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イプシロン・デルタ論法を用いたベクトル値関数の連続性の判定

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イプシロン・デルタ論法によるベクトル値関数の連続性の定義

復習になりますがベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、なおかつ、そこでの極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}を満たすことを意味します。以上の定義では「ベクトル値関数の極限」という概念が前提となっていますが、「ベクトル値の極限」概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いてベクトル値関数の連続性を定義することもできます。以下で解説します。

復習になりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点\(b\)へ収束することは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味します。では、ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。

上の関数\(f\)が点\(a\)において連続であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、なおかつその極限が\(f\left( a\right) \)と一致するため、上の主張における\(b\)を\(f\left(a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が\(a\)において連続である場合には\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、上の論理式において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。つまり、上の論理式中の\(0<|x-a|\)の部分は不要です。以上を踏まえると、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,f\left( a\right) \right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。

命題(イプシロンデルタ論法を用いたベクトル値関数の連続性の表現)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,f\left( a\right) \right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。
証明

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例(連続なベクトル値関数関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において連続であることを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-0\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left(
x\right) ,f\left( 0\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x\right\vert <\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ \left(
x^{2}-x\right) -0\right] ^{2}+\left[ \left( x+1\right) -1\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x\right\vert <\delta \Rightarrow \sqrt{x^{2}\left(
x-1\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &=&\left\vert x\left( x-1\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert x-1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}}\leq \left\vert x\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert <1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &\leq &\left\vert x\right\vert \cdot
\left( \left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x\right\vert \cdot \left( 1+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&2\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x\right\vert <1\Rightarrow \sqrt{x^{2}\left( x-1\right)
^{2}}<2\left\vert x\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{2}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}\left\vert x\right\vert <\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &<&2\left\vert x\right\vert \quad
\because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&2\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&2\cdot \min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{2}\right\} \quad \because
\left( 4\right) \\
&\leq &2\cdot \frac{\varepsilon }{2} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

ベクトル値関数が連続でないことの証明

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,f\left( a\right) \right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つのであれば\(f\)は点\(a\)において連続です。\(f\)がそもそも点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において連続と不連続のどちらでもありません。また、\(f\)が点\(a\)において定義されている場合でも、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていないのであれば、\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。加えて、\(f\)が点\(a\)および周辺の任意の点において定義されている場合、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in X:\left(
|x-a|<\delta \wedge d\left( f\left( x\right) ,f\left( a\right) \right) \geq
\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つのであれば、やはり\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。つまり、点\(a\)にいくらでも近い場所にも、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が正の実数になってしまうような点\(x\)が存在してしまうということです。

例(点において連続ではないベクトル値関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)を含めその周辺の任意の点において定義されていますが、そこでの左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\left( 1,1\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となり、両者は一致しません。したがって\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束しないため、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明しましょう。具体的には、\begin{equation}\sqrt{2}>\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\varepsilon \)を適当に選びます。さらに、\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\(|x-0|<\delta \)すなわち\(\left\vert x\right\vert <\delta \)を満たす\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}d\left( f\left( x\right) ,f\left( 0\right) \right) &=&d\left( f\left(
x\right) ,\left( 1,1\right) \right) \\
&\geq &d\left( \left( 0,0\right) ,\left( 1,1\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( 0-1\right) ^{2}+\left( 0-1\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{2} \\
&>&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の議論より、\(f\)は点\(0\)において連続ではないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(ベクトル値関数の連続性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)および周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0:f\left( N_{\delta }\left(
a\right) \right) \subset N_{\varepsilon }\left( f\left( a\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が\(a\)において連続であるための必要十分条件であることを証明してください。
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ベクトル値関数(曲線)が定義域上の点において収束するとともに、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。

DISCUSSION

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