n 次元空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義するとき、その空間を n 次元ユークリッド空間と呼びます。ユークリッド距離は絶対値を一般化した概念です。

ユークリッド空間

\(n\)次元空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\(x\)から\(y\)へのユークリッド距離(Euclidean distance from \(x\) to \(y\))を、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{equation*}と定義します。誤解の恐れがない場合には、これをシンプルに\(x\)から\(y\)への距離(distance)と呼びます。

\(n\)次元空間の点\(x,y\)の任意の成分\(x_{i},y_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は実数であり、さらに実数空間\(\mathbb{R} \)は四則演算について閉じているため、上のように定義される距離\(d\left( x,y\right) \)は常に存在し、なおかつそれは1つの実数です。したがって、それぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対してユークリッド距離\(d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)を定める写像\begin{equation*}
d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これをユークリッド距離関数(Euclidean distance function)と呼びます。誤解の恐れがない場合には、これをシンプルに距離関数(distance function)と呼びます。

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上にユークリッド距離関数\(d\)が定義されているとき、これらの組\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)をユークリッド空間(Euclidean space)や\(n\)次元ユークリッド空間(\(n\)-dimensional Euclidean space)などと呼びます。ただし、\(\mathbb{R} ^{n}\)においてユークリッド距離関数\(d\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、\(n\)次元ユークリッド空間をシンプルに\(\mathbb{R} ^{n}\)と表記します。

例(ユークリッド空間)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の点からなる順序対\(\left( x,y\right) \)を任意に選びます。このとき、\(x\)から\(y\)への距離は、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}}\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}という実数です。つまり、\(\mathbb{R} \)において、2つの点の間の距離は、それらの差の絶対値と一致します。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
d\left( 1,4\right) &=&\left\vert 1-4\right\vert =3 \\
d\left( -1,8\right) &=&\left\vert -1-8\right\vert =9 \\
d\left( \frac{4}{5},\frac{1}{10}\right) &=&\left\vert \frac{4}{5}-\frac{1}{10}\right\vert =\frac{7}{10}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(ユークリッド空間)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の点からなる順序対\(\left( x,y\right) \)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right)\)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。このとき、\(x\)から\(y\)への距離は、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{2}(x_{i}-y_{i})^{2}}\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}という実数です。具体例を挙げると、\begin{eqnarray*}
d\left( \left( 1,2\right) ,\left( 3,1\right) \right) &=&\sqrt{\left(
1-3\right) ^{2}+\left( 2-1\right) ^{2}}=\sqrt{5} \\
d\left( \left( -1,7\right) ,\left( 3,2\right) \right) &=&\sqrt{\left(
-1-7\right) ^{2}+\left( 3-2\right) ^{2}}=\sqrt{65} \\
d\left( \left( \frac{2}{3},-1\right) ,\left( -\frac{1}{2},-2\right) \right)
&=&\sqrt{\left( \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( -1+2\right) ^{2}}=\frac{\sqrt{85}}{6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

ユークリッド距離の基本性質

\(n\)次元ユークリッド空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。本来、2つの順序対\(\left( x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別されるため、それらに対する距離である\(d\left( x,y\right) \)と\(d\left( y,x\right) \)もまた区別されます。ただ、実際には、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( y_{i}-x_{i}\right) ^{2}}\quad \because \left(
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}=\left( y_{i}-x_{i}\right) ^{2} \\
&=&d\left( y,x\right) \quad \because d\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、両者は常に一致します。つまり、点\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離と\(y\)から\(x\)への距離は一致します。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を対称性(symmetry)と呼びます。

命題(ユークリッド距離の対称性)
\(n\)次元ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質を満たす。\begin{equation*}
\left( D_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:d(x,y)=d(y,x)
\end{equation*}
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\(n\)次元ユークリッド空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}} \\
&\geq &0\quad \because \sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}\geq 0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、上の不等号の導出では、非負の実数\(a\geq 0\)に対して\(\sqrt{a}\geq 0\)が成り立つという事実を利用しています。つまり、点\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離は非負の実数になります。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を非負性(non-negativity)と呼びます。

命題(ユークリッド距離の非負性)
\(n\)次元ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質を満たす。\begin{equation*}
\left( D_{2}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:d(x,y)\geq 0
\end{equation*}
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\(n\)次元ユークリッド空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。このとき、\begin{eqnarray*}
d(x,y)=0 &\Leftrightarrow &\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}=0\quad \because d\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}=0\quad
\because \sum\limits_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}\geq 0 \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \{1,\cdots ,n\}:\left( x_{i}-y_{i}\right)
^{2}=0\quad \because \left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}\geq 0 \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \{1,\cdots ,n\}:x_{i}-y_{i}=0 \\
&\Leftrightarrow &\forall i\in \{1,\cdots ,n\}:x_{i}=y_{i} \\
&\Leftrightarrow &x=y
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、点\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離が\(0\)であることと、\(x\)と\(y\)は一致することは必要十分です。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を同一性(identity of indiscernibles)と呼びます。

