関数の一様連続性と数列の極限の関係
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。関数\(f\)が定義域\(X\)上で一様連続であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in
X:\left( |x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、関数の一様連続性は数列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が関数が一様連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =0
\end{equation*}を満たす2つの数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)をつくります。このように定義された任意の数列について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{n}\right) -f\left( y_{n}\right) \right] =0
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(X\)上で一様連続であるための必要十分条件です。
\end{equation*}を満たす2つの数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right)\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{n}\right) -f\left( y_{n}\right) \right] =0
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が\(X\)上で一様連続であるための必要十分条件である。
この命題が要求していることは、\(X\)の点を項とするとともに差が\(0\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)の差が\(0\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\},\left\{ y_{n}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が\(X\)上で一様連続であることを示したことにはなりません。
以上の命題より、関数の一様連続性に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数が\(X\)上で一様連続であることを数列を用いて示します。具体的には、まず、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\in X \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\},\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right)\right\} \)の差の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{n}\right) -f\left( y_{n}\right) \right] &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c-c\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。この関数が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを数列を用いて示します。具体的には、まず、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\},\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right)\right\} \)の差の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{n}\right) -f\left( y_{n}\right) \right] &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \left( c\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを数列を用いて示します。具体的には、まず、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\},\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right)\right\} \)の差の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{n}\right) -f\left( y_{n}\right) \right] &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \left( 2x_{n}+1\right) -\left(
2y_{n}+1\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }2\left( x_{n}-y_{n}\right) \\
&=&2\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) \quad \because
\text{収束する数列の定数倍} \\
&=&2\cdot 0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
関数が一様連続でないことの証明
先の命題は、関数が一様連続でないことを示す際にも有用です。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域\(X\)の点を項とするとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) =0
\end{equation*}を満たす何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)が、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{n}\right) -f\left( y_{n}\right) \right] =0
\end{equation*}を満たさないことを示せば、関数\(f\)が\(X\)上で一様連続ではないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような数列\(\left\{ x_{n}\right\},\left\{ y_{n}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(X\)上で一様連続であることと矛盾するからです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} _{++}\)上で一様連続ではないことを数列を用いて示します。具体的には、一般項が、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&n \\
y_{n} &=&n+\frac{1}{n}
\end{eqnarray*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)に注目します。これらは明らかに\(\mathbb{R} _{++}\)上の数列であるとともに、差の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left[ n-\left( n+\frac{1}{n}\right) \right] \quad \because \left\{
x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}\right) \\
&=&-\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}を満たします。その一方で、数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{n}\right) \right\} \)の差の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{n}\right) -f\left( y_{n}\right) \right] &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ f\left( n\right) -f\left( n+\frac{1}{n}\right) \right] \quad \because \left\{ x_{n}\right\} ,\left\{
y_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ n^{2}-\left( n+\frac{1}{n}\right) ^{2}\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ -2-\frac{1}{n^{2}}\right] \\
&=&-2
\end{eqnarray*}であり、これは\(0\)ではないため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上において一様連続ではありません。
一様連続関数によるコーシー列の像はコーシー列
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)がコーシー列であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{m}-x_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、コーシー列\(\left\{x_{n}\right\} \)のある項より先にある任意の2つの項の間の距離は限りなく小さくなります。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。さらに、この関数\(f\)の定義域\(X\)上の点を項とするコーシー列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\in X
\end{equation*}が成り立つため、ここから新たな数列\begin{equation*}
\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\}
\end{equation*}が定義可能ですが、\(f\)が一様連続関数である場合、この数列\(\left\{f\left( x_{n}\right) \right\} \)もまたコーシー列になることが保証されます。
先の命題は関数が一様連続ではないことを判定する上でも有用です。具体的には以下の通りです。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、その定義域\(X\)の点を項とするコーシー列\(\left\{x_{n}\right\} \)を選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)をつくります。この数列\(\left\{ f\left(x_{n}\right) \right\} \)がコーシー列ではない場合、先の命題の後半の主張の対偶より、関数\(f\)は\(X\)上において一様連続関数ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に注目します。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\left( 0,1\right) \)上の点を項とするコーシー列です。その一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{n}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}f\left( x_{n}\right) &=&\frac{1}{x_{n}^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{n^{2}}}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&n^{2}
\end{eqnarray*}ですが、これはコーシー列ではありません。したがって、先の命題より\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上において一様連続関数ではありません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} \)上で一様連続であることを数列を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} _{++}\)上で一様連続ではないことを数列を用いて示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\left( 0,1\right) \)上で一様連続ではないことを数列を用いて示してください。
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