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関数

数列を用いた関数の片側収束判定

目次

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関数の右側極限と数列の極限の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、以下の集合\begin{equation*}
\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

このような関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいて関数が有限な実数へ右側収束することを証明するのは面倒です。関数の右側極限は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が関数が右側収束することを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、点\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに、点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。点\(a\)は集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるため、このような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は必ず存在することに注意してください。

さて、この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対して関数\(f\)は像\(f\left(x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left(x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。このとき、この数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(右側収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとする。\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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先の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このようにして得られた任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)が\(b\)へ収束する場合には、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

命題(右側収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の2つの命題により、関数の右側極限という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた右側収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(a\)よりも大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

この命題が要求していることは、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に\(b\)へ右側収束することを示したことにはなりません。

以上の命題より、関数の右側収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(関数の右側極限と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを数列を用いて示します。具体的には、\(0\)より大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}1\quad \because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

関数の左側極限と数列の極限の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、以下の集合\begin{equation*}
\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

このような関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいて関数が有限な実数へ左側収束することを証明するのは面倒です。関数の左側極限は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が関数が左側収束することを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、点\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに、点\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。

さて、この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対して関数\(f\)は像\(f\left(x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left(x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\begin{equation*}\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。このとき、この数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(左側収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとする。\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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先の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このようにして得られた任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)が\(b\)へ収束する場合には、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

命題(左側収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の2つの命題により、関数の左側極限という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた左側収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(a\)よりも小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

この命題が要求していることは、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に\(b\)へ左側収束することを示したことにはなりません。

以上の命題より、関数の左側収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(関数の左側極限と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを数列を用いて示します。具体的には、\(0\)より小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}0\quad \because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

関数が片側収束しないことの証明

先の諸命題は、関数が有限な実数へ片側収束しないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないことを示せば、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束することと矛盾するからです。

左側収束についても同様です。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないことを示せば、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束することと矛盾するからです。

例(数列が片側収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\left(x\right) \)は有限な実数へ右側収束しないことを証明します。具体的には、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}\frac{1}{\frac{1}{n}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束しないことも同様にして示されます(演習問題)。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束することを示せば、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ右側収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数へ右側収束することと矛盾するからです。

左側収束についても同様です。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束することを示せば、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ左側収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数へ左側収束することと矛盾するからです。

例(数列が片側収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\left(x\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、一般項が、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{1}{n\pi } \\
y_{n} &=&\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}
\end{eqnarray*}として与えられる2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)に注目することにより証明可能です(演習問題)。

 

演習問題

問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合の\(f\)の右側極限と\(x\rightarrow 0-\)の場合の\(f\)の左側極限を数列を用いて特定してください。
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問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合の\(f\)の右側極限と\(x\rightarrow 0-\)の場合の\(f\)の左側極限を数列を用いて特定してください。
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問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\)は有限な実数へ左側収束しないことを数列を用いて証明してください。
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問題(関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\)は有限な実数へ右側収束せず、\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\)は有限な実数へ左側収束しないことを数列を用いて証明してください。
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