曲線(ベクトル値関数)が点において収束することの意味を解説します。

曲線の極限

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているものとします。つまり、点\(a\)の周辺にある任意の点が\(X\)の要素であるということです。点\(a\)自身は\(X\)の要素であっても、そうでなくても、どちらでもかまいません。さて、\(X\)の点を値としてとり得る変数\(x\)が、点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に限りなく近づく場合には、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)に収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。ただし、曲線の収束に関して議論を厳密に行う場合には関数の場合と同様に、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を正確に表現する必要があります。

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において\(b\in \mathbb{R} \)に収束することをイプシロン・デルタ論法を使って表現すると、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \tag{1} \end{equation}となります。\(\mathbb{R} \)におけるユークリッド距離\(d\)は絶対値に等しいため、\(\left( 1\right) \)を、\begin{equation} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<|x-a|<\delta \ \Rightarrow \ d\left( f\left( x\right) ,b\right)
<\varepsilon \right] \tag{2} \end{equation}と表現することもできます。そこで、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に収束することも、\(\left( 2\right) \)と同じ命題によって定義します。ただし、この場合の\(d\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)におけるユークリッド距離であり、極限である点を\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)で表すならば、\begin{equation*} d\left( f\left( x\right) ,b\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}} \end{equation*}となります。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は曲線\(f\)の座標関数です。したがって、\(f\)が曲線である場合には、\(\left( 2\right) \)をより具体的に表現すると、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \ \Rightarrow \ \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left(
x\right) -b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right) \end{equation*}となります。以上が曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において点\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)に収束することの定義です。

例(曲線の極限)
それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\(2\)次元ベクトル\begin{equation*} f\left( x\right) =\left( \begin{array}{c} x^{2}-x \\ x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2} \end{equation*}を定める曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1}\left( \begin{array}{c} x^{2}-x \\ x+1\end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2\end{array}\right) \end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-1|<\delta \ \Rightarrow \ \sqrt{\left[ \left( x^{2}-x\right) -0\right] ^{2}+\left[ \left( x+1\right) -2\right] ^{2}}<\varepsilon \right) \end{equation*}すなわち、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-1|<\delta \ \Rightarrow \ \sqrt{\left( x^{2}-x\right) ^{2}+\left(
x-1\right) ^{2}}<\varepsilon \right) \end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\sqrt{\left( x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x-1\right) ^{2}}<\varepsilon
&\Rightarrow &\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}+\left( x-1\right) ^{2}}<\varepsilon \\
&\Rightarrow &\sqrt{\left( x^{2}+1\right) \left( x-1\right) ^{2}}<\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x-1\right\vert \sqrt{x^{2}+1}<\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ますが、このままでは\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補を推測できません。今は\(x\rightarrow 1\)の場合について考えているため、最終的に\(\left\vert x-1\right\vert <1\)になることが予想されます。そこで\(\delta \leq 1\)と仮定して話を進めると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-1\right\vert <\delta \leq 1 &\Rightarrow &-1<x-1<1 \\
&\Rightarrow &0<x<2 \\
&\Rightarrow &1<x^{2}+1<5
\end{eqnarray*}すなわち\(\sqrt{x^{2}+1}<\sqrt{5}\)が成り立ちます。したがってこのとき、\begin{equation*}
\left\vert x-1\right\vert \sqrt{x^{2}+1}<\sqrt{5}\left\vert x-1\right\vert
\end{equation*}となるため、\(\sqrt{5}\left\vert x-1\right\vert <\varepsilon \)すなわち\(\left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{\sqrt{5}}\)が成り立つ場合には\(\left\vert x-1\right\vert \sqrt{x^{2}+1}<\varepsilon \)が成り立つことが保証されます。つまり\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{\sqrt{5}}\)ならば\(\left\vert x-1\right\vert \sqrt{x^{2}+1}<\varepsilon \)が成り立ちます。以上の議論は\(\delta \leq 1\)と\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{\sqrt{5}}\)がともに真の場合に妥当であるため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{\sqrt{5}}\right\}
\end{equation*}を選びます。実際、\(0<\left\vert x-1\right\vert <\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{\sqrt{5}}\right\} \)を満たす任意の実数\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\sqrt{\left( x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x-1\right) ^{2}} &=&\left\vert
x-1\right\vert \sqrt{x^{2}+1} \\
&<&\sqrt{5}\left\vert x-1\right\vert \quad \because \left\vert
x-1\right\vert \leq 1 \\
&<&\sqrt{5}\left( \frac{\varepsilon }{\sqrt{5}}\right) \quad \because
\left\vert x-1\right\vert <\frac{\varepsilon }{\sqrt{5}} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

曲線の極限の一意性

曲線が収束するとき、その極限は常に一意的です。

命題(曲線の極限の一意性)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)において収束する場合には、その極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\)は一意的である。
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曲線が収束することをイプシロン・デルタ論法にもとづいて証明するのは面倒です。そこで次回は、このような問題を解決する方法について解説します。

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