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VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数の片側極限

目次

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ベクトル値関数の右側極限

復習になりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に限りなく近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記しました。また、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の論理式中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)について\(x<a\)もしくは\(x>a\)のどちらか一方が起こり得ます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていくプロセスにおいて、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値をとる場合もあるということです。言い換えると、上の論理式において、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などの経路が可能性として起こり得ます。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず\(b\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。これに対し、\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際の経路を限定した上で、ベクトル値関数の収束可能性を議論することもできます。以下で具体的に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも大きい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に限りなく近づく場合、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側極限(right-hand limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合、\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<x-a<\delta \)に置き換えれば、それはそのまま右側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上がベクトル値関数の右側極限の厳密な定義です。

例(ベクトル値関数の右側極限)
\(m=2\)の場合のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right] ^{2}+\left[ f_{2}\left( x\right) -b_{2}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)は\(f\)の成分関数です。関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,\sqrt{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( 0<x-0<\delta \Rightarrow \sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left(
\sqrt{x}-0\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( 0<x<\delta \Rightarrow \sqrt{x^{2}+x}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{\sqrt{2}}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
0<x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}+x} &<&\sqrt{\delta ^{2}+\delta }\quad \because \left( 2\right)
\\
&<&\sqrt{\delta ^{2}+\delta ^{2}}\quad \because \delta >0 \\
&=&\sqrt{2}\delta \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(ベクトル値関数の右側極限)
\(m=1\)の場合のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ f\left( x\right) -b\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは1変数関数の右側極限の定義に他なりません。つまり、ベクトル値関数の右側極限は1変数関数の右側極限の一般化です。

 

ベクトル値関数の左側極限

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも小さい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に限りなく近づく場合、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の左側極限(left-hand limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<-\left( x-a\right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-a<0\)に置き換えれば、それはそのまま左側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上がベクトル値関数の左側極限の厳密な定義です。

例(ベクトル値関数の左側極限)
\(m=2\)の場合のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right] ^{2}+\left[
f_{2}\left( x\right) -b_{2}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)は\(f\)の成分関数です。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,x^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-0<0\Rightarrow \sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left(
x^{2}-0\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x<0\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x^{4}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。\(-1<x<0\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}+x^{4}} &<&\sqrt{x^{2}+x^{2}}\quad \because -1<x<0 \\
&=&\sqrt{2}\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( -1<x<0\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x^{4}}<\sqrt{2}\left\vert x\right\vert
\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{\sqrt{2}}\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を任意に選ぶと、\begin{equation}-\delta <x<0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}+x^{4}} &<&\sqrt{2}\left\vert x\right\vert \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&-\sqrt{2}\cdot x\quad \because \left( 3\right) \\
&<&\sqrt{2}\cdot \delta \\
&<&\sqrt{2}\cdot \frac{\varepsilon }{\sqrt{2}}\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(ベクトル値関数の左側極限)
\(m=1\)の場合のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\left[ f\left( x\right) -b\right] ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは1変数関数の左側極限の定義に他なりません。つまり、ベクトル値関数の左側極限は1変数関数の左側極限の一般化です。

 

ベクトル値関数の片側極限

ベクトル値関数の右側極限と左側極限を総称して片側極限(one-sided limit)と呼びます。

例(ベクトル値関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}f\left(
x\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。これは右側極限と左側極限がともに存在し、なおかつそれらが一致する例です。

例(ベクトル値関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\left( 1,1\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります(演習問題)。この例が示唆するように、ベクトル値関数がある点において右側極限と左側極限の両方を持つ場合、両者は一致するとは限りません。

 

ベクトル値関数の片側極限の一意性

ベクトル値関数が右側収束するとき、その右側極限は1つの点として定まります。また、ベクトル値関数が左側収束するとき、その左側極限は1つの点として定まります。

命題(ベクトル値関数の片側極限の一意性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)に関して右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を持つ場合、それは一意的である。また、\(f\)が点\(a\)において左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を持つ場合、それは一意的である。
証明

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演習問題

問題(ベクトル値関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}f\left(
x\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

証明

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問題(ベクトル値関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\left( 1,1\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを示してください。

証明

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