命題(ユークリッド距離の同一性)
\(n\)次元ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質を満たす。\begin{equation*}
\left( D_{3}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \end{equation*}
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\(n\)次元ユークリッド空間の点\(x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)かつ\(z=\left( z_{1},\cdots ,z_{n}\right) \)です。このとき、\begin{equation*}
\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-z_{i}\right) ^{2}}\leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
y_{i}-z_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
\end{equation*}が示されます(演習問題にします)。つまり、点\(x,y,z\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(z\)までの距離は、\(x\)から\(y\)を経由して\(z\)へ至る場合の距離以下になります。ユークリッド距離関数\(d\)が満たすこのような性質を三角不等式(triangle inequality)や劣加法性(subadditivity)などと呼びます。

命題(ユークリッド距離の劣加法性)
\(n\)次元ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質を満たす。\begin{equation*}
\left( D_{4}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
\end{equation*}
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\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)とは限らない一般の集合\(X\)が与えられたとき、関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、これが上の\(\left( D_{1}\right) \)から\(\left( D_{4}\right) \)に相当する性質を満たすとき、それらの組\(\left( X,d\right) \)を距離空間(metric space)と呼びます。上で示したように、ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)は\(\left( D_{1}\right) \)から\(\left( D_{4}\right) \)の性質を満たしますが、この事実は、ユークリッド空間が距離空間の1つの例であることを意味します。逆に、ユークリッド空間の一般化が距離空間です。距離空間については場を改めて詳しく解説します。

例(ユークリッド距離の性質)
\(1\)次元ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して定める距離は、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}}\quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}です。したがって、先に示した\(d\)の性質は、\begin{eqnarray*}
&&\left( D_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert \\
&&\left( D_{2}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x-y\right\vert \geq 0 \\
&&\left( D_{3}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-y\right\vert =0\ \Leftrightarrow \ x=y\right) \\
&&\left( D_{4}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left\vert x-z\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert +\left\vert
y-z\right\vert
\end{eqnarray*}と言い換えられますが、これらはいずれも絶対値の性質と整合的です。

 

ユークリッド空間としての実ベクトル空間

実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について考えます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上にはベクトル加法とスカラー乗法が定義されているということです。点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。復習になりますが、\(x\)と\(y\)の内積を、\begin{equation*}
\left\langle x,y\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}
\end{equation*}と定義したとき、\(\left( \mathbb{R} ^{n},\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right) \)は内積空間としての性質を満たすため、実ベクトル空間は内積空間です。以上を踏まえた上で、関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\sqrt{\langle x-y,x-y\rangle }
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、これは\(x\)から\(y\)へのユークリッド距離と一致するため(確認してください)、実ベクトル空間はユークリッド空間でもあります。

命題(ユークリッド空間としての実ベクトル空間)
実ベクトル空間の点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)である。写像\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像を、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\sqrt{\langle x-y,x-y\rangle }
\end{equation*}と定めるとき、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)はユークリッド空間となる。
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以上の命題を踏まえた上で、以降において\(\mathbb{R} ^{n}\)を「ユークリッド空間」と呼ぶとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)にはユークリッド距離\(d\)が定義されているだけでなく、\(\mathbb{R} ^{n}\)が実ベクトル空間であることを前提として認めるものとします。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上にはベクトル加法やスカラー乗法、内積などが定義されていることを認めるということです。また、必要に応じて、\(\mathbb{R} ^{n}\)が実順序ベクトル空間であることも前提として認めるものとします。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上には順序が定義されていることを認めるということです。

上の命題では内積を用いて実ベクトル空間とユークリッド空間を繋げましたが、ノルムを用いても同様の議論が成立します。繰り返しになりますが、実ベクトル空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について考えます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上にはベクトル加法とスカラー乗法が定義されているということです。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)です。復習になりますが、\(x\)のノルムを、\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot x_{i}}
\end{equation*}と定義したとき、\(\left( \mathbb{R} ^{n},\left\Vert \cdot \right\Vert \right) \)はノルム空間としての性質を満たすため、実ベクトル空間はノルム空間です。以上を踏まえた上で、関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)を、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、これは\(x\)から\(y\)へのユークリッド距離と一致するため(確認してください)、やはり実ベクトル空間はユークリッド空間でもあります。

命題(ユークリッド空間としての実ベクトル空間)
実ベクトル空間の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶ。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)である。写像\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める像を、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}と定めるとき、\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)はユークリッド空間となる。
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次回はユークリッド距離を用いてユークリッド空間の部分集合どうしを定義します。

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