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
\begin{array}{c}
\sqrt{x^{2}+3x-1} \\
-4x+3 \\
-\sin \left( \frac{\left( x+1\right) \pi }{2}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(\boldsymbol{f}\)の定義域であり、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}+3x-1\geq 0\right\}
\end{equation*}です。\(x\rightarrow 2\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
\boldsymbol{r}\left( t\right) =\left( 1+t^{3}\right) \boldsymbol{i}+te^{-t}\boldsymbol{j}+\frac{\sin \left( t\right) }{t}\boldsymbol{k}
\end{equation*}について、極限\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow 0}\boldsymbol{r}\left( t\right)
\end{equation*}を計算してください。
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