ベクトル値関数の内積の連続性
定義域を共有する2つのベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\cdot g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \cdot
\left( g_{1}\left( x\right) ,\cdots ,g_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) g_{1}\left( x\right) +\cdots +f_{m}\left( x\right)
g_{m}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定める新たな関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i},g_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f,g\)の成分関数です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、関数\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。
命題（ベクトル値関数の内積の連続性）
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるならば、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において連続である。
つまり、定義域上の点\(a\)において連続なベクトル値関数\(f,g\)の内積の形をしている関数\(f\cdot g\)が与えられたとき、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において連続であることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の内積の形をしている関数\(f\cdot g\)の収束可能性を検討する際には、ベクトル値関数の連続性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上でで、それぞれが連続であることを確認すればよいということになります。
例（ベクトル値関数の内積の連続性）
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)はともに任意の点\(a\in X\)において連続であるということです。すると先の命題より\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において連続であるため、\(f\cdot g\)もまた連続関数です。
例（ベクトル値関数の内積の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2},5x\right) \cdot \left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(x^{2}\)および\(5x\)は連続であるためベクトル値関数\(\left( x^{2},5x\right) \)は連続です。また、1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left(x\right) \)は連続であるためベクトル値関数\(\left( \cos \left(x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は連続です。したがって先の命題より、連続なベクトル値関数どうしの内積として定義される\(f\)もまた連続です。
ベクトル値関数の内積の片側連続性
片側連続性についても同様の命題が成り立ちます。
命題（ベクトル値関数の内積の片側連続性）
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからベクトル値関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において右側連続であるならば、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において右側連続である。また、\(f,g\)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において左側連続であるならば、\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において左側連続である。
例（ベクトル値関数の内積の片側連続性）
ベクトル値関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)から関数\(f\cdot g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g\)がともに右側連続関数であるものとします。つまり、\(f,g\)はともに任意の点\(a\in X\)において右側連続であるということです。すると先の命題より\(f\cdot g\)もまた点\(a\)において右側連続であるため、\(f\cdot g\)もまた右側連続関数です。同様に、\(f,g\)がともに左側連続であるならば\(f\cdot g\)もまた左側連続です。
例（ベクトル値関数の内積の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\cdot \left( x+1,x-1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。1変数関数である\(\cos \left( x\right) \)および\(\sin \left( x\right) \)はともに\(f\)の定義域\(\left[ 0,\pi \right] \)で連続です。つまり、端点\(0\)において右側連続であり、もう一方の端点\(\pi \)において左側連続であり、定義域の内部\(\left( 0,\pi \right) \)の任意の点において連続です。したがって、ベクトル値関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は\(\left[0,\pi \right] \)上で連続です。同様の理由により、ベクトル値関数\(\left(x+1,x-1\right) \)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で連続です。したがって、\(\left[ 0,\pi \right] \)上で連続なベクトル値関数どうしの内積である\(f\)もまた\(\left[ 0,\pi \right] \)上で連続です。
演習問題
問題（ベクトル値関数の内積の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2},5x^{3}\right) \cdot \left( 2x,3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。
問題（ベクトル値関数の内積の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( -\frac{1}{x},\frac{2}{x^{2}}\right) \cdot \left( 1,\frac{3}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。
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