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数列を用いた関数の片側収束判定

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関数の片側極限と数列の極限の関係

イプシロン・デルタ論法を使って関数が片側収束することを証明するのは面倒です。関数の極限と同様、関数の片側極限もまた数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用したほうが関数が片側収束することを容易に示すことができます。順を追って説明します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の任意の項\(x_{n}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left(x_{n}\right) \)を定めます。\(f\left(x_{n}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(右側収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\rightarrow a\)のときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(右側収束関数と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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この命題について注意しなければならないのは、\(a\)より大きい\(X \)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)が\(b\)へ収束することが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、関数の右側極限という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(数列を用いた右側収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)よりも大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

同様の議論により、関数の左側極限という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられます(演習問題にします)。

命題(数列を用いた左側収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)よりも小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

以上の命題より、関数の片側収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(数列を用いた片側収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}\(\mathbb{R} \)を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つことを数列を用いて示します。具体的には、\(0\)より大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1\quad \because \left( a\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =1
\end{equation*}であることが示されました。続いて、\(0\)より小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }0\quad \because \left( c\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。

 

関数が片側収束しないことの証明

先の諸命題は、関数が有限な実数へ片側収束しないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。同様に、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を適当に選んだ場合、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

例(数列が片側収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\left(x\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f\left( x_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\frac{1}{\frac{1}{n}}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束しないことも同様にして示されます(演習問題にします)。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{f\left( y_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。同様に、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)を適当に選んだとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right)\right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

 

演習問題

命題(関数の片側極限)

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つことを数列を用いて証明してください。

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命題(関数の片側極限)

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)においては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立つことを数列を用いて証明してください。

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問題(数列が片側収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明してください。
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問題(数列を用いた左側収束関数の定義)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)よりも小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\{x_{n}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{n}\right) \}\)をつくります。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{n}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }f\left( x_{n}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件であることを証明してください。

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次回は関数が収束する・しないことを判定するために片側極限を用いる方法について解説します。

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