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曲線の片側極限

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曲線の片側極限

復習になりますが、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとき、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に限りなく近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記しました。また、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の論理式中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)については、\(x<a\)もしくは\(x>a\)のどちらか一方が起こり得ます。つまり、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていくプロセスにおいて、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値をとる場合もあると言うことです。言い換えると、上の論理式において、\(x\)がどのような経路を辿って\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などの経路が可能性として起こり得ます。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず\(b\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。これに対し、\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際の経路を限定した上で曲線の収束可能性を議論することもできます。以下で具体的に解説します。

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも大きい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。以上の条件をあえて定式化すると、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a,a+\varepsilon \right) \subset X
\end{equation*}となります。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に限りなく近づく場合、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側極限(right-hand limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)と点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合、\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<x-a<\delta \)に置き換えれば、それはそのまま右側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上が曲線の右側極限の厳密な定義です。

例(曲線の右側極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は関数に他なりません。この曲線\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において点\(b\in \mathbb{R} \)に右側から収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\left( f\left( x\right) -b\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは関数\(f\)が点\(a\)において点\(b\)へ右側から収束することの定義に他なりません。したがって、曲線の右側極限は関数の右側極限の一般化です。
例(曲線の右側極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において点\(b=\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} \)に右側から収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\left( f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right)
^{2}+\left( f_{2}\left( x\right) -b_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。ただし、\(f_{i}\ \left( i=1,2\right) \)は\(f\)の座標関数です。

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも小さい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。以上の条件をあえて定式化すると、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a\right) \subset X
\end{equation*}となります。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に限りなく近づく場合、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の左側極限(left-hand limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)と点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<-\left( x-a\right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-a<0\)に置き換えれば、それはそのまま左側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上が曲線の左側極限の厳密な定義です。

例(曲線の左側極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は関数に他なりません。この曲線\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において点\(b\in \mathbb{R} \)に左側から収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\left( f\left( x\right) -b\right) ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは関数\(f\)が点\(a\)において点\(b\)へ左側から収束することの定義に他なりません。したがって、曲線の左側極限は関数の左側極限の一般化です。
例(曲線の左側極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において点\(b=\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} \)に左側から収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\left( f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right)
^{2}+\left( f_{2}\left( x\right) -b_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。ただし、\(f_{i}\ \left( i=1,2\right) \)は\(f\)の座標関数です。

曲線の右側極限と左側極限を総称して片側極限(one-sided limit)と呼びます。

例(曲線の片側極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。詳しい議論は演習問題として出題しますが、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\left( 0,0\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}となります。この例が示唆するように、曲線がある点において右側極限と左側極限の両方を持つ場合、両者は一致するとは限りません。

 

曲線の片側極限と座標関数の片側極限の関係

曲線が片側収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは面倒です。また、証明を行う際に片側極限の候補が必要になるという問題もあります。ただ、これらの問題は以下の理由により解決可能です。

曲線がある点において右側から収束することと、その曲線のそれぞれの座標関数がその点において右側から収束することは必要十分です。つまり、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において右側から収束することは、\(f\)のそれぞれの座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\)において右側から収束することと必要十分であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

まずは十分性の証明です。曲線\(f\)が点\(a\)において点\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \)へ右側から収束するものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つということです。上の論理式の結論は両辺とも正であるため、このとき、\begin{equation}
\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}
\quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。任意の\(i\)について\(\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}\geq 0\)であることを踏まえると、\begin{equation*}
\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}\leq \sum_{i=1}^{m}\left(
f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}
\end{equation*}を得ますが、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}を得ます。したがって座標関数\(f_{i}\)は点\(a\)において\(b_{i}\)へ右側から収束します。任意の\(i\)について同様の議論が成り立つため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました(必要性の証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(曲線の右側極限と座標関数の右側極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のすべての座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ右側から収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側から収束するための必要十分条件であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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左側極限についても同様の主張が成り立ちます。証明は右側極限に関する上の命題と同様です。

