関数の片側極限

関数が点において収束することの定義において、変数がその点に近づいていく際の経路に関して特に制約は設けられていません。一方、変数が点に近づいていく際の経路を指定する形で関数の極限を定義することも可能であり、その場合の極限を片側極限と呼びます。

関数の片側極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\alpha \in \mathbb{R} \)において実数\(\beta \in \mathbb{R} \)に収束すること、すなわち\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta \)が成り立つことを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となりますが、上の論理式中の\(0<|x-\alpha |<\delta \)は\(x<\alpha \)と\(x>\alpha \)の 2 つの場合を可能性として含んでいます。つまり、変数\(x\)がどのような経路をたどって点\(\alpha \)へ限りなく近づくかは上の定義中では指定されておらず、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x\text{が}\alpha \text{より大きい値だけをとりながら}\alpha \text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}\alpha \text{より小さい値だけをとりながら}\alpha \text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}\alpha \text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}\alpha
\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などの様々なパターンが可能性として起こり得ます。\(x\)がどのような経路で\(\alpha \)に限りなく近づいていくかは関係なく、とにかく\(x\)が\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)が\(\beta \)に限りなく近づくならば、それを\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta \)と表現するということです。

これに対して、\(x\)が\(\alpha \)へ限りなく近づく際にたどる経路を指定した上で、その際に\(f\left( x\right) \)がある実数へ限りなく近づくこととして関数の極限を定義することもできます。これを片側極限(one-sided limit)と呼びます。

具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたときに、その変数\(x\)がある実数\(\alpha \)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(\beta \)に限りなく近づく場合には、\(\beta \)を\(f\)の\(\alpha \)における右側極限(right-hand limit)と呼び、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)=\beta
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow \alpha +\ \text{のとき}\ f\left( x\right) \rightarrow \beta
\end{equation*}などで表します。

変数\(x\)が実数\(\alpha \)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に近づく際には任意の\(x\in X\)について\(x>\alpha \)が成り立つため、\(0<|x-\alpha |<\delta \)は\(0<x-\alpha <\delta \)のケースに限定されます。したがって、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)=\beta \)が成り立つことを厳密に表現すると、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-\alpha <\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}となります。

例(関数の右側極限)
\(f\left( x\right) =\sqrt{x}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow +0}\sqrt{x}=0 \end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\geq 0:\left( 0<x-0<\delta \ \Rightarrow \ \left\vert \sqrt{x}-0\right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}となります。これを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(x\geq 0\)であることに注意して結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \sqrt{x}-0\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\sqrt{x}<\varepsilon \\
&\Rightarrow &x<\varepsilon ^{2}
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\varepsilon ^{2}\)を選びます。実際、\(0<x-0<\delta =\varepsilon ^{2}\)を満たす任意の\(x\geq 0\)について、\begin{eqnarray*} \left\vert \sqrt{x}-0\right\vert &=&\sqrt{x}\quad \because x>0 \\
&<&\sqrt{\varepsilon ^{2}}\quad \because x<\varepsilon ^{2} \\ &=&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたときに、その変数\(x\)がある実数\(\alpha \)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値がある実数\(\beta \)に限りなく近づく場合には、\(\beta \)を\(f\)の\(\alpha \)における左側極限(left-hand limit)と呼び、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)=\beta
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow \alpha -\ \text{のとき}\ f\left( x\right) \rightarrow \beta
\end{equation*}などで表します。

変数\(x\)が実数\(\alpha \)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に近づく際には任意の\(x\in X\)について\(x<\alpha \)が成り立つため、\(0<|x-\alpha |<\delta \)は\(-\delta <x-\alpha <0\)のケースに限定されます。したがって、\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)=\beta \)が成り立つことを厳密に表現すると、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta <x-\alpha <0\ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -\beta \right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}となります。

例(関数の左側極限)
\(f\left( x\right) =x^{2}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 3-}x^{2}=9 \end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-3<0\ \Rightarrow \ \left\vert x^{2}-9\right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(x-3<0\)であることに注意して結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-9\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\left\vert \left( x+3\right) \left( x-3\right) \right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x+3\right\vert \left\vert x-3\right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x+3\right\vert \left( 3-x\right) <\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ますが、このままでは\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補を推測できません。今は\(x\rightarrow 3-\)の場合について考えているため、最終的に\(-1<x-3\)になることが予想されます。そこで\(\delta \leq 1\)と仮定して話を進めると、\begin{eqnarray*}
-1\leq -\delta <x-3<0 &\Rightarrow &-1<x-3<0 \\
&\Rightarrow &5<x+3<6
\end{eqnarray*}すなわち\(\left\vert x+3\right\vert <6\)が成り立ちます。したがってこのとき、\begin{equation*}
\left\vert x+3\right\vert \left( 3-x\right) <6\left( 3-x\right)
\end{equation*}となるため、\(6\left( 3-x\right) <\varepsilon \)すなわち\(x-3>-\frac{\varepsilon }{6}\)が成り立つ場合には\(\left\vert x+3\right\vert \left( 3-x\right) <\varepsilon \)が成り立つことが保証されます。つまり\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{6}\)ならば\(\left\vert x+3\right\vert \left( 3-x\right) <\varepsilon \)が成り立ちます。以上の議論は\(\delta \leq 1\)と\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{6}\)がともに真の場合に妥当であるため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{6}\right\}
\end{equation*}を選びます。実際、\(-\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{6}\right\} =-\delta <x-3<0\)を満たす任意の実数\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-9\right\vert &=&\left\vert \left( x+3\right) \left( x-3\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+3\right\vert \left\vert x-3\right\vert \\
&<&6\left\vert x-3\right\vert \quad \because -1<x-3<0 \\
&<&6\left( \frac{\varepsilon }{6}\right) \quad \because -\frac{\varepsilon }{6}<x-3<0 \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

 

片側極限の一意性

関数が片側極限を持つとき、その片側極限は常に一意的です。

命題(関数の片側極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\alpha \)において右側から収束する場合には、その右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)\)は一意的である。また、点\(\alpha \)において左側から収束する場合には、その左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)\)は一意的である。
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次回は関数が片側極限を持つことを収束列を用いて表現します。
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