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成分関数を用いたベクトル値関数の無限大における収束判定

目次

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無限大におけるベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係

ベクトル値関数無限大において収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは面倒です。また、証明を行う際に極限の候補が必要になるという問題もあります。ただ、これらの問題は解決可能です。順を追って説明します。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束する場合、もとのベクトル値関数もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow +\infty
}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

負の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。

命題(無限大におけるベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow +\infty
}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束するならば、\(f\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
-\infty }f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow -\infty
}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(f\)が与えられたとき、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)が収束する場合、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\ \left( i=1,\cdots,m\right) \)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow +\infty
}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

負の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。

命題(無限大におけるベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow +\infty
}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\)は\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
-\infty }f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow -\infty
}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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以上の2つの命題により、ベクトル値関数の無限大における収束という概念は1変数関数である成分関数の無限大における収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(無限大におけるベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束することと、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow +\infty
}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束することと、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
-\infty }f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow -\infty
}f_{m}\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

上の命題より、ベクトル値関数の無限大における収束に関する議論を成分関数の無限大における収束に関する議論に置き換えて考えることができることが明らかになりました。

例(無限大におけるベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)が収束するか判定します。成分関数\(f_{1}\left(x\right) =\frac{1}{x}\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x}\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、成分関数\(f_{2}\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、もとの関数\(f\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{2}\left(
x\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。

例(無限大におけるベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sin \left( \frac{1}{x}\right) ,\cos \left( \frac{1}{x}\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)が収束するか判定します。成分関数\(f_{1}\left(x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&\sin \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\(f_{2}\left( x\right) =\cos \left( \frac{1}{x}\right) \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\cos \left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&\cos \left( 0\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、もとの関数\(f\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{2}\left(
x\right) \right) \\
&=&\left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。

 

ベクトル値関数が無限大において収束しないことの証明

先の命題は、ベクトル値関数が無限大において収束しないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が無限大において有限な実数へ収束しない場合、もとのベクトル値関数もまた無限大において収束しません。

例(ベクトル値関数が無限大において収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x^{2}},x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束するでしょうか。成分関数\(f_{2}\left(x\right) =x+1\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( x+1\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束しません。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束するでしょうか。成分関数\(f_{2}\left(x\right) =x+1\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow -\infty
}\left( x+1\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束しません。

 

演習問題

問題(無限大におけるベクトル値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x},-\frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合や\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束するでしょうか。議論してください。
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問題(無限大におけるベクトル値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合や\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束するでしょうか。議論してください。
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問題(無限大におけるベクトル値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-\frac{5}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-\frac{5}{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{100}{x^{2}+5},\frac{x+7}{3x+5}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束するでしょうか。議論してください。
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問題(無限大におけるベクトル値関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{3}{x^{3}},3x^{3}-1000x^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束するでしょうか。議論してください。
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