ベクトル値関数の極限（収束するベクトル値関数）

ベクトル値関数の極限の直感的な定義

始集合が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。

その上で、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap \left( X\backslash
\left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。このような点を議論の対象とする理由については後述します。

関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際にベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が必ず有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(\boldsymbol{f}\)は\(\boldsymbol{b}\)へ収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }\boldsymbol{f}\left(
x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(\boldsymbol{b}\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(\boldsymbol{f}\)の極限（limit）と呼びます。

ベクトル値関数の収束に関して厳密な議論を行うためには、実数値関数の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。

ベクトル値関数の極限の厳密な定義

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。この場合、有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じてベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が必ず有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことを意味します。これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるとともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}\)が成り立つこと、すなわち、ベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ \boldsymbol{f}_{i}\left( x\right) -b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}\)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さくなるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離は\(\varepsilon \)より小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ 0<\left\vert x-a\right\vert
<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。

さて、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}\)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)と\(\boldsymbol{b}\)の間の距離は\(\varepsilon \)より小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。以上の論理式によって、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

先の命題中の条件\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)に対して\(x<a\)または\(x>a\)のどちらか一方が成り立ちます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際には、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、先の命題において、\(x\)がどのような経路をたどって\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}など、あらゆる経路が起こり得ることを想定した表現になっています。

結論をまとめましょう。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際にベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が必ず有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。

実際の運用では、変数\(x\)を近づける先の点\(a\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の極限の候補となる何らかのベクトル\(\boldsymbol{b}\)を具体的に設定した上で、それに対して上の論理式が成り立つことを示すことが目標になります。極限の候補\(\boldsymbol{b}\)を特定する方法については後述します。

ベクトル値関数が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは面倒です。また、証明を行う際に極限の候補が必要になるという問題もあります。ただ、こうした問題はいずれも解決可能です。詳細は後ほど解説します。

変数の近づき方に関する注意

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)について\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}\)が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じてベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が必ず有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味し、これを厳密に表現すると、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。点\(a\)は\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の要素でもそうでなくてもどちらでも構いません。また、変数\(x\)が点\(a\)に近づいていく経路は問いませんが、\(x\)が点\(a\)へ近づいていく過程において任意の\(x\)は\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)に属してなければならず、なおかつ\(x\)は\(a\)とは異なる点でなければなりません。上の論理式中の\(0<|x-a|\)は\(x\)が\(a\)とは異なる点であることを踏まえた条件になっています。では、上の定義において\(0<|x-a|\)という条件を外すと何が起こるでしょうか。すなわち、\(x\rightarrow a\)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \boldsymbol{b}\)が成り立つことの定義として、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}を採用すると何らかの問題が発生するのでしょうか。

関数の極限を定義する際に集積点を採用する理由

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、なぜ、変数\(x\)が近づく先の点\(a\)として関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点を採用するのでしょうか。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)が有限なベクトルへ収束することを検討するためには、そもそも\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)の周辺の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束することとは、変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じてベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が必ず有限なベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、\(x\)を点\(a\)へ限りなく近づけることができなくなってしまうからです。

点\(a\)が関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点である場合には、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、どれほど小さい\(\delta >0\)を選んだ場合でも\(N_{\delta }\left( a\right) \)と\(X\backslash \left\{ a\right\} \)は交わるため、点\(a\)から限りなく近い場所に点\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。ちなみに、関数\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in X\)である場合には\(X\backslash \left\{ a\right\} =X\)となるため、上の命題は、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X\not=\phi
\end{equation*}と必要十分になります。これは点\(a\)が\(X\)の触点であることの定義に他なりません。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとともに、点\(a\)から限りなく近い場所に点\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

逆に、点\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点ではない場合には何が起こるでしょうか。そこで、点\(a\)が関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の孤立点である状況を想定します。孤立点は集積点ではありません。さて、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、十分小さい\(\delta >0\)を選んだ場合には\(N_{\delta}\left( a\right) \)と\(X\)の交わりには点\(a\)だけしか存在しないため、点\(a\)から限りなく近い場所において関数\(\boldsymbol{f}\)は定義されていないことになります。このような場合、\(x\)をそもそも\(a\)へ限りなく近づけることができません。さらに言うと、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)に注目すると、そもそも\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす\(X\)の点\(x\)は存在しないため、以下の命題\begin{equation}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}の前提\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(\boldsymbol{b}\)としてどのようなベクトルを選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法によるベクトル値関数の極限を踏まえたとき、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left(x\right) \)は任意のベクトルに限りなく近づくことになってしまいます。これではベクトル値関数の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が有限なベクトルへ収束するかを検討する際には、\(a\)が\(\boldsymbol{f}\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。

ベクトル値関数の極限の一意性

ベクトル値関数が収束する場合、その極限は1つのベクトルとして定まります。

演習問題