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1変数のベクトル値関数

ベクトル値関数の片側極限(右側極限・左側極限)

目次

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ベクトル値関数の極限の定義が想定している状況

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。その上で、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap \left( X\backslash
\left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

このような関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。

先の命題中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)に対して\(x<a\)または\(x>a\)のどちらか一方が成り立ちます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際には、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、先の命題において、\(x\)がどのような経路をたどって\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}など、あらゆる経路が起こり得ることを想定した表現になっています。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が必ず\(\boldsymbol{b}\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}で表記するということです。これに対し、\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際の経路を限定した上で、関数の収束可能性を議論することもできます。以下で具体的に解説します。

 

ベクトル値関数の右側極限

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が必ずベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づけるときに\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{b}\)へ右側収束する(right-hand converge)と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\text{のとき}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\rightarrow \boldsymbol{b}
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(\boldsymbol{b}\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(\boldsymbol{f}\)の右側極限(right-hand limit)と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という前提条件を採用しています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合、\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべき前提条件を、\begin{equation*}0<x-a<\delta
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま右側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}で表記するということです。以上がベクトル値関数の右側極限の厳密な定義です。

例(ベクトル値関数の右側極限)
\(m=2\)の場合のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right] ^{2}+\left[ f_{2}\left( x\right) -b_{2}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。
例(ベクトル値関数の右側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
\sqrt{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( 0<x-0<\delta \Rightarrow \sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left(
\sqrt{x}-0\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( 0<x<\delta \Rightarrow \sqrt{x^{2}+x}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{\sqrt{2}}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
0<x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}+x} &<&\sqrt{\delta ^{2}+\delta }\quad \because \left( 2\right)
\\
&<&\sqrt{\delta ^{2}+\delta ^{2}}\quad \because \delta >0 \\
&=&\sqrt{2}\delta \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(ベクトル値関数の右側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
\sqrt{-x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} _{-}\ |\ x>0\right\} =\phi
\end{equation*}の集積点ではないため、\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束するか検討することさえできません。
例(ベクトル値関数の右側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合の右側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題)。

例(ベクトル値関数の右側極限)
\(m=1\)の場合のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ f\left( x\right) -b\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは1変数関数の右側極限の定義に他なりません。つまり、ベクトル値関数の右側極限は1変数関数の右側極限の一般化です。

 

ベクトル値関数の左側極限

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が必ずベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づけるときに\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{b}\)へ左側収束する(left-hand converge)と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\text{のとき}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\rightarrow \boldsymbol{b}
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(\boldsymbol{b}\)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(\boldsymbol{f}\)の左側極限(left-hand limit)と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という前提条件を採用しています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべき前提条件を、\begin{equation*}0<-\left( x-a\right) <\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\delta <x-a<0
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま左側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ -\delta
<x-a<0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}で表記するということです。以上がベクトル値関数の左側極限の厳密な定義です。

例(ベクトル値関数の左側極限)
\(m=2\)の場合のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
b_{1} \\
b_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right] ^{2}+\left[
f_{2}\left( x\right) -b_{2}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。
例(ベクトル値関数の左側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-0<0\Rightarrow \sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left(
x^{2}-0\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x<0\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x^{4}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。\(-1<x<0\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}+x^{4}} &<&\sqrt{x^{2}+x^{2}}\quad \because -1<x<0 \\
&=&\sqrt{2}\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( -1<x<0\Rightarrow \sqrt{x^{2}+x^{4}}<\sqrt{2}\left\vert x\right\vert
\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}です。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{\sqrt{2}}\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を任意に選ぶと、\begin{equation}-\delta <x<0 \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}+x^{4}} &<&\sqrt{2}\left\vert x\right\vert \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&-\sqrt{2}\cdot x\quad \because \left( 3\right) \\
&<&\sqrt{2}\cdot \delta \\
&<&\sqrt{2}\cdot \frac{\varepsilon }{\sqrt{2}}\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(ベクトル値関数の左側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
\sqrt{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x<0\right\} =\phi
\end{equation*}の集積点ではないため、\(x\rightarrow 0-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が左側収束するか検討することさえできません。
例(ベクトル値関数の左側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0-\)の場合の右側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題)。

例(ベクトル値関数の左側極限)
\(m=1\)の場合のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\left[ f\left( x\right) -b\right] ^{2}}<\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは1変数関数の左側極限の定義に他なりません。つまり、ベクトル値関数の左側極限は1変数関数の左側極限の一般化です。

 

ベクトル値関数の片側極限の一意性

ベクトル値関数の右側極限と左側極限を総称して片側極限(one-sided limit)と呼びます。

ベクトル値関数が右側収束するとき、その右側極限は1つのベクトルとして定まります。また、ベクトル値関数が左側収束するとき、その左側極限は1つのベクトルとして定まります。

命題(ベクトル値関数の片側極限の一意性)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である状況において、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(\boldsymbol{f}\)がベクトルへ右側収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この右側極限は1つのベクトルとして定まる。また、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点である状況において、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(\boldsymbol{f}\)がベクトルへ右側収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この左側極限は1つのベクトルとして定まる。

証明

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ベクトル値関数の右側極限と左側極限は一致するとは限らない

ベクトル値関数の右側極限と左側極限は一致するとは限りません。

まずは、右側極限と左側極限が一致する例を挙げます。

例(右側極限と左側極限が一致する場合)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成立しています(演習問題)。

続いて、右側極限と左側極限が一致しない例を挙げます。

例(ベクトル値関数の片側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow
0-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成立しています(演習問題)。

最後に、右側極限または左側極限の一方が定義不可能な例を挙げます。

例(右側極限だけが定義可能な場合)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
\sqrt{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}は定義不可能です。

例(左側極限だけが定義可能な場合)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
\sqrt{-x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}は定義不可能です。

 

演習問題

問題(区間の端点における極限と片側極限の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。このとき、区間の端点\(a,b\)において、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \\
\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}\boldsymbol{f}\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow b-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを示してください。

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問題(ベクトル値関数の片側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(ベクトル値関数の片側極限)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを示してください。

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