イプシロン・デルタ論法を用いたベクトル値関数の連続性の判定

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,f\left( a\right) \right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において連続であることを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-0\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left(
x\right) ,f\left( 0\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x\right\vert <\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ \left(
x^{2}-x\right) -0\right] ^{2}+\left[ \left( x+1\right) -1\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x\right\vert <\delta \Rightarrow \sqrt{x^{2}\left(
x-1\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &=&\left\vert x\left( x-1\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert x-1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}}\leq \left\vert x\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &\leq &\left\vert x\right\vert \cdot
\left( \left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x\right\vert \cdot \left( 1+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&2\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x\right\vert <1\Rightarrow \sqrt{x^{2}\left( x-1\right)
^{2}}<2\left\vert x\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{2}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}\left\vert x\right\vert <\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &<&2\left\vert x\right\vert \quad
\because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&2\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&2\cdot \min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{2}\right\} \quad \because
\left( 4\right) \\
&\leq &2\cdot \frac{\varepsilon }{2} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されていますが、そこでの左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\left( 1,1\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましょう。具体的には、\begin{equation}\sqrt{2}>\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\varepsilon \)を適当に選びます。さらに、\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\(|x-0|<\delta \)すなわち\(\left\vert x\right\vert <\delta \)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}d\left( f\left( x\right) ,f\left( 0\right) \right) &=&d\left( f\left(
x\right) ,\left( 1,1\right) \right) \\
&\geq &d\left( \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( 0-1\right) ^{2}+\left( 0-1\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2} \\
&>&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の議論より、\(f\)は点\(0\)において連続ではないことが明らかになりました。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:f\left( N_{\delta }\left(
a\right) \right) \subset N_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(a\)において連続であるための必要十分条件であることを証明してください。