WIIS

関数

関数の片側極限(右側極限・左側極限)

目次

Mailで保存
Xで共有

関数の極限の定義が想定している状況

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は中心が\(a\)であり半径が\(\varepsilon \)であるような近傍であり、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}です。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

このような関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

先の命題中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)に対して\(x<a\)または\(x>a\)のどちらか一方が成り立ちます。つまり、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際には、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、先の命題において、\(x\)がどのような経路をたどって\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}など、あらゆる経路が起こり得ることを想定した表現になっています。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず\(b\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。これに対し、\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際の経路を限定した上で、関数の収束可能性を議論することもできます。以下で具体的に解説します。

 

関数の右側極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ右側収束する(right-hand converge)と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側極限(right-hand limit)と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という前提条件を採用しています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合には\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべき前提条件を、\begin{equation*}0<x-a<\delta
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま右側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の右側極限の厳密な定義です。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である場合、これと有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。

例(関数の右側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 2+\)の場合の右側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) =6
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<x-2<\delta \Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( 0<x-2<\delta \Rightarrow 3\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<x-2<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &=&3\left( x-2\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&<&3\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&3\cdot \frac{\varepsilon }{3}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の右側極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合の右側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\geq 0:\left(
0<x-0<\delta \Rightarrow \left\vert \sqrt{x}-0\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。\(x\geq 0\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\geq 0:\left(
0<x<\delta \Rightarrow \sqrt{x}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分です。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\varepsilon ^{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}0<x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{x} &<&\sqrt{\delta }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の右側極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{-x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} _{-}\ |\ x>0\right\} =\phi
\end{equation*}の集積点ではないため、\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ右側収束するか検討することさえできません。
例(関数の右側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合の右側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題)。

 

関数の左側極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ左側収束する(left-hand converge)と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の左側極限(left-hand limit)と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という前提条件を採用しています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべき前提条件を、\begin{equation*}0<-\left( x-a\right) <\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\delta <x-a<0
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま左側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の左側極限の厳密な定義です。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点である場合、これと有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}になるということです。

例(関数の左側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 2-\)の場合の左側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) =6
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-2<0\Rightarrow \left\vert 3x-6\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( -\delta <x-2<0\Rightarrow 3\left\vert x-2\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{3}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}-\delta <x-2<0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\geq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}3\left\vert x-2\right\vert &=&-3\left( x-2\right) \quad \because \left(
2\right) \\
&<&\left( -3\right) \left( -\delta \right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\left( -3\right) \left( -\frac{\varepsilon }{3}\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の左側極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{-x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0-\)の場合の右側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\geq 0:\left( -\delta
<x-0<0\Rightarrow \left\vert \sqrt{-x}-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。\(x\leq 0\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\geq 0:\left( -\delta
<x<0\Rightarrow \sqrt{-x}<\varepsilon \right)
\end{equation*}と必要十分です。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\varepsilon ^{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす正の実数\(\delta \)を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}-\delta <x<0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\leq 0\)に対して、\begin{eqnarray*}\sqrt{-x} &<&\sqrt{\delta }\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(関数の左側極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x<0\right\} =\phi
\end{equation*}の集積点ではないため、\(x\rightarrow 0-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ左側収束するか検討することさえできません。
例(関数の左側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0-\)の場合の右側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題)。

 

関数の片側極限の一意性

関数の右側極限と左側極限を総称して片側極限(one-sided limit)と呼びます。

関数が右側収束するとき、その右側極限は1つの実数として定まります。また、関数が左側収束するとき、その左側極限は1つの実数として定まります。

命題(関数の片側極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である状況において、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ右側収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、この右側極限は1つの実数として定まる。また、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点である状況において、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数\(f\)が有限な実数へ左側収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、この左側極限は1つの実数として定まる。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

関数の右側極限と左側極限は一致するとは限らない

関数の右側極限と左側極限は一致するとは限りません。

まずは、右側極限と左側極限が一致する例を挙げます。

例(右側極限と左側極限が一致する場合)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3x
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(2\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) &=&6 \\
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&6
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 2-}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成立しています。

続いて、右側極限と左側極限が一致しない例を挙げます。

例(右側極限と左側極限が一致)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成立しています。

最後に、右側極限と左側極限の一方が定義不可能な例を挙げます。

例(右側極限だけが定義可能な場合)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)は点\(0\)より小さい点において定義されていないため、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right)
\end{equation*}は定義不可能です。

例(左側極限だけが定義可能な場合)
関数\(f:\mathbb{R} _{-}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{-}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{-x}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、点\(0\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)は点\(0\)より大きい点において定義されていないため、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right)
\end{equation*}は定義不可能です。

 

演習問題

問題(区間の端点における極限と片側極限の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このとき、区間の端点\(a,b\)において、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \\
\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}f\left(
x\right) =c
\end{equation*}となることを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つことを証明してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 3-\)の場合の左側極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 3-}x^{2}=9
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録