関数の片側極限

関数が点において収束することの定義において、変数がその点に近づいていく際の経路に関して特に制約は設けられていません。一方、変数が点に近づいていく際の経路を指定する形で関数の極限を定義することも可能であり、その場合の極限を片側極限と呼びます。
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関数の片側極限

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺において定義されているとき、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記しました。また、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の論理式中の条件\(0<|x-a|<\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)については、\(x<a\)もしくは\(x>a\)のどちらか一方が起こり得ます。つまり、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていくプロセスにおいて、\(x\)が\(a\)よりも小さい値をとる場合もあれば、\(a\)よりも大きい値を取る場合もあるということです。言い換えると、上の論理式において、\(x\)がどのような経路を辿って\(a\)へ限りなく近づいていくかは指定されていないため、そこでは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などの経路が可能性として起こり得ます。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず\(b\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。これに対し、\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際の経路を限定した上で、関数の収束可能性を議論することもできます。以下で具体的に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも大きい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。以上の条件をあえて定式化すると、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a,a+\varepsilon \right) \subset X
\end{equation*}となります。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に近づく場合、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側極限(right-hand limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合、\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<x-a<\delta \)に置き換えれば、それはそのまま右側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の右側極限の厳密な定義です。

例(関数の右側極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +0}\sqrt{x}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\geq 0:\left(
0<x-0<\delta \Rightarrow \left\vert \sqrt{x}-0\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(x\geq 0\)であることに注意して結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \sqrt{x}-0\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\sqrt{x}<\varepsilon \\
&\Rightarrow &x<\varepsilon ^{2}
\end{eqnarray*}を得るため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\varepsilon ^{2}
\end{equation*}を選びます。実際、\(0<x-0<\delta =\varepsilon ^{2}\)を満たす任意の\(x\geq 0\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \sqrt{x}-0\right\vert &=&\sqrt{x}\quad \because x>0 \\
&<&\sqrt{\varepsilon ^{2}}\quad \because x<\varepsilon ^{2} \\
&=&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも小さい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。以上の条件をあえて定式化すると、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a\right) \subset X
\end{equation*}となります。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に近づく場合、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の左側極限(left-hand limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<-\left( x-a\right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-a<0\)に置き換えれば、それはそのまま左側極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の左側極限の厳密な定義です。

例(関数の左側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3-}x^{2}=9
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( -\delta <x-3<0\Rightarrow \left\vert x^{2}-9\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}となります。この論理式が真であることを示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(x-3<0\)であることに注意して結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-9\right\vert <\varepsilon &\Rightarrow &\left\vert \left(
x+3\right) \left( x-3\right) \right\vert <\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x+3\right\vert \left\vert x-3\right\vert
<\varepsilon \\
&\Rightarrow &\left\vert x+3\right\vert \left( 3-x\right) <\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ますが、このままでは\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補を推測できません。今は\(x\rightarrow 3-\)の場合について考えているため、最終的に\(-1<x-3\)になることが予想されます。そこで\(\delta \leq 1\)と仮定して話を進めると、\begin{eqnarray*}
-1\leq -\delta <x-3<0 &\Rightarrow &-1<x-3<0 \\
&\Rightarrow &5<x+3<6
\end{eqnarray*}すなわち\(\left\vert x+3\right\vert <6\)が成り立ちます。したがってこのとき、\begin{equation*}
\left\vert x+3\right\vert \left( 3-x\right) <6\left( 3-x\right)
\end{equation*}となるため、\(6\left( 3-x\right) <\varepsilon \)すなわち\(x-3>-\frac{\varepsilon }{6}\)が成り立つ場合には\(\left\vert x+3\right\vert \left( 3-x\right) <\varepsilon \)が成り立つことが保証されます。つまり\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{6}\)ならば\(\left\vert x+3\right\vert \left( 3-x\right) <\varepsilon \)が成り立ちます。以上の議論は\(\delta \leq 1\)と\(\delta \leq \frac{\varepsilon }{6}\)がともに真の場合に妥当であるため、\(\varepsilon \)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{6}\right\}
\end{equation*}を選びます。実際、\(-\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{6}\right\} =-\delta <x-3<0\)を満たす任意の実数\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert x^{2}-9\right\vert &=&\left\vert \left( x+3\right) \left(
x-3\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+3\right\vert \left\vert x-3\right\vert \\
&<&6\left\vert x-3\right\vert \quad \because -1<x-3<0 \\
&<&6\left( \frac{\varepsilon }{6}\right) \quad \because -\frac{\varepsilon }{6}<x-3<0 \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立つため目標が達成されました。

関数の右側極限と左側極限を総称して片側極限(one-sided limit)と呼びます。

例(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。詳しい議論は演習問題として出題しますが、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}となります。この例が示唆するように、関数がある点において右側極限と左側極限の両方を持つ場合、両者は一致するとは限りません。

 

数列を用いた関数の片側極限の定義

収束関数の概念が収束数列を用いて表現できるのと同様、片側収束関数の概念もまた収束数列を用いて表現できます。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。証明は以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b\)が成り立つものとします。つまり、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right) \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。その上で、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)へ収束することから、\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}-a\right\vert <\delta \right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(X\)の任意の項\(x_{n}\)が\(a\)より大きい実数であるため、上の論理式は、\begin{equation}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow 0<x_{n}-a<\delta \right) \quad\cdots (2)
\end{equation}と言い換え可能です。\(x_{n}\in X\)であることを踏まえると、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x_{n}\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論により、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f\left( x_{n}\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されましたが、これは数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することの定義に他なりません。

