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逆正接関数(arctan関数)の定義

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逆正接関数

正接関数\begin{equation*}
\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。ただし、\(X\)は正接関数の定義域であり、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。正接関数は周期\(\pi \)の周期関数であるため\(X\)上に定義された正接関数は全単射ではなく、したがって、その逆関数は存在しません。ただ、正接関数の定義域を適当な範囲に制限すれば全単射を得ることができます。具体例を挙げると、正接関数の定義域を有界開区間\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に制限した場合、この新たな定義域上で正接関数は狭義単調増加関数になるとともに、値域は\(\mathbb{R} \)となります。

命題(全単射であるような正接関数)
正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有界開区間\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \subset \mathbb{R} \)上で狭義単調増加関数であるとともに、そこでの値域は\(\mathbb{R} \)となる。
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以上の命題より、以下の関数\begin{equation}
\tan \left( x\right) :\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}は全単射であるため、その逆関数が存在します。そこで、\(\left(1\right) \)の逆関数を、\begin{equation*}\tan ^{-1}\left( y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}または、\begin{equation*}
\arctan \left( y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}などで表記し、これを逆正接関数(inverse tangent mathrmtion)やアークタンジェント関数(arctangent mathrmtion)などと呼びます。順序対\(\left( x,y\right) \in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \times \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、\begin{equation*}y=\tan \left( x\right) \Leftrightarrow x=\tan ^{-1}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

2つの変数\(x,y\)の記号を入れ替えることにより、逆正接関数を、\begin{equation*}\tan ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}と表現することもできます。逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) \)の逆関数は正接関数\begin{equation*}\tan \left( y\right) :\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)
\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}であるため、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、\begin{equation*}y=\tan ^{-1}\left( x\right) =x=\tan \left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) \)のグラフは以下の通りです。

図:逆正接関数のグラフ
図:逆正接関数のグラフ
例(逆正接関数)
繰り返しになりますが、順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)を任意に選んだとき、逆関数の定義より、\begin{equation*}y=\tan ^{-1}\left( x\right) =x=\tan \left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。また、正接関数\(\tan \left( y\right) :\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)に関して以下が成り立ちます。

$$\begin{array}{cccccccccc}\hline
y(ラジアン) & -\frac{\pi }{2} & – \frac{\pi }{3} & -\frac{\pi }{4} & -\frac{\pi }{6} & 0 & \frac{\pi }{6} & \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2} \\ \hline
\tan \left( y\right) & – & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & – \\ \hline
\end{array}$$

表:正接関数の値

以上を踏まえると、逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)に関して以下が成り立ちます。

$$\begin{array}{cccccccccc}\hline
x & – & -\sqrt{3} & -1 & -\frac{\sqrt{3}}{3} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & – \\ \hline
\tan ^{-1}\left( x\right) & -\frac{\pi }{2} & -\frac{\pi }{3} & -\frac{\pi }{4} & -\frac{\pi }{6} & 0 & \frac{\pi }{6} & \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2} \\ \hline
\end{array}$$

表:逆正接関数の値
例(逆正接関数)
下図のような直角三角形が与えられているものとします。

図:直角三角形
図:直角三角形

底辺の長さを\(b>0\)で、対辺の長さを\(c>0\)で、斜辺と底辺がつくる角の大きさ(ラジアン)を\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)でそれぞれ表記する場合、正接の定義より、\begin{equation*}\tan \left( x\right) =\frac{c}{b}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。逆正接関数の定義より、底辺の長さと対辺の長さの比\(\frac{c}{b}\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\tan ^{-1}\left( \frac{c}{b}\right) =x
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、逆正接関数を利用することにより、底辺の長さと対辺の長さの比\(\frac{c}{b}\)から、斜辺と底辺が作る角の大きさ\(x\)を特定できるということです。

 

逆正接関数は狭義単調増加関数

逆正接関数は狭義単調増加関数です。

命題(逆正接関数は狭義単調増加)
逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)は狭義単調増加関数である。
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逆正接関数の値域

逆正接関数が正接関数の逆関数として定義されることを踏まえると以下を得ます。

命題(逆正接関数の値域)
逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)の値域は\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)である。
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例(逆正接関数のグラフ)
逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)のグラフは以下の通りです。

図:逆正接関数のグラフ
図:逆正接関数のグラフ

先に示したように、この関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) \)は定義域\(\mathbb{R} \)上で狭義単調増加であるとともに、値域は\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) \)です。上のグラフは以上の事実と整合的です。

 

逆正接関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。また、全区間上に定義された逆正接関数を\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=\tan ^{-1}\left( x\right) \)です。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\tan ^{-1}\left( f\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots
+c_{n}x^{n}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは多項式関数\(f\left( x\right) \)と逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はともに多項式関数であるものとします。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right)
}\right)
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは有理関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)と逆正接関数\(\tan^{-1}\left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(指数関数との合成)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、\(a\)を底とする指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義したとき、先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( a^{x}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは指数関数\(a^{x}\)と逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( e^{x}\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(対数関数との合成)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、\(a\)を底とする対数関数\begin{equation*}\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義したとき、先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( \log _{a}\left( x\right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは対数関数\(\log _{a}\left( x\right) \)と逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( \ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(ベキ関数との合成)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、\(a\)を指数するベキ関数\begin{equation*}x^{a}:\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義したとき、先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( x^{a}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これはベキ関数\(x^{a}\)と逆正接関数\(\tan ^{-1}\left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan ^{-1}\left( x^{e}\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。

 

演習問題

問題(逆正接関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( \tan ^{-1}\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を求めてください。
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