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余弦関数(cos関数)の定義

目次

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余弦関数

ラジアンは任意の実数を値としてとりますが、ラジアンに相当するそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して余弦\(\cos \left( x\right) \in \mathbb{R} \)に相当する実数が1つずつ存在するため、全区間\(\mathbb{R} \)上に関数\begin{equation*}\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを余弦関数(cosine function)やコサイン関数などと呼びます。

例(余弦関数)
余弦の定義より、余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に関して以下が成り立ちます。$$\begin{array}{ccccccccc}\hline
x(ラジアン) & 0 & \frac{\pi }{6}
& \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2} & \pi & \frac{ 3\pi }{2} & 2\pi \\ \hline
x(度) & 0^{\circ } & 30^{\circ } & 45^{\circ } &
60^{\circ } & 90^{\circ } & 180^{\circ } & 270^{\circ } & 360^{\circ } \\ \hline
\cos \left( x\right) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
& \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:余弦関数の値
例(余弦関数)
余弦の定義より、余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)に関して以下が成り立ちます。

$$\begin{array}{ccccccccc}\hline
x(ラジアン) & 0 & -\frac{\pi }{6}
& -\frac{\pi }{4} & -\frac{\pi }{3} & -\frac{\pi }{2} & -\pi & – \frac{3\pi }{2} & -2\pi \\ \hline
x(度) & -0^{\circ } & -30^{\circ } & -45^{\circ } & -60^{\circ } & -90^{\circ } & -180^{\circ } & -270^{\circ } & -360^{\circ } \\ \hline
\cos \left( x\right) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
& \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:余弦関数の値
例(余弦関数)
下図のような直角三角形が与えられているものとします。

図:直角三角形
図:直角三角形

斜辺の長さを\(a>0\)で、底辺の長さを\(b>0\)で、斜辺と底辺がつくる角の大きさ(ラジアン)を\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)でそれぞれ表記する場合、余弦の定義より、\begin{equation*}\cos \left( x\right) =\frac{b}{a}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、斜辺の長さ\(a\)が与えられている場合、角の大きさが\(x\)であるときの底辺の長さは、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\cdot \cos \left( x\right)
\end{equation*}となります。この\(f\)は余弦関数の定数倍(\(a\)倍)として定義される関数です。逆に、底辺の長さ\(b\)が与えられている場合、角の大きさが\(x\)であるときの斜辺の長さは、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{b}{\cos \left( x\right) }
\end{equation*}となります。この\(g\)は定数関数\(b\)と余弦関数の商として定義される関数です。

例(余弦関数)
三角関数の定義より以下の図が得られます。

図:方向を持つ移動
図:方向を持つ移動

平面上の点\(\left( 0,0\right) \)を出発点として、角度(ラジアン)が\(x\)の方向に\(1\)mだけ進むと(上図矢印)、移動後の点の\(x\)座標は、\begin{equation*}\cos \left( x\right)
\end{equation*}となります。したがって、速さ\(a\)(秒速)と移動時間\(b\)(秒)がそれぞれ与えられているとき、移動方向が\(x\)である場合の移動後の点の\(x\)座標は、\begin{equation*}f\left( x\right) =ab\cdot \cos \left( x\right)
\end{equation*}となります。この\(f\)は余弦関数の定数倍(\(ab\)倍)として定義される関数です。

例(余弦関数)
単位円上を回転する点を下から見ると\(x\)軸に沿った左右運動だけが観察されます。点が単位円上を反時計回りに一定の速さで回転している場合、観察される左右運動はペースが一定の往復運動になります。このような運動を単振動(simple harmonic motion)と呼びます。点は単位円上を\(1\)周するのにちょうど\(1\)秒間かかるものとします。

$$\begin{array}{cccccccccc}\hline
時点t & 0 & \cdots & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1 }{2} & \cdots & \frac{3}{4} & \cdots & 1 \\ \hline
単位円上の位置\left( x,y\right)
& \left( 1,0\right) & \cdots & \left( 0,1\right) & \cdots & \left( -1,0\right) & \cdots & \left( 0,-1\right) & \cdots & \left( 1,0\right) \\ \hline
観察されるx座標 & 1 & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 1
\\ \hline
\end{array}$$

表:周回運動と単振動

点は\(1\)秒間で\(2\pi \)ラジアン移動するため、時点\(t\in \left[ 0,1\right] \)までの移動距離は\(2\pi t\)です。したがって、時点\(t\)において観察される\(x\)座標は、\begin{equation*}f\left( t\right) =\cos \left( 2\pi t\right)
\end{equation*}となります。この\(f\)は余弦関数と単項式関数\(2\pi t\)の合成関数です。