命題(右側収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(右側収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
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この命題について注意しなければならないのは、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する任意の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束することを前提条件として保証する必要があるということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が少なくとも1つは存在することを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、関数の右側収束という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。したがって、関数の右側収束に関する議論を、数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

命題(数列を用いた右側収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。
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関数の左側収束に関しても同様の命題が成り立ちます(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(数列を用いた左側収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。
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片側極限の一意性

関数が右側収束するとき、その右側極限は常に一意的です。そのことを示すために、関数\(f\)が点\(a\)において異なる2つの実数\(b_{1},b_{2}\)へ右側収束するものと仮定します。\(b_{1}>b_{2}\)としても一般性は失われません。右側収束の定義より、このとき、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta _{1}>0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta _{1}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b_{1}\right\vert
<\varepsilon \right) \\
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta _{2}>0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta _{2}\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b_{2}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
\delta =\min \{\delta _{1},\delta _{2}\}
\end{equation*}とおくと、\(0<x-a<\delta \)を満たす任意の\(x\in X\)について、\begin{equation*}
\left\vert b_{1}-b_{2}\right\vert <b_{1}-b_{2}
\end{equation*}が成り立つことが導かれますが(演習問題にします)、これは\(b_{1}>b_{2}\)と矛盾です。

関数の左側極限に関しても同様の議論が成立します。

命題(関数の片側極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)に関して右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を持つ場合、それは一意的である。また、\(f\)が\(a\)に関して左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を持つ場合、それは一意的である。
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上の命題は、関数\(f\)が点\(a\)に関して右側収束する場合、そこでの右側極限が1つの実数として定まるという主張です。関数\(f\)が異なる複数の点である\(a\)と\(a^{\prime }\)に関して右側収束するとき、そこでの右側極限である\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)と\(\lim\limits_{x\rightarrow a^{\prime }+}f\left( x\right) \)が常に一致するという主張ではありません。通常、右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)の値は点\(a\)に応じて変化します。左側極限についても同様です。ただ、以下のような例外もあります。

例(関数の片側極限の一意性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =c
\end{equation*}と定義されているとき、任意の点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) =c
\end{equation*}となります(確認してください)。つまり、この関数\(f\)の右側極限や左側極限は\(a\)の値に依存せず\(c\)で一定です。

 

極限と片側極限の関係

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの点\(a\in \mathbb{R} \)において右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)や左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)を持つとは限りません。また、たとえ左右の極限が存在する場合においても両者が一致するとは限りません。一方、関数\(f\)が点\(a\)において左右の極限を持ち、それらが一致することは、\(f\)は\(a\)において通常の極限を持つための必要十分条件です。しかも、その場合、極限の値と左右の極限の値は一致します。証明は以下の通りです。

関数\(f\)が点\(a\)において左右の極限を持つとともに、それらの値はともに\(b\)であるものとします。つまり、\begin{align*}
\forall \varepsilon & >0,\ \exists \delta _{1}>0,\ \forall x\in
X:(0<x-a<\delta _{1}\Rightarrow \left\vert f(x)-b\right\vert <\varepsilon )
\\
\forall \varepsilon & >0,\ \exists \delta _{2}>0,\ \forall x\in X:(-\delta
_{2}<x-a<0\Rightarrow \left\vert f(x)-b\right\vert <\varepsilon )
\end{align*}がともに成り立つということです。上の\(\delta _{1}\)と\(\delta _{2}\)に対して、\begin{equation*}
\delta =\min \left\{ \delta _{1},\delta _{2}\right\}
\end{equation*}とおくと、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、\(0<x-a<\delta \)かつ\(-\delta <x-a<0\)すなわち\(0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \)を満たす任意の\(x\in X\)について\(\left\vert f(x)-b\right\vert <\varepsilon \)が成り立ちますが、これは、関数\(f\)が点\(a\)において極限を持つとともに、その値が\(b\)であることの定義に他なりません。

逆に、関数\(f\)が点\(a\)において極限を持つとともに、その値は\(b\)であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:(0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f(x)-b\right\vert <\varepsilon
)
\end{equation*}が成り立つということです。これは以下の2つの命題\begin{align*}
\forall \varepsilon & >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:(0<x-a<\delta
\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ) \\
\forall \varepsilon & >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:(-\delta
<x-a<0\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon )
\end{align*}を含意しますが、これらは、関数\(f\)が点\(a\)において左右の極限を持つとともに、それらの値が\(b\)であることの定義に他なりません。

命題(極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}を満たすことは、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題より、関数\(f\)が点\(a\)において右側極限や左側極限を持たない場合や、右側極限と左側極限の双方が存在するがそれらの値が異なる場合などには、\(f\)は\(a\)において通常の極限を持ちません。以下で具体例を用いて確認します。

例(極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{x^{2}+x}{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}と定義されているものとします。詳しい議論は演習問題にしますが、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&-1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。つまり、関数\(f\)は点\(0\)において左右の極限を持ちますが両者は一致しません。したがって、上の命題より、この関数\(f\)は点\(0\)において通常の極限を持たないはずです。実際、下のグラフにおいて確認できるように、変数\(x\)を\(0\)に限りなく近づけた場合に\(f\left( x\right) \)の値は一意的な実数に限りなく近づくとは言えないため、\(f\)は\(0\)において収束しません。
図:左右の極限が一致しない場合
図:左右の極限が一致しない場合

次回は無限大における関数の極限について解説します。

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