円筒座標系（空間における極座標系）

円筒座標系

\(n\)次元空間ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在するそれぞれの点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の位置を特定するために、点\(\boldsymbol{x}\)に対して付与される数の組を\(\boldsymbol{x}\)の座標（coordinates）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に対して座標を付与する方法は一意的ではありません。それぞれの点に対してどのようなルールのもとで座標を付与するか、そのルールに相当する概念を座標系（coordinate system）と呼びます。ここでは、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における極座標系（polar coordinate system）の1つである円筒座標系（cylindrical coordinate system）について解説します。なお、以降では列ベクトルと行ベクトルを同一視した上で、主に列ベクトルを用いて議論を行います。

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)に直交座標系にもとづく座標を導入すれば直交座標平面が得られます。直交座標平面における原点\(O\)の座標は\(\left( 0,0,0\right) \)ですが、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)に円筒座標系にもとづく座標を導入する場合には、この原点\(O\)を極（polar）と呼びます。また、直交座標系における\(x\)軸の正の部分、\(y\)軸の正の部分、\(z\)軸の正の部分をそれぞれ円筒座標系において\(x\)軸（\(x\) axix）、\(y\)軸（\(y\) axis）、\(z\)軸（\(z\) axis）と呼びます。

空間上に存在する点\(P\)が与えられた状況を想定します（上図）。点\(P\)から\(xy\)平面へ下ろした垂線の足を点\(Q\)と呼びます。点\(Q\)は\(xy\)平面上に存在するため、点\(Q\)の\(xy\)平面上での位置を円座標を用いて表現できます。つまり、線分\(OQ\)の長さが\(r\)であり、線分\(OQ\)と\(x\)軸のなす角が\(\theta \)である場合、点\(Q\)の\(xy\)平面上での座標は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta
\end{array}\right)
\end{equation*}と表現されます。以上の情報に加えて、直交座標系のもとでの点\(P\)の\(z\)座標を加えることにより得られる、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta \\
z\end{array}\right)
\end{equation*}を円筒座標系のもとでの点\(P\)の座標として採用します。これを点\(P\)の円筒座標（cylindrical coordinates）と呼びます。円筒座標の第1成分である\(r\)を動径（radial coordinate）と呼び、第2成分である\(\theta \)を方位角（azimuth）と呼び、第3成分である\(z\)を高さ（height）と呼びます。

線分\(OQ\)の長さは非負の実数として定まるため、点\(P\)の動径\(r\)は非負の実数として定まります。すなわち、\begin{equation*}r\geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。

線分\(OQ\)と\(x\)軸のなす角\(\theta \)を測る方法は2通り存在します。1つ目は、線分\(OQ\)と\(x\)軸のなす角の大きさを反時計回りに計測する場合であり、その場合には方位角\(\theta \)を正の実数で表記します。2つ目は、線分\(OQ\)と\(x\)軸のなす角の大きさを時計回りに計測する場合であり、その場合には方位角\(\theta \)を負の実数で表記します。反時計回りに\(\theta >0\)だけ回転させることと時計回りに\(2\pi -\theta \)だけ回転させることは等しいため、任意の\(\theta >0\)について以下の関係\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r \\
-\left( 2\pi -\theta \right) \\
z\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

直交座標系のもとでの点\(P\)の\(z\)座標は任意の実数を値としてとり得るため、点\(P\)の高さ\(z\)は、\begin{equation*}-\infty <z<+\infty
\end{equation*}を満たします。

点\(P\)が極\(O\)と一致する場合の動径と高さは\(r=z=0\)ですが、この場合に偏角\(\theta \)は任意の値をとるものと定めます。つまり、極\(O\)の円筒座標を、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\theta \\
0\end{array}\right) \quad \left( \theta \in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}と定めるということです。

点\(P\)の円筒座標が\(\left( r,\theta,z\right) \)である場合、方位角\(\theta \)に\(2\pi \)の整数倍を足しても点\(P\)の位置は変わらないため、任意の整数\(z\in \mathbb{Z} \)について以下の関係\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r \\
\theta +2\pi z \\
z\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

円筒座標を直交座標へ変換する

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に直交座標を導入した場合の原点\(O\)と、円筒座標を導入した場合の極\(O\)を同一視します。

点\(P\)の直交座標が\(\left(x,y,z\right) \)である一方で円筒座標が\(\left( r,\theta ,z\right) \)であるものとします。ただし、\begin{equation*}r>0\wedge 0<\theta <\frac{\pi }{2}
\end{equation*}であるものとします（上図）。この場合、正弦および余弦の定義より、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) =\dfrac{x}{r} \\
\sin \left( \theta \right) =\dfrac{y}{r} \\
z=z\end{array}\right.
\end{equation*}がいずれも成り立つため、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right) \\
z\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。

続いて、\begin{equation*}
r>0\wedge \frac{\pi }{2}<\theta <\pi
\end{equation*}であるものとします。この場合、正弦および余弦の定義より、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi -\theta \right) =\dfrac{-x}{r} \\
\sin \left( \pi -\theta \right) =\dfrac{y}{r} \\
z=z\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) =\dfrac{x}{r} \\
\sin \left( \theta \right) =\dfrac{y}{r} \\
z=z\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つため、この場合にも、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right) \\
z\end{array}\right)
\end{equation*}を得ます。

他の場合についても同様の議論が成立するため、任意の\(r,\theta ,z\)について同様の主張が成り立ちます。

直交座標を円筒座標へ変換する

空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する点\(P\)の直交座標が\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)であり、円筒座標が\(\left( r,\theta ,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)である場合には、以下の関係\begin{equation}\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\cos \left( \theta \right) \\
r\sin \left( \theta \right) \\
z\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。すると、\begin{eqnarray*}
x^{2}+y^{2} &=&r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left(
\theta \right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&r^{2}\quad \because \sin ^{2}\left( \theta \right) +\cos ^{2}\left(
\theta \right) =1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x^{2}+y^{2}=r^{2}
\end{equation*}が成り立つとともに、\(r\not=0\)である場合には、\begin{eqnarray*}\tan \left( \theta \right) &=&\frac{\sin \left( \theta \right) }{\cos
\left( \theta \right) } \\
&=&\frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}\quad \because r\not=0\text{および}\left( 1\right) \\
&=&\frac{y}{x}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\tan \left( \theta \right) =\frac{y}{x}
\end{equation*}が成り立ちます。

点\(P\)の直交座標が\(\left(x,y,z\right) \)である場合、これを円筒座標\(\left( r,\theta ,z\right) \)へ変換する際には、上の命題中の\(\left( a\right) \)から動径\(r\)を特定し、\(\left(b\right) \)から方位角\(\theta \)を特定することになります。具体的には、動径\(r\)を正の実数として表現する場合には、\begin{equation*}r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}となります。一方、正接関数\(\tan \)は単射ではないため、\begin{equation*}\tan \left( \theta \right) =\frac{y}{x}
\end{equation*}を満たす\(\theta \)の値、すなわち、\begin{equation*}\theta =\arctan \left( \frac{y}{x}\right)
\end{equation*}は一意的に定まりません。以上の条件を満たす\(\theta \)を特定した上で、その中から何らかの値を選ぶことになります。

演習問題