教材一覧
< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

曲線の極限

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R}\)の周辺において定義されているものとします。つまり、点\(a\)の周辺にある任意の点が曲線\(f\)の定義域\(X\)の要素であるということです。点\(a\)自身は\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。以上の条件をあえて定式化すると、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\backslash \left\{ a\right\} \subset X
\end{equation*}となります。変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のある点\(b\)に近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
b
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

曲線の収束に関して厳密な議論を行うためには、関数の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。

 

曲線の極限の厳密な定義

繰り返しになりますが、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が収束すること、すなわち、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}を満たす点\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \in \mathbb{R}^{m}\)が存在することとは、変数\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)が\(b\)に限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくと言うためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入したとき、\begin{equation*}
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)が点\(b\)に限りなく近づくと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\(\mathbb{R} ^{m}\)上のユークリッド距離\(d\)のもとで、\begin{equation*}
d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left(
x\right) -b_{i}\right) ^{2}} <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、\(a\)に十分近くなおかつ\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。つまり、\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-a|<\delta \Rightarrow d\left(
f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。そこで、これまでの考察を逆手に取る形で、上の論理式によって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義とします。つまり、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R}\)において点\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \in \mathbb{R}^{m}\)に収束することの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(曲線の極限)
終集合が1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)であるような曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)は関数に他なりません。この曲線\(f\)が点\(a\in \mathbb{R}\)において点\(b\in \mathbb{R}\)に収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\left( f\left( x\right) -b\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは関数\(f\)が点\(a\)において点\(b\)へ収束することの定義に他なりません。したがって、曲線の極限は関数の極限の一般化です。
例(曲線の極限)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{2}\)が点\(a\in \mathbb{R}\)において点\(b=\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R}\)に収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\left( f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right)
^{2}+\left( f_{2}\left( x\right) -b_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして表現されます。ただし、\(f_{i}\ \left( i=1,2\right) \)は\(f\)の座標関数です。

 

曲線の極限と座標関数の極限の関係

曲線が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは面倒です。また、証明を行う際に極限の候補が必要になるという問題もあります。ただ、これらの問題は以下の理由により解決可能です。

曲線がある点において収束することと、その曲線のそれぞれの座標関数がその点において収束することは必要十分です。つまり、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R}\)において収束することは、\(f\)のそれぞれの座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\)において収束することと必要十分であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

まずは十分性の証明です。曲線\(f\)が点\(a\)において点\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つということです。上の論理式の結論は両辺とも正であるため、このとき、\begin{equation}
\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}
\quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。任意の\(i\)について\(\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}\geq 0\)であることを踏まえると、\begin{equation*}
\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}\leq \sum_{i=1}^{m}\left(
f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}
\end{equation*}を得ますが、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}
\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}を得ます。したがって座標関数\(f_{i}\)は点\(a\)において\(b_{i}\)へ収束します。任意の\(i\)について同様の議論が成り立つため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました(必要性の証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(曲線の極限と座標関数の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)のすべての座標関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が点\(a\in \mathbb{R}\)において有限な実数へ収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するための必要十分条件であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
\lim\limits_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

曲線がある点において収束することを示したい場合には、その曲線のすべての座標関数がその点において収束することを示せばよいということです。さらに、それぞれの座標関数の極限を成分とする点が、もとの曲線の極限と一致します。上の命題は、曲線の極限に関する問題が、関数の極限に関する問題へと帰着させられることを示唆しています。関数の極限について学んだ知識は、曲線の極限を考える上でも利用できるというわけです。

例(曲線の極限と座標関数の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(1\)において収束可能であるかどうかを検討しようとしている状況します。座標関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left(
x^{2}-x\right) =0 \\
\lim_{x\rightarrow 1}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left(
x+1\right) =2
\end{eqnarray*}が成り立つため、上の命題より\(f\)もまた点\(1\)において収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =\left( 0,2\right)
\end{equation*}となります。
例(曲線の極限と座標関数の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1,0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{x-1}{x+1} \\
\frac{e^{x}-1}{x} \\
2x^{2}-\pi
\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において収束可能であるかどうかを検討しようとしている状況します。座標関数\(f_{1}:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-1}{x+1}=\frac{-1}{1}=-1
\end{equation*}が成り立ち、座標関数\(f_{2}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)に関しては、ロピタルの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}}{1}=1
\end{equation*}が成り立ち、座標関数\(f_{3}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{3}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\left(
2x^{2}-\pi \right) =-\pi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、上の命題より\(f\)もまた点\(0\)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow
0}f_{1}\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right)
,\lim_{x\rightarrow 0}f_{2}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( -1,1,-\pi \right)
\end{eqnarray*}となります。

先の命題より、曲線\(f\)の座標関数\(f_{i}\)の中に点\(a\)において有限な実数へ収束しないものが存在する場合、\(f\)もまた\(a\)において収束しません。

例(曲線の極限と座標関数の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x^{2}} \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において収束可能であるかどうかを検討しようとしている状況します。座標関数\(f_{1}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R}\)に関して、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、曲線\(f\)は点\(0\)において収束しません。

 

曲線の極限と点列の極限の関係

曲線の極限は点列の極限を用いて表現することもできます。曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R}^{m}
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(f\)は\(a\)において収束するということです。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{v}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{v}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点であるため、これを項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束することが保証されます。証明は以下の通りです。

