ベクトル値関数の連続性

点におけるベクトル値関数の連続性

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap \left( X\backslash
\left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が必ず何らかの\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。

集積点の定義より、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)は集積点\(a\)の周辺の点において定義されている一方で、点\(a\)自身において定義されているとは限りません。ただ、\(x\rightarrow a\)の場合にベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が収束するかを検討する際には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束する状況は起こり得ます。また、\(\boldsymbol{f}\)が集積点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に収束する場合、その極限は点\(a\)における\(\boldsymbol{f}\)の値である\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が収束し、さらにその極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left(x\right) \)が\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続である（continuous at \(a\)）と言います。逆に、以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において不連続である（discontinuous at \(a\)）と言います。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が定義域\(X\)の集積点ではない場合、\(a\)は\(X\)の孤立点になります。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続であるものと定めます。その根拠は後ほど解説します。

ベクトル値関数の連続性と成分関数の連続性の関係

ベクトル値関数の連続性と成分関数の連続性の間には以下の関係が成り立ちます。

以上の命題により、ベクトル値関数の連続性に関する議論を1変数関数である成分関数の連続性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

先の命題は、ベクトル値関数が連続ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において連続ではない場合、もとのベクトル値関数もまた点\(a\)において連続ではありません。

集合上で連続なベクトル値関数

先に例を通じて確認したように、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域\(X\)上のすべての点において連続であるとは限りません。そこで、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)上で連続である（continuous on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上のすべての点において連続である場合、\(\boldsymbol{f}\)は連続である（continuous）と言います。

演習問題