命題(曲線の左側極限と座標関数の左側極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のすべての座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において有限な実数へ左側から収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側から収束するための必要十分条件であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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曲線がある点において右側(もしくは左側)から収束することを示したい場合には、その曲線のすべての座標関数がその点において右側(もしくは左側)から収束することを示せばよいということです。さらに、それぞれの座標関数の右側極限(もしくは左側極限)を成分とする点が、もとの曲線の右側極限(もしくは左側極限)と一致します。上の命題は、曲線の片側極限に関する問題が、関数の片側極限に関する問題へと帰着させられることを示唆しています。関数の片側極限について学んだ知識は、曲線の片側極限を考える上でも利用できるというわけです。

例(曲線の片側極限と座標関数の片側極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos x \\
\sin x\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において右側収束可能であるかどうかを検討しようとしている状況を想定します。座標関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\cos x=1
\\
\lim_{x\rightarrow 0+}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\sin x=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、上の命題より\(f\)もまた点\(0\)において右側から収束し、そこでの右側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left( 1,0\right)
\end{equation*}となります。また、 \(f\)が点\(\pi \)において左側収束可能であるかどうかを検討しようとしている状況を想定します。座標関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \pi -}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi
-}\cos x=-1 \\
\lim_{x\rightarrow \pi -}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi
-}\sin x=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、上の命題より\(f\)もまた点\(\pi \)において左側から収束し、そこでの左側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) =\left( -1,0\right)
\end{equation*}となります。

 

曲線の片側極限と点列の極限の関係

曲線の極限が点列の極限を用いて表現できるのと同様、曲線の片側極限もまた点列の極限を用いて表現できます。曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において右側から収束するものとします。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{v}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{v}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点であるため、これを項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)へ収束することが保証されます。証明は以下の通りです。

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)が成り立つものとします。つまり、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) \right) <\varepsilon \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。その上で、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(a\)へ収束することから、\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \left\vert x_{v}-a\right\vert <\delta \right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(X\)の任意の項\(x_{v}\)は\(a\)より大きい実数であるため、上の論理式は、\begin{equation}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow 0<x_{v}-a<\delta \right) \quad\cdots (2)
\end{equation}と言い換え可能です。\(x_{v}\in X\)であることを踏まえると、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}
d\left( f\left( x_{v}\right) ,\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論により、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow d\left( f\left( x_{v}\right)
,\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されましたが、これは点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)へ収束することの定義に他なりません。

命題(曲線の右側極限と点列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このとき、曲線\(f\)が点\(a\)において右側から収束するならば、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)もまた収束し、さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =\lim_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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上の命題の逆もまた成立します。つまり、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が収束する場合には、曲線\(f\)が点\(a\)において右側から収束することが保証されるとともに、その極限が、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left(
x_{v}\right)
\end{equation*}を満たします(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(曲線の右側極限と点列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が収束するならば、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つならば、曲線\(f\)が点\(a\)において右側から収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left(
x_{v}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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この命題について注意しなければならないのは、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する任意の数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が右側から収束することを前提条件として保証する必要があるということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が少なくとも1つは存在することを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、曲線の右側極限という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。したがって、曲線の右側極限に関する議論を、点列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

命題(曲線の右側極限と点列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)とが与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において右側から収束するための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{v\rightarrow +\infty
}f\left( x_{v}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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左側極限についても同様の主張が成り立ちます。証明は右側極限に関する上の命題と同様です。

命題(曲線の左側極限と点列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)とが与えられたとき、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において左側から収束するための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\lim\limits_{v\rightarrow +\infty
}f\left( x_{v}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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以上の2つの命題は、曲線の片側極限に関する問題が、ユークリッド空間上の点列の極限に関する問題に帰着させられることを示唆しています。点列の極限について学んだ知識は、曲線の片側曲線を考える上でも利用できるということです。ただ、ユークリッド空間上の点列が収束することを示すのはやや面倒です。ただ、このような問題は以下の理由により解決できます。

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表します。先の命題中の\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}
f\left( x_{v}\right) =\left( f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{v}\right) \right)
\end{equation*}と表せるため、点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)から\(m\)個の座標数列\(\{f_{1}\left( x_{v}\right) \},\cdots ,\{f_{m}\left( x_{v}\right) \}\)を得ることができます。これら\(m\)個の数列がすべて収束することは、点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が収束するための必要十分条件であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =\left(
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots
,\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x_{v}\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実を踏まえると、右側極限に関する先の命題を以下のように言い換えることができます。

