ベクトル値関数による点の逆像
始集合が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。終集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、これに対して、\begin{equation*}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}を満たす始集合の要素である実数\(x\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、ベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left(x\right) \)を満たすような実数\(x\in X\)からなる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) &=&\left\{ x\in X\ |\
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{y}\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は始集合\(X\)の要素である実数に対して終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)の要素であるベクトルを1つずつ定めます。したがって、それぞれの\(x\in X\)に対して\(\boldsymbol{f}\)が定める\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)は終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)の「要素」です。一方、終集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} \)に対して、\(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \)を満たす始集合の要素である実数\(x\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) \)は始集合の\(X\)の「部分集合」です。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。終集合の要素であるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{2}\)の\(\boldsymbol{f}\)による逆像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\} \quad \because
\text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\left( 0,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}となります。これを特定するために連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=x^{2}-x \\
2=x+1\end{array}\right.
\end{equation*}を解くと、これは1つの解\(x=1\)を持つため、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}となります。また、\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}となります。これを特定するために連立方程式\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
0=x^{2}-x \\
0=x+1\end{array}\right.
\end{equation*}を解くと、これは解を持たないため、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) =\phi
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(x\left( t\right) \)は時点\(t\)における惑星の位置の\(x\)座標、\(y\left( t\right) \)は\(y\)座標、\(z\left( t\right) \)は\(z\)座標です。以上のように定義される\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}はベクトル値関数です。この関数\(\boldsymbol{f}\)による座標\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) &=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\boldsymbol{f}\left( t\right) \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは惑星の位置が\(\left( x,y,z\right) \)である時点\(t\)からなる集合です。したがって、座標\(\left( x,y,z\right) \)が惑星の軌道上にあれば、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( x,y,z\right) \not=\phi
\end{equation*}である一方、座標\(\left(x,y,z\right) \)が惑星の軌道外にあれば、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( x,y,z\right) =\phi
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( w\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( w\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。この関数\(\boldsymbol{f}\)による消費ベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) &=&\left\{ w\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( w\right) \right\} \quad
\because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ w\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( w\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( w\right)
\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となりますが、これは消費者が消費ベクトル\(\boldsymbol{y}\)を選択するような所得水準\(w\)からなる集合です。例えば、この消費者は自身の所得水準\(w\)に関わらず商品\(1\)を絶対に消費しないのであれば、\(y_{1}\not=0\)を満たす任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) =\phi
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、ベクトル\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation}x\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) \Leftrightarrow
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \cdots (11)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、実数\(x\)が\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の逆像の要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)による実数\(x\)の像がベクトル\(\boldsymbol{y}\)と一致することは必要十分です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{equation}G\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left( x,\boldsymbol{y}\right) \in
X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意のベクトル\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)に対して、以下の関係\begin{eqnarray*}x\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) &\Leftrightarrow &\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \because \left( 1\right)
\\
&\Leftrightarrow &\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) \Leftrightarrow \left(
x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}もまた成立します。つまり、実数\(x\)が\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の逆像の要素であることと、ベクトル\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \)が\(\boldsymbol{f}\)のグラフの要素であることは必要十分です。
ベクトル値関数による集合の逆像とベクトル値関数の定義域
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選びます。\(\boldsymbol{f}\)は\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\)に対してベクトル\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)が\(B\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in B\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による集合\(B\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。明らかに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) \subset X
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)自身の部分集合であるため、\(\boldsymbol{f}\)による\(\mathbb{R} ^{m}\)の逆像\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{equation*}もまた定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)の定義域（domain）と呼び、\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
D\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\} \quad \because \text{逆像の定義}
\\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\}
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{逆像の定義}
\\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-x\in \mathbb{R} \wedge x+1\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。
x\right) \in \phi \right\} \\
&=&\phi \quad \because \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となります。つまり、ベクトル値関数による空集合の逆像は空集合です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left(
x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、実数\(x\in X\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}x\in \boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &\boldsymbol{f}\left( x\right) \in B\quad \because \text{逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \boldsymbol{y}\in B:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \\
