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1変数のベクトル値関数

ベクトル値関数による逆像と定義域

目次

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ベクトル値関数による点の逆像

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、終集合の要素\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たすような\(x\in X\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は始集合\(X\)のそれぞれの要素に対して\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点を1つずつ定めます。したがって、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の「要素」です。一方、終集合のそれぞれの要素\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

例(ベクトル値関数による点の逆像)
太陽の位置を原点とする3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)について考えます。関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの時点\(t\in \mathbb{R} _{+}\)におけるある惑星の位置\begin{equation*}f\left( t\right) =\left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left(
t\right) \right)
\end{equation*}を与えるものとします。\(f\)による点\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( x,y,z\right) =\left\{ t\in \mathbb{R} _{+}\ |\ \left( x\left( t\right) ,y\left( t\right) ,z\left( t\right) \right)
=\left( x,y,z\right) \right\}
\end{equation*}は、この惑星の位置が点\(\left( x,y,z\right) \)であるような時点\(t\)からなる集合です。点\(\left( x,y,z\right) \)が惑星の軌道上の点であれば、\begin{equation*}f^{-1}\left( x,y,z\right) \not=\phi
\end{equation*}であり、点\(\left( x,y,z\right) \)が惑星の軌道外の点であれば、\begin{equation*}f^{-1}\left( x,y,z\right) =\phi
\end{equation*}となります。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(x\in X\)に対して定める像\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため、その第\(i\ \left(=1,\cdots ,m\right) \)成分を\(f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \)と表記するのであれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}という関係を満たす\(m\)個の1変数関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}を得ます。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(f\)の成分関数と呼びます。

点\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、\(f\)による点\(y\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される一方で、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による点\(y\)の第\(i\)成分\(y_{i}\)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right) =\left\{ x\in X\ |\ y_{i}=f\left( x_{i}\right)
\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
f^{-1}\left( y\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ベクトル値関数\(f\)による点\(y\)の逆像は、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による点\(y\)の成分\(y_{i}\)の逆像の共通部分と一致します。

命題(ベクトル値関数による点の逆像)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、任意の点\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( y_{i}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数である。
証明

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以上の命題を利用すれば、ベクトル値関数による点の逆像を求める作業を、1変数関数である成分関数による点の逆像を求める作業へ帰着させることができます。

例(ベクトル値関数による点の逆像)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像を求めます。成分関数\(f_{1}\)による点\(\left( 0,0\right) \)の第\(1\)成分\(0\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f_{1}^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-x=0\right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、成分関数\(f_{2}\)による点\(\left( 0,0\right) \)の第\(2\)成分\(0\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f_{2}^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1=0\right\} \\
&=&\left\{ -1\right\}
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 0,0\right) &=&f_{1}^{-1}\left( 0\right) \cap f_{2}^{-1}\left(
0\right) \\
&=&\left\{ 0,1\right\} \cap \left\{ -1\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となります。\(f\)による点\(\left( 0,2\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の逆像を求めます。成分関数\(f_{1}\)による点\(\left( 0,2\right) \)の第\(1\)成分\(0\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f_{1}^{-1}\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-x=0\right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}である一方で、成分関数\(f_{2}\)による点\(\left( 0,2\right) \)の第\(2\)成分\(2\)の逆像は、\begin{eqnarray*}f_{2}^{-1}\left( 2\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1=2\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( 0,2\right) &=&f_{1}^{-1}\left( 0\right) \cap f_{2}^{-1}\left(
2\right) \\
&=&\left\{ 0,1\right\} \cap \left\{ 1\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}となります。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による終集合の要素\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f \)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。さらに、\(f\)のグラフは、\begin{equation}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) =y\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in G\left(
f\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(\left( x,y\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

 

ベクトル値関数による集合の逆像と定義域

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対して値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( x\right) \)が\(B\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)による\(B\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。\(f^{-1}\left(B\right) \)は\(f\)の始集合\(X\)の部分集合です。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(\mathbb{R} ^{m}\)の逆像\(f^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \)をとることもできます。これを\(f\)の定義域(domain)と呼び、\(D\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\} \quad \because \text{逆像の定義}
\end{eqnarray*}です。

集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだとき、それぞれの\(i\in \left\{ 1,\cdots,m\right\} \)に対して、任意の\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}y\in B\Leftrightarrow y_{i}\in B_{i}
\end{equation*}を満たす集合\(B_{i}\subset \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)による集合\(B\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義される一方で、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による集合\(B_{i}\)の逆像は、\begin{equation*}f_{i}^{-1}\left( B_{i}\right) =\left\{ x\in X\ |\ f_{i}\left( x\right) \in
B_{i}\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
f^{-1}\left( B\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( B_{i}\right)
\end{equation*}が成立します。定義域についても同様です。

命題(ベクトル値関数による集合の逆像)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選んだ上で、任意の\(y\in \mathbb{R} ^{m}\)について、\begin{equation*}y\in B\Leftrightarrow y_{i}\in B_{i}
\end{equation*}を満たすものとして集合\(B_{i}\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)を定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\bigcap_{i=1}^{m}f_{i}^{-1}\left( B_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は\(f\)の成分関数である。したがって、\begin{equation*}D\left( f\right) =\bigcap_{i=1}^{m}D\left( f_{i}\right)
\end{equation*}もまた成り立つ。

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例(ベクトル値関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域を求めます。成分関数\(f_{1}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f_{1}\right) &=&f_{1}^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f_{1}^{-1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}-x\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}である一方で、成分関数\(f_{2}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f_{2}\right) &=&f_{2}^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f_{2}^{-1}\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x+1\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
D\left( f\right) &=&D\left( f_{1}\right) \cap D\left( f_{2}\right) \\
&=&\mathbb{R} \cap \mathbb{R} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}となります。

例(ベクトル値関数による集合の逆像)
空集合は任意の部分集合であるため、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による空集合\(\phi \subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像を考えることもできます。関数による集合の逆像の定義より、これは、\begin{equation*}f^{-1}(\phi )=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \phi \}
\end{equation*}となりますが、\(f\left( x\right)\in \phi \)は恒偽式であるため、\begin{equation*}f^{-1}\left( \phi \right) =\phi
\end{equation*}となります。つまり、関数による空集合の逆像は空集合です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) \in B\quad
\because \text{関数による逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:y=f\left( x\right) \quad \because \text{関数の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because \text{関数のグラフの定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(B\subset \mathbb{R} ^{m}\)の逆像を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} ^{m}\)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} ^{m}\right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} ^{m}:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} ^{m}:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left(f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

 

演習問題

問題(ベクトル値関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{x},\ln \left( x+1\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(ベクトル値関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-3x,4x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(ベクトル値関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{2-x},\ln \left( x+3\right) ,e^{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x-1}{x+1},\frac{e^{x}-1}{x},\frac{1}{2x^{2}-\pi }\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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