命題(曲線の右側極限と数列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)のそれぞれの座標数列\(\left\{ f_{i}\left( x_{v}\right) \right\} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が有限な実数へ収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において右側から収束するための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{v\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots ,\lim\limits_{v\rightarrow +\infty
}f_{m}\left( x_{v}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
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左側極限についても同様の主張が成り立ちます。証明は右側極限に関する上の命題と同様です。

命題(曲線の左側極限と数列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)のそれぞれの座標数列\(\left\{ f_{i}\left( x_{v}\right) \right\} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が有限な実数へ収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において左側から収束するための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{v\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots ,\lim\limits_{v\rightarrow +\infty
}f_{m}\left( x_{v}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
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以上の2つの命題は、曲線の片側極限に関する問題が、数列の極限に関する問題に帰着させられることを示唆しています。数列の極限について学んだ知識は、曲線の片側極限を考える上でも利用できるというわけです。

例(曲線の片側極限と数列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において右側から収束するかどうかを検討しようとしている状況を想定します。点\(0\)よりも大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}
\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right)
,f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( 1,1\right) \right\} \quad \because x_{v}>0
\end{eqnarray*}を作ると、座標数列である\(\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right) \right\} \)と\(\left\{ f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \)はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }1=1 \\
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }1=1
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、曲線\(f\)は点\(0\)において右側から収束し、そこでの右側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}f_{1}\left( x_{v}\right) ,\lim_{v\rightarrow \infty }f_{2}\left(
x_{v}\right) \right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}となります。また、\(f\)が点\(0\)において左側から収束するかどうかを検討しようとしている状況を想定します。点\(0\)よりも小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}
\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right)
,f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \quad \because x_{v}<0
\end{eqnarray*}を作ると、座標数列である\(\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right) \right\} \)と\(\left\{ f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \)はそれぞれ、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }0=0 \\
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }0=0
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、曲線\(f\)は点\(0\)において左側から収束し、そこでの左側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}f_{1}\left( x_{v}\right) ,\lim_{v\rightarrow \infty }f_{2}\left(
x_{v}\right) \right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}となります。

 

曲線の片側極限の一意性

曲線が右側から収束するとき、その右側極限はそれぞれの座標関数の右側極限を成分とする点と一致することが明らかになりました。一般に、関数の右側極限が存在する場合には一意的であるため、座標関数の右側極限もまた一意的です。したがって、曲線の右側極限が存在する場合には一意的です。同様の理由により、曲線の左側極限が存在する場合には一意的です。

命題(曲線の片側極限の一意性)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)に関して右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を持つ場合、それは一意的である。また、\(f\)が\(a\)において左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を持つ場合、それは一意的である。
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曲線の極限と片側極限の関係

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)において右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)や左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)を持つとは限りません。また、先に例を通じて確認したように、たとえ左右の極限が存在する場合においても両者が一致するとは限りません。一方、曲線が点\(a\)において左右の極限を持ち、それらが一致することは、\(f\)が\(a\)において通常の極限を持つための必要十分条件です。しかもその場合、極限の値と左右の片側極限の値は一致します。証明は以下の通りです。

曲線\(f\)が点\(a\)において通常の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)を持つことは、その任意の座標関数\(f_{i}\)が点\(a\)において通常の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right) \)を持つための必要十分条件であるとともに、これらの極限の間には、\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left(
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{n}\left( x\right) \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。さらに、それぞれの座標関数\(f_{i}\)が点\(a\)において通常の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right) \)を持つことは、\(f_{i}\)が\(a\)において左右の片側極限を持つための必要十分条件であるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{i}\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f_{i}\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{i}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。この関係を踏まえると、\(\left( 1\right) \)は、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}と言い換え可能であるため証明が完了しました。

命題(曲線の極限と片側極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を満たすことは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題より、曲線\(f\)が点\(a\)において右側極限や左側極限を持たない場合や、右側極限と左側極限の双方が存在するがそれらが異なる点である場合などには、\(f\)は\(a\)において通常の極限を持ちません。

次回は変数が無限大の値をとる場合の曲線の極限について学びます。

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