ベクトル値関数の連続性

点におけるベクトル値関数の連続性

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するか検討する際に、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていればよく、必ずしも点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束する状況は起こり得ます。また、ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束する場合、この極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、ベクトル値関数\(f\)が点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、さらにそこでの極限が\(f\left(a\right) \)と一致する場合、\(f\)は点\(a\)において連続である（continuous at \(a\)）と言います。つまり、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。ベクトル値関数の極限の定義より、条件\(\left(b\right) \)が成り立つためには\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている必要があります。これと条件\(\left( a\right) \)を踏まえると、点\(a\)において連続なベクトル値関数\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の定義において定義されていることになります。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は点\(a\)において不連続である（discontinuous at \(a\)）と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまりベクトル値関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において連続でも不連続でもありません。ベクトル値関数が点において連続もしくは不連続であるためには、その点がベクトル値関数の定義域に含まれている必要があるということです。

後に具体例を通じて確認するように、一般に、ベクトル値関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であるとは限りません。そこで、\(f\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)であるとき、\(f\)は\(Y\)上で連続である（continuous on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわちベクトル値関数\(f\)が定義域上\(X\)の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続である（continuous）と言います。

ベクトル値関数の連続性と成分関数の連続性の関係

定義より、ベクトル値関数の連続性と成分関数の連続性の間には以下の関係が成り立ちます。

以上の命題により、ベクトル値関数の連続性に関する議論を1変数関数である成分関数の連続性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

先の命題は、ベクトル値関数が連続ではないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が点\(a\)において連続ではない場合、もとのベクトル値関数もまた点\(a\)において連続ではありません。

演習問題