点列を用いたベクトル値関数の連続性の判定

ベクトル値関数の連続性と点列の極限の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。このような関数が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。ただ、以上の定義にもとづいてベクトル値関数が連続であることを証明するのは面倒です。ベクトル値関数の連続性は点列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用したほうがベクトル値関数が連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるものとします。その上で、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(X\)上の点を項とするとともに点\(a\)へ収束する数列を任意に選ぶということです。

この数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)は\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対して\(\boldsymbol{f}\)は像\(\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \)を定めます。\(\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルであるため、これを項とする点列\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているため\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)はベクトルであるが、先の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)は\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)へ収束することが保証されます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから点列\(\{\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \}\)を構成します。このように定義される点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)\right\} \)が\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)へ収束する場合には、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において連続であることが保証されます。

以上の2つの命題により、ベクトル値関数の連続性という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

この命題が要求していることは、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\{\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \}\)が\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において連続であることを示したことにはなりません。

ベクトル値関数が連続であることの証明

先の命題より、ベクトル値関数の連続性に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) =\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において連続であることを示したことになります。

ベクトル値関数が連続でないことの証明

先の命題は、ベクトル値関数が連続でないことを示す際にも有用です。関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)へ収束しないことを示せば、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において連続ではないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在することは、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において連続であることと矛盾するからです。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\{x_{v}\},\left\{ y_{v}\right\} \)を適当に選びます。このとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\},\left\{ \boldsymbol{f}\left( y_{v}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束するのであれば、先の命題より\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続ではありません。

演習問題