無限大におけるベクトル値関数の極限と成分関数の極限の関係
定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。加えて、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。
このようなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合にベクトルへ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left[ x>M\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists M\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:\left( x>M\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[
f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいてベクトル値関数が無限大において収束することを証明するのは面倒です。ベクトル値関数の無限大における極限は1変数関数の極限を用いて表現できます。順番に解説します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束する場合、もとのベクトル値関数もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
上の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合にベクトルへ収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束するならば、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
以上の2つの命題により、ベクトル値関数の無限大における収束という概念は、1変数関数である成分関数の無限大における収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束することと、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
負の無限大における極限についても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題の証明と同様です。
\end{equation*}が成り立つものとする。\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束することと、\(\boldsymbol{f}\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&x\left( t\right) \boldsymbol{i}+y\left( t\right) \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。以下の命題\begin{equation*}
\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset T
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より、\(t\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{r}\)が有限なベクトルへ収束することと、\(\boldsymbol{r}\)のすべての成分関数\(x,y:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} \)が\(t\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow +\infty }\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }x\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }y\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }x\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }y\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、以下の命題\begin{equation*}
\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset T
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より、\(t\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{r}\)が有限なベクトルへ収束することと、\(\boldsymbol{r}\)のすべての成分関数\(x,y:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} \)が\(t\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow -\infty }\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{t\rightarrow -\infty }x\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow -\infty }y\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{t\rightarrow -\infty }x\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow -\infty }y\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&x\left( t\right) \boldsymbol{i}+y\left( t\right) \boldsymbol{j}+z\left(
t\right) \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。以下の命題\begin{equation*}
\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset T
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より、\(t\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{r}\)が有限なベクトルへ収束することと、\(\boldsymbol{r}\)のすべての成分関数\(x,y,z:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} \)が\(t\rightarrow +\infty \)の場合に有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow +\infty }\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }x\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }y\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }z\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }x\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }y\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow +\infty }z\left(
t\right) \right] \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。また、以下の命題\begin{equation*}
\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset T
\end{equation*}が成り立つ場合、先の命題より、\(t\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{r}\)が有限なベクトルへ収束することと、\(\boldsymbol{r}\)のすべての成分関数\(x,y,z:\mathbb{R} \supset T\rightarrow \mathbb{R} \)が\(t\rightarrow -\infty \)の場合に有限な実数へ収束することは必要十分であるとともに、それらの極限の間には以下の関係\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow -\infty }\boldsymbol{r}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{t\rightarrow -\infty }x\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow -\infty }y\left( t\right) \\
\lim\limits_{t\rightarrow -\infty }z\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left[ \lim\limits_{t\rightarrow -\infty }x\left( t\right) \right] \boldsymbol{i}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow -\infty }y\left( t\right) \right] \boldsymbol{j}+\left[ \lim\limits_{t\rightarrow -\infty }z\left(
t\right) \right] \boldsymbol{k}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
ベクトル値関数が無限大において収束することの判定
先の命題より、ベクトル値関数の無限大における収束可能性に関する議論を、1変数関数である成分関数の無限大における収束可能性に関する議論に置き換えることができます。つまり、ベクトル値関数の収束可能性を判定する際に、イプシロン・デルタ論法を利用する必要はなく、1変数関数の極限に関する知識を動員できます。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
\frac{1}{x^{2}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限について考えます。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。続いて、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の極限について考えます。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }\left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限について考えます。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&\sin \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\cos \left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&\cos \left( 0\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。続いて、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の極限について考えます。成分関数\begin{equation*}f_{1}\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&\sin \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\begin{equation*}
f_{2}\left( x\right) =\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }\cos \left( \frac{1}{x}\right) \\
&=&\cos \left( 0\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_{1}\left( x\right) \\
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f_{2}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
ベクトル値関数が無限大において収束しないことの判定
先の命題はベクトル値関数が無限大において収束するための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が収束しないことを判定する上でも有用です。
つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)の少なくとも1つの成分関数\(f_{i}\)が\(x\rightarrow +\infty \)の場合に実数へ収束しない場合、先の命題より、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)の場合にベクトルへ収束しません。
また、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)の少なくとも1つの成分関数\(f_{i}\)が\(x\rightarrow-\infty \)の場合に実数へ収束しない場合、先の命題より、もとのベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)もまた\(x\rightarrow -\infty \)の場合にベクトルへ収束しません。
\begin{array}{c}
\frac{1}{x^{2}} \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限について考えます。成分関数\begin{equation*}f_{2}\left( x\right) =x+1
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }\left( x+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルへ収束しません。\(x\rightarrow -\infty \)の場合の極限について考えます。成分関数\begin{equation*}f_{2}\left( x\right) =x+1
\end{equation*}に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }\left( x+1\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルへ収束しません。
演習問題
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
-\frac{1}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合や\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルに収束するでしょうか。議論してください。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合や\(x\rightarrow -\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルに収束するでしょうか。議論してください。
\begin{array}{c}
\frac{100}{x^{2}+5} \\
\frac{x+7}{3x+5}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルに収束するでしょうか。議論してください。
\begin{array}{c}
\frac{3}{x^{3}} \\
3x^{3}-1000x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルに収束するでしょうか。議論してください。
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