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関数の片側極限

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関数の右側極限

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記しました。また、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の論理式中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)については\(x<a\)もしくは\(x>a\)のどちらか一方が起こり得ます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていくプロセスにおいて、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、上の論理式において、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などの経路が可能性として起こり得ます。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず\(b\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。これに対し、\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際の経路を限定した上で、関数の収束可能性を議論することもできます。以下で具体的に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも大きい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a \)とは異なりなおかつ\(a \)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に近づく場合、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側極限(right-hand limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(b\)へ収束することは以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合には\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<x-a<\delta \)に置き換えれば、それはそのまま右側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の右側極限の厳密な定義です。

例(関数の右側極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)より大きい周辺の任意の\(x\)において定義されています。そこで、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +0}\sqrt{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\geq 0:\left(
0<x-0<\delta \Rightarrow \left\vert \sqrt{x}-0\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。\(x>0\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\geq 0:\left(
0<x<\delta \Rightarrow \sqrt{x}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と言い換え可能です。以上の命題が成り立つことを示すことが目標になります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\varepsilon ^{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとれば、\begin{equation}
0<x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x} &<&\sqrt{\delta }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

関数の左側極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも小さい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a \)とは異なりなおかつ\(a \)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に近づく場合、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の左側極限(left-hand limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が\(b\)へ収束することは以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<-\left( x-a\right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-a<0\)に置き換えれば、それはそのまま左側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の左側極限の厳密な定義です。

例(関数の左側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(3\)より小さい周辺の任意の\(x\)において定義されています。そこで、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 3-}x^{2}=9
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-3<0\Rightarrow \left\vert x^{2}-9\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。以上の命題が成り立つことを示すことが目標になります。まず、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-9\right\vert &=&\left\vert \left( x-3\right) \left(
x+3\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-3\right\vert \cdot \left\vert x+3\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-3\right\vert \cdot \left( \left\vert x\right\vert
+3\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x^{2}-9\right\vert \leq \left\vert x-3\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +3\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(-1<x-3<0\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対しては、\begin{equation}\left\vert x\right\vert <3 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(-1<x-3<0\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-9\right\vert &\leq &\left\vert x-3\right\vert \cdot \left(
\left\vert x\right\vert +3\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\left\vert x-3\right\vert \cdot \left( 3+3\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&=&6\left\vert x-3\right\vert
\end{eqnarray*}を得ます。これまでの議論の結論を整理すると、\begin{equation}
\forall x\in \mathbb{R} :\left( -1<x-3<0\Rightarrow \left\vert x^{2}-9\right\vert <6\left\vert
x-3\right\vert \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}となります。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta <\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{6}\right\} \quad \cdots (4)
\end{equation}を満たす\(\delta >0\)を任意に選ぶと、\begin{equation}-\delta <x-3<0 \quad \cdots (5)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{2}-9\right\vert &<&6\left\vert x-3\right\vert \quad \because
\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&6\left( 3-x\right) \quad \because \left( 5\right) \\
&<&6\cdot \delta \quad \because \left( 5\right) \\
&<&6\cdot \frac{\varepsilon }{6}\quad \because \left( 4\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

関数の片側極限

関数の右側極限と左側極限を総称して片側極限(one-sided limit)と呼びます。

例(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}f\left(
x\right) =c
\end{equation*}となります(演習問題にします)。これは右側極限と左側極限がともに存在し、なおかつそれらが一致する例です。

例(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となります(演習問題にします)。この例が示唆するように、関数がある点において右側極限と左側極限の両方を持つ場合、両者は一致するとは限りません。

 

関数の片側極限の一意性

関数が右側収束するとき、その右側極限は1つの実数として定まります。また、関数が左側収束するとき、その左側極限は1つの実数として定まります。

命題(関数の片側極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)に関して右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を持つ場合、それは一意的である。また、\(f\)が\(a\)に関して左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を持つ場合、それは一意的である。
証明

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演習問題

問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}f\left(
x\right) =c
\end{equation*}となることを証明してください。

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問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つことを証明してください。

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次回は関数が片側極限を持つ・持たないことを示すために数列を用いる方法について解説します。

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