&\Leftrightarrow &\exists \boldsymbol{y}\in B:\left( x,\boldsymbol{y}\right)
\in G\left( \boldsymbol{f}\right) \quad \because \text{グラフの定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(\boldsymbol{f}\)による\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists \boldsymbol{y}\in B:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists \boldsymbol{y}\in B:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} ^{m}\)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right)
\right\}
\end{eqnarray*}となり、\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(D\left( \boldsymbol{f}\right) \)を上のように様々な形で表現できます。
ベクトル値関数による逆像と成分関数による逆像の関係
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素である実数\(x\in X\)に対して定める像は\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}\left(x\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、関数\(f_{i}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する実数値関数です。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数と呼びます。
ベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、\(\boldsymbol{f}\)による\(\boldsymbol{y}\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right) =\left\{ x\in X\ |\
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される一方で、成分関数\(f_{i}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の第\(i\)成分\(y_{i}\)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right) =\left\{ x\in X\ |\ y_{i}=f_{i}\left(
x_{i}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( \boldsymbol{y}\right)
=\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の逆像は、それぞれの成分関数\(f_{i}\)によるベクトル\(\boldsymbol{y}\)の成分\(y_{i}\)の逆像の共通部分と一致します。
=\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である。
以上の命題を利用すれば、ベクトル値関数による点の逆像を求める作業を、1変数関数である成分関数による点の逆像を求める作業へ帰着させることができます。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\left( 0,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) =\left\{ 1\right\}
\end{equation*}であることを先に示しましたが、同じことを先の命題から導きます。ベクトル\(\left(0,2\right) \)の第1成分である\(0\)の成分関数\(f_{1}\)による逆像は、\begin{eqnarray*}f_{1}^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-x=0\right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、ベクトル\(\left( 0,2\right) \)の第2成分である\(2\)の成分関数\(f_{2}\)による逆像は、\begin{eqnarray*}f_{2}^{-1}\left( 2\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1=2\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)によるベクトル\(\left( 0,2\right) \)の逆像は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}^{-1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) &=&f_{1}^{-1}\left( 0\right) \cap f_{2}^{-1}\left( 2\right) \\
&=&\left\{ 0,1\right\} \cap \left\{ 1\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}:\left( \boldsymbol{y}\in B\Leftrightarrow y_{i}\in B_{i}\right)
\end{equation*}を満たすものとして集合\(B_{i}\subset \mathbb{R} \)を定義します。\(\boldsymbol{f}\)による集合\(B\)の逆像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left(
x\right) \in B\right\}
\end{equation*}である一方で、成分関数\(f_{i}\)による集合\(B_{i}\)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( B_{i}\right) =\left\{ x\in X\ |\ f_{i}\left( x\right) \in
B_{i}\right\}
\end{equation*}ですが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left(
B_{i}\right)
\end{equation*}が成立します。
定義域についても同様に、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( \mathbb{R} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
D\left( \boldsymbol{f}\right) =\bigcap_{i=1}^{m}D\left( f_{i}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数の定義域は、それぞれの成分関数の定義域の共通部分と一致します。
\end{equation*}を満たすものとして集合\(B_{i}\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)を定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}^{-1}\left( B\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left(
B_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である。したがって、\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{f}\right) =\bigcap_{i=1}^{m}D\left( f_{i}\right)
\end{equation*}もまた成り立つ。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域が、\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathbb{R} \end{equation*}であることを先に示しましたが、同じことを先の命題から導きます。成分関数\(f_{1}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f_{1}\right) &=&f_{1}^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f_{1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f_{1}\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}である一方で、成分関数\(f_{2}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f_{2}\right) &=&f_{2}^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f_{2}^{-1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f_{2}\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( \boldsymbol{f}\right) &=&D\left( f_{1}\right) \cap D\left(
f_{2}\right) \\
&=&\mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となります。これは先の結果と整合的です。
ベクトル値関数の定義域と始集合は一致する
これまで例示したベクトル値関数はいずれも定義域と始集合が一致していましたが、このような関係は任意のベクトル値関数に関して成立します。つまり、ベクトル値関数の定義域と始集合は常に一致するということです。
\end{equation*}という関係が成り立つ。
以上の命題より、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)に関しては、その始集合\(X\)と定義域\(D\left( \boldsymbol{f}\right) \)を同一視しても一般性は失われないことが明らかになりました。ベクトル値関数の始集合と言ったとき、それは同時に定義域を指すとともに、その逆も成立するということです。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域は、\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{m}\)の部分集合ですが、これは\(\mathbb{R} ^{m}\)と一致するとは限りません。つまり、以下の関係\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{f}\right) =\mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}は成立するとは限りません。一方、先の命題より、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域については以下の関係\begin{equation*}D\left( \boldsymbol{f}\right) =X
\end{equation*}が必ず成立します。両者の違いに注意してください。
演習問題
\begin{array}{c}
\sqrt{x} \\
\ln \left( x+1\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)を特定してください。
\begin{array}{c}
x^{2}-3x \\
4x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)を特定してください。
\begin{array}{c}
\sqrt{2-x} \\
\ln \left( x+3\right) \\
e^{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)を特定してください。
\begin{array}{c}
\frac{x-1}{x+1} \\
\frac{e^{x}-1}{x} \\
\frac{1}{2x^{2}-\pi }\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)を特定してください。
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