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R}\)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R}^{m}\)が成り立つものとします。つまり、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) <\varepsilon \right)
\quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。その上で、\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(a\)へ収束することから、\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \left\vert x_{v}-a\right\vert <\delta \right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(X\)の任意の項\(x_{v}\)が\(a\)とは異なる実数であるため、上の論理式は、\begin{equation}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow 0<\left\vert x_{v}-a\right\vert <\delta \right)
\quad\cdots (2)
\end{equation}と言い換え可能です。\(x_{v}\in X\)であることを踏まえると、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}
d\left( f\left( x_{v}\right) ,\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論により、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow d\left( f\left( x_{v}\right)
,\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されましたが、これは点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束することの定義に他なりません。

命題(曲線の極限と点列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このとき、曲線\(f\)が点\(a\)において収束するならば、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R}^{m}
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)もまた収束し、さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題の逆もまた成立します。つまり、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が収束する場合には、曲線\(f\)が点\(a\)において収束することが保証されるとともに、その極限が、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left(
x_{v}\right)
\end{equation*}を満たします(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(曲線の極限と点列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が収束するならば、すなわち、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) \in \mathbb{R}^{m}
\end{equation*}が成り立つならば、曲線\(f\)が点\(a\)において収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left(
x_{v}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

この命題について注意しなければならないのは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する任意の数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が収束することを前提条件として保証する必要があるということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が少なくとも1つは存在することを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、曲線の収束という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。したがって、曲線の収束に関する議論を、点列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

命題(曲線の極限と点列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R}\)とが与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において収束するための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{v\rightarrow +\infty
}f\left( x_{v}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

この命題は、曲線の極限に関する問題が、ユークリッド空間上の点列の極限に関する問題に帰着させられることを示唆しています。点列の極限について学んだ知識は、曲線の極限を考える上でも利用できるというわけです。ただ、ユークリッド空間上の点列が収束することを示すのはやや面倒です。ただ、このような問題は以下の理由により解決できます。

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表します。上の命題中の\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}
f\left( x_{v}\right) =\left( f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{v}\right) \right)
\end{equation*}と表せるため、点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)から\(m\)個の座標数列\(\{f_{1}\left( x_{v}\right) \},\cdots ,\{f_{m}\left( x_{v}\right) \}\)を得ることができます。これら\(m\)個の数列がすべて収束することは、点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が収束するための必要十分条件であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =\left(
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots
,\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x_{v}\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実を踏まえると、先の命題を以下のように言い換えることができます。

命題(曲線の極限と数列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)のそれぞれの座標数列\(\left\{ f_{i}\left( x_{v}\right) \right\} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が有限な実数へ収束することは、曲線\(f\)が点\(a\)において収束するための必要十分条件であるとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{v\rightarrow
+\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots ,\lim\limits_{v\rightarrow +\infty
}f_{m}\left( x_{v}\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

この命題は、曲線の極限に関する問題が、数列の極限に関する問題に帰着させられることを示唆しています。数列の極限について学んだ知識は、曲線の極限を考える上でも利用できるというわけです。

例(曲線の極限と数列の極限の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(1\)において収束可能であるかどうかを検討しようとしている状況します。点\(1\)とは異なる実数を項とするとともに\(1\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}
\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right)
,f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \\
&=&\left\{ x_{v}^{2}-x_{v},x_{v}+1\right\}
\end{eqnarray*}をつくります。座標数列\(\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\left( x_{v}^{2}-x_{v}\right) \\
&=&1^{2}-1\quad \because \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、座標数列\(\left\{ f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\left( x_{v}+1\right) \\
&=&1+1\quad \because \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=1 \\
&=&2
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、曲線\(f\)は点\(1\)において収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\left( \lim_{v\rightarrow +\infty
}f_{1}\left( x_{v}\right) ,\lim_{v\rightarrow +\infty }f_{2}\left(
x_{v}\right) \right) \\
&=&\left( 0,2\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

曲線の極限の一意性

曲線が収束するとき、その極限はそれぞれの座標関数の極限を成分とする点と一致することが明らかになりました。一般に、関数の極限が存在する場合には一意的であるため、座標関数の極限もまた一意的です。したがって、曲線の極限が存在する場合には一意的です。

命題(曲線の極限の一意性)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R}\)に関して極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R}^{m}\)を持つ場合、それは一意的である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題は、曲線\(f\)が点\(a\)に関して収束する場合、そこでの極限が1つの点として定まるという主張です。曲線\(f\)が異なる複数の点である\(a\)と\(a^{\prime }\)に関して収束するとき、そこでの極限である\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)と\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^{\prime }}f\left( x\right) \)が常に一致するという主張ではありません。通常、極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)は点\(a\)の位置に応じて変化します。ただ、以下のような例外もあります。

例(曲線の極限の一意性)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( 1,2\right)
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、任意の点\(a\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( 1,2\right)
\end{equation*}となります(確認してください)。つまり、この関数\(f\)の極限は\(a\)の値に依存せず\(\left( 1,2\right) \)で一定です。

次回は曲線の片側極限について解説します。

次へ進む 質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定)
< 前のページ
次のページ >
Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録