曲線(ベクトル値関数)が点において収束することの定義において、変数がその点に近づいていく際の経路に関して特に制約は設けられていません。一方、変数が点に近づいていく際の経路を指定する形で曲線の極限を定義することも可能であり、その場合の極限を片側極限と呼びます。

曲線の片側極限

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に収束すること、すなわち\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)が成り立つことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<|x-a|<\delta \ \Rightarrow \ d\left( f\left( x\right) ,b\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}となりますが、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)は\(x<a\)と\(x>a\)の 2 つの場合を可能性として含んでいます。つまり、変数\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ限りなく近づくかは上の定義中では指定されておらず、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などの様々なパターンが可能性として起こり得ます。つまり、\(x\)がどのような経路で\(a\)に限りなく近づく場合においても、そのときに必ず\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近づくならば、それを\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)と表現するということです。

これに対して、\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際にたどる経路を指定した上で、その際に\(f\left( x\right)\)がある点へ限りなく近づくこととして曲線の極限を定義することもできます。これを片側極限(one-sided limit)と呼びます。具体的には、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたときに、その変数\(x\)がある実数\(a\)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\)に限りなく近づく場合には、\(b\)を\(f\)の\(a\)における右側極限(right-hand limit)と呼び、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)=b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。変数\(x\)が実数\(a\)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に近づく際には任意の\(x\in X\)について\(x>a\)が成り立つため、\(0<|x-a|<\delta \)は\(0<x-a<\delta \)のケースに限定されます。したがって、\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)=b\)が成り立つことを厳密に表現すると、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<x-a<\delta \ \Rightarrow \ d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon
\right] \end{equation*}となります。

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたときに、その変数\(x\)がある実数\(a\)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\)に限りなく近づく場合には、\(b\)を\(f\)の\(a\)における左側極限(left-hand limit)と呼び、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)=b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。変数\(x\)が実数\(a\)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に近づく際には任意の\(x\in X\)について\(x<a\)が成り立つため、\(0<|x-a|<\delta \)は\(-\delta <x-a<0\)のケースに限定されます。したがって、\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)=b\)が成り立つことを厳密に表現すると、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ -\delta
<x-a<0\ \Rightarrow \ d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon
\right] \end{equation*}となります。

 

曲線の片側極限と座標関数の片側極限の関係

曲線が片側収束することをイプシロン・デルタ論法にもとづいて証明するのは面倒です。また、証明を行う際には、片側極限の候補が必要になるという問題もあります。このような煩わしさから解放してくれるのが以下の命題です。

命題(曲線の右側極限と座標関数の右側極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表す。このとき、すべての座標関数\(f_{i}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において右側から収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において右側から収束するための必要十分条件であり、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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左側極限についても同様の命題が成り立ちます。

命題(曲線の左側極限と座標関数の左側極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表す。このとき、すべての座標関数\(f_{i}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において左側から収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において左側から収束するための必要十分条件であり、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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つまり、曲線がある点において片側収束することを示したい場合には、その曲線の任意の座標関数がその点において片側収束することを示せばよいということです。さらに、それぞれの座標関数の片側極限を座標とする点が、もとの曲線の片側極限と一致します。この命題は、曲線の片側極限に関する問題が、関数の片側極限に関する問題へと帰着させられることを示唆しています。関数の片側極限について学んだ知識は、曲線の片側極限を考える上でも利用できるというわけです。

例(曲線の片側極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \cos x,\ \sin x\right)
\end{equation*}と定義します。座標関数\begin{eqnarray*}
f_{1}\left( x\right) &=&\cos x \\
f_{2}\left( x\right) &=&\sin x
\end{eqnarray*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\cos x=1
\\
\lim_{x\rightarrow 0+}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\sin x=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \cos
x,\ \sin x\right) =\left( 1,0\right)
\end{equation*}となります。また、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \pi -}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi
-}\cos x=-1 \\
\lim_{x\rightarrow \pi -}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow \pi
-}\sin x=0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \pi -}\left(
\cos x,\ \sin x\right) =\left( -1,0\right)
\end{equation*}となります。

 

曲線の片側極限の一意性

曲線の片側極限はそれぞれの座標関数の片側極限を座標とする点と一致することが明らかになりました。一般に、関数の片側極限が存在する場合には一意的であるため、座標関数の片側極限もまた一意的です。したがって、曲線の片側極限が存在する場合には一意的です。

命題(曲線の片側極限の一意性)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において右側から収束する場合には、その右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\)は一意的である。また、\(a\)において左側から収束する場合には、その左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\)は一意的である。
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次回は曲線の片側極限と点列の収束の関係について解説します。

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