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VECTOR VALUED FUNCTION

ベクトル値関数の極限

目次

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ベクトル値関数の極限

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているものとします。その一方で、\(f\)は点\(a\)において定義されていてもいなくても、どちらでも構いません。このような点\(a\)を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に限りなく近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のときに }f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などと表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

ベクトル値関数の極限に関して厳密な議論を行うためには、1変数関数の極限の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が存在することとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が点\(b\)へ限りなく近づくことを意味しますが、これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくと言うためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入したとき、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left( f_{i}\left( x\right) -b_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ点\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow d\left(
f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<|x-a|<\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right) ,b\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。そこで、以上の論理式によって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義とします。つまり、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b\)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(ベクトル値関数の極限)
\(m=2\)の場合のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\left( b_{1},b_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\left( b_{1},b_{2}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) -b_{1}\right] ^{2}+\left[ f_{2}\left( x\right) -b_{2}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)は\(f\)の成分関数です。関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\left( 0,1\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x-0\right\vert <\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ \left(
x^{2}-x\right) -0\right] ^{2}+\left[ \left( x+1\right) -1\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x\right\vert <\delta \Rightarrow \sqrt{x^{2}\left(
x-1\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &=&\left\vert x\left( x-1\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert x-1\right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}}\leq \left\vert x\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{equation}
0<\left\vert x\right\vert <1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &\leq &\left\vert x\right\vert \cdot
\left( \left\vert x\right\vert +1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x\right\vert \cdot \left( 1+1\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&2\left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<\left\vert x\right\vert <1\Rightarrow \sqrt{x^{2}\left( x-1\right)
^{2}}<2\left\vert x\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{2}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を選ぶと、\begin{equation}0<\left\vert x\right\vert <\delta \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x^{2}\left( x-1\right) ^{2}} &<&2\left\vert x\right\vert \quad
\because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&<&2\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&2\cdot \min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{2}\right\} \quad \because
\left( 4\right) \\
&\leq &2\cdot \frac{\varepsilon }{2} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(ベクトル値関数の極限)
\(m=1\)の場合のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\left[ f\left( x\right) -b\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは1変数関数の極限の定義に他なりません。つまり、ベクトル値関数の極限は1変数関数の極限の一般化です。

ベクトル値関数が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは面倒です。また、証明を行う際に極限の候補が必要になるという問題もあります。ただ、こうした問題はいずれも解決可能です。詳細は後ほど解説します。

 

変数が限りなく近づく点に関する注意

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するかどうかを検討するためには、そもそも\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに収束することとは、\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left(x\right) \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)上のある点\(b\)に限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が点\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、「\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づく」という状況を作ることさえできないからです。

もう少し厳密に議論をしましょう。\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない状況の具体例として、\(a\)が\(f\)の定義域\(X\)の孤立点であるような場合が考えられます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\delta \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left( a-\delta ,a+\delta \right)
\end{equation*}と定義されます。つまり\(\left( 1\right) \)は、点\(a\)を中心とする近傍の中に点\(a\)以外の\(X\)の点を要素として持たないものが存在することを意味します。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに何らかの点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するでしょうか。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)を選ぶと、そもそも\(\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす点\(X\)の点\(x\)は存在しないため、\begin{equation}\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( f\left( x\right)
,b\right) <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}という主張の前提\(\left\vert x-a\right\vert <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような点を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法によるベクトル値関数の極限を踏まえたとき、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の任意の点に限りなく近づくことになってしまいます。これでは関数の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が収束するかどうかを検討する際には、点\(a\)が\(f\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。

「関数\(f\)が点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている」という表現が曖昧で気に入らなければ、これを「点\(a\)は関数\(f\)の定義域の集積点である」と言い換えることもできます。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(X\)の集積点であることとは、点\(a\)の任意の近傍が点\(a\)とは異なる\(X\)の要素を持つこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。点\(a\)に限りなく近い点\(x\)を任意に選ぶと、これは\(x\in N_{\delta}\left( a\right) \)を満たします。上の定義より任意の\(\delta \)について\(N_{\delta }\left( a\right) \)と\(X\backslash \left\{ a\right\} \)は交わるため、十分小さい\(\delta \)を選べば\(x\in X\)となり、したがって\(f\)が点\(x\)において定義されていることが保証されます。ちなみに、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in X\)が成り立つ場合には\(X\backslash \left\{ a\right\} =X\)となるため、上の定義を、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X\not=\phi
\end{equation*}と言い換えることができます。これは点\(a\)が\(X\)の触点であることの定義に他なりません。この場合にも、点\(a\)に限りなく近い点\(x\)を任意に選ぶと、先と同様の理由により、\(x\in X\)となることが保証されます。

 

ベクトル値関数の極限の一意性

ベクトル値関数が収束する場合、その極限は1つの点として定まります。

命題(ベクトル値関数の極限の一意性)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)に関して極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)が存在する場合、それは一意的である。
証明

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次回はベクトル値関数の極限と成分関数の極限の間に成立する関係について解説します。

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