n 次元空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義するとき、その空間を n 次元ユークリッド空間と呼びます。ユークリッド距離は絶対値を一般化した概念です。

2019年6月16日:公開

\(n\)次元空間

すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)には加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係が定義されており、これらは実数の公理を満たすものとします。つまり、\(\mathbb{R} \)は演算\(+,\cdot \)と順序\(\leq \)に関して完備な順序体としての性質を満たすということです。

実数の公理について復習する

完備な順序体である\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、これと自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}=\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\ |\ \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\}
:x_{i}\in \mathbb{R} \}
\end{equation*}と定義される集合を\(n\)次元空間(\(n\)-dimensional space)と呼びます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)とは\(n\)個の\(\mathbb{R}\)の直積集合です。言い換えると、実数を成分とする\(n\)次元ベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)をすべて集めてできる集合が\(\mathbb{R} ^{n}\)です。

直積集合について復習する

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素を、\begin{equation*}
x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}で表し、これを\(\mathbb{R} ^{n}\)の(point)と呼びます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点とは実数を成分とする\(n\)次元ベクトルです。

例(n 次元空間)
\(1\)次元空間\(\mathbb{R} ^{1}\)とは、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)です。
例(n 次元空間)
\(2\)次元空間\(\mathbb{R} ^{2}\)とは、すべての 2 次元ベクトル(平面座標)からなる集合\begin{equation*}\mathbb{R} ^{2}=\{\left( x_{1},x_{2}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} ,\ x_{2}\in \mathbb{R} \}
\end{equation*}です。
例(n 次元空間)
\(3\)次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)とは、すべての 3 次元ベクトル(空間座標)からなる集合\begin{equation*}\mathbb{R} ^{3}=\{\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \ |\ x_{1}\in \mathbb{R} ,\ x_{2}\in \mathbb{R} ,\ x_{3}\in \mathbb{R} \}
\end{equation*}です。

 

ユークリッド距離

\(n\)次元空間の点からなる順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\(x\)から\(y\)への距離(distance from \(x\) to \(y\))または\(n\)次元ユークリッド距離(\(n\)-dimensional Euclidean distance)を、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}
\end{equation*}と定義します。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},\cdots ,y_{n}\right) \)です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(x,y\)の任意の成分\(x_{i},y_{i}\)は実数であり、さらに\(\mathbb{R} \)は加法と乗法について閉じているため、上のように定義される距離\(d\left( x,y\right) \)は常に実数です。したがって、\(n\)次元空間の点からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対してユークリッド距離\(d\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)を定める関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この関数\(d\)を距離関数(distance function)や\(n\)次元ユークリッド距離関数(\(n\)-dimensional Euclidean distance function)などと呼びます。

例(ユークリッド距離)
完備な順序体である実数空間\(\mathbb{R} \)と\(1\)次元空間\(\mathbb{R} ^{1}\)は実質的に同じ概念です。\(1\)次元ユークリッド関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して定める距離は、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}}\quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、ユークリッド距離は絶対値を一般化した概念です。
絶対値について復習する
例(ユークリッド空間)
\(2\)次元ユークリッド関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める距離は、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{2}(x_{i}-y_{i})^{2}}\quad \because
\text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2}\right) \)です。
例(ユークリッド空間)
\(3\)次元ユークリッド関数\(d:\mathbb{R} ^{3}\times \mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{3}\times \mathbb{R} ^{3}\)に対して定める距離は、\begin{eqnarray*}
d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{3}(x_{i}-y_{i})^{2}}\quad \because
\text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-y_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-y_{3}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(y=\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) \)です。

 

ユークリッド距離の性質

ユークリッド距離は以下の性質を満たします。

命題(ユークリッド距離の性質)
\(n\)次元ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:d(x,y)=d(y,x) \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:d(x,y)\geq 0 \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left[ d(x,y)=0\ \Leftrightarrow \ x=y\right] \\
&&\left( E_{4}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} ^{n}:d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)
\end{eqnarray*}
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\(\left( E_{1}\right) \)は対称性(symmetry)と呼ばれる性質であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)までの距離と\(y\)から\(x\)までの距離が等しいことを意味します。

\(\left( E_{2}\right) \)は非負性(non-negativity)と呼ばれる性質であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(x,y\)を任意に選んだとき、それらの間の距離が非負であることを意味します。

\(\left( E_{3}\right) \)は同一性(identity of indiscernibles)と呼ばれる性質であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(x,y\)を任意に選んだとき、それらの間の距離が\(0\)であることと、それらが等しい点であることが同値であることを意味します。

\(\left( E_{4}\right) \)は三角不等式(triangle inequality)もしくは劣加法性(subadditivity)と呼ばれる性質であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(x,y,z\)を任意に選んだとき、\(x\)から\(z\)までの距離は、\(x\)から\(y\)を経由して\(z\)へ至る場合の距離以下であることを意味します。

例(ユークリッド距離の性質)
\(1\)次元ユークリッド関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して定める距離は、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}となります。したがって、先の命題で示された距離\(d\)の性質は、絶対値を用いて以下のように読み替え可能です。\begin{eqnarray*}
&&\left( E_{1}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert \\
&&\left( E_{2}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x-y\right\vert \geq 0 \\
&&\left( E_{3}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( \left\vert x-y\right\vert =0\ \Leftrightarrow \ x=y\right) \\
&&\left( E_{4}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left\vert x-z\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert +\left\vert
y-z\right\vert
\end{eqnarray*}これらはいずれも絶対値の性質と整合的です。

 

ユークリッド空間

\(n\)次元空間\(\mathbb{R} ^{n}\)においてユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義されているとき、それらの組\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)を\(n\)次元ユークリッド空間(\(n\)-dimensional Euclidean space)と呼びます。ただし、\(\mathbb{R} ^{n}\)においてユークリッド距離関数\(d\)が定義されていることが文脈から明らかである場合には、\(n\)次元ユークリッド空間をシンプルに\(\mathbb{R} ^{n}\)と表記します。また、以降において距離と言うとき、特に断りのない限りにおいてそれはユークリッド距離を指します。

次回はユークリッド距離を用いて、ユークリッド空間の部分集合どうしの距離、点と部分集合の距離、および部分集合の直径などを定義します。
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