 

余弦関数のグラフ(余弦曲線)

余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは以下の通りです。余弦関数のグラフを余弦曲線(cosine curve)やコサイン・カーブなどと呼びます。

図:余弦曲線
図:余弦曲線

余弦曲線は上図のように同じ形を繰り返す形状をしていますが、これは余弦関数が周期関数であることを示唆しています。

命題(余弦関数の周期性)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、ラジアン\(x\in \mathbb{R} \)と整数\(n\in \mathbb{Z} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}\cos \left( x+2n\pi \right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(余弦関数の周期性)
上の命題より、\begin{eqnarray*}
\cos \left( 0\right) &=&\cos \left( \pm 2\pi \right) =\cos \left( \pm 4\pi
\right) =\cdots =1 \\
\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) &=&\cos \left( \frac{\pi }{2}\pm 2\pi
\right) =\cos \left( \frac{\pi }{2}\pm 4\pi \right) =\cdots =0 \\
\cos \left( \pi \right) &=&\cos \left( \pi \pm 2\pi \right) =\cos \left(
\pi \pm 4\pi \right) =\cdots =-1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

先の命題は、余弦関数が周期\(2\pi \)の周期関数であることを意味します。では、余弦関数はどのようなパターンのもとで変動しているのでしょうか。ラジアン\(x\)を\(0\)から\(2\pi \)まで1周期分だけ動かした場合、余弦関数の値は以下のように変化します。$$\begin{array}{cccccccccc}\hline
xラジアン & 0 & \cdots & \frac{\pi }{2} & \cdots & \pi & \cdots & \frac{3\pi }{2} & \cdots & 2\pi \\
\hline
x度 & 0^{\circ } & \cdots & 90^{\circ } & \cdots & 180^{\circ } & \cdots & 270^{\circ } & \cdots & 360^{\circ } \\
\hline
\cos \left( x\right) & 1 & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \\ \hline
\end{array}$$

表:余弦関数の値

同じ変化を図示した余弦曲線は以下の通りです。

図:余弦曲線
図:余弦曲線

つまり、余弦関数の値は\(\left[ 0,\pi \right] \)の範囲内において\(1\)から\(-1\)まで狭義単調減少し、\(\left[ \pi,2\pi \right] \)の範囲内において\(-1\)から\(1\)まで狭義単調増加します。以上が1つの周期です。

 

余弦関数の値域

余弦は\(-1\)以上\(1\)以下の値をとり得るため、ラジアン\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}-1\leq \cos \left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立ちますが、これは余弦関数が\(-1\)以上\(1\)以下の実数のみを値としてとることを意味します。加えて、後に導入する関数の連続性の概念を利用することにより、余弦関数が\(-1\)以上\(1\)以下の任意の実数を値としてとり得ること、すなわち余弦関数の値域が\(\left[ -1,1\right] \)であることが導かれます。

命題(余弦関数の値域)

余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(\left[ -1,1\right] \)である。

証明

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余弦関数の規則性

ラジアン\(x\)の動径と単位円が交わる点を\(P\)で表し、ラジアン\(\pi -x\)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)で表すとき、これらの点は\(y\)軸に対して対称な位置にあるため、\begin{equation*}P\text{の}x\text{座標}=-\left( P^{\prime }\text{の}x\text{座標}\right)
\end{equation*}という関係が成立します。したがって以下を得ます。

命題(余弦関数の規則性)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意のラジアン\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\cos \left( \pi -x\right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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ラジアン\(x\)の動径と単位円が交わる点を\(P\)で表し、ラジアン\(-x\)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)で表すとき、これらの点は\(x\)軸に対して対称な位置にあるため、\begin{equation*}P\text{の}x\text{座標}=P^{\prime }\text{の}x\text{座標}
\end{equation*}という関係が成立します。したがって以下を得ます。

命題(余弦関数の規則性)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意のラジアン\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\cos \left( -x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}という関係を満たす場合、これを偶関数(even function)と呼びます。上の命題は余弦関数が偶関数であることを示唆しています。

ラジアン\(x\)の動径と単位円が交わる点を\(P\)で表し、ラジアン\(x+\pi \)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)で表すとき、これらの点は原点に対して対称な位置にあるため、\begin{equation*}P\text{の}x\text{座標}=-\left( P^{\prime }\text{の}x\text{座標}\right)
\end{equation*}という関係が成立します。したがって以下を得ます。

命題(余弦関数の規則性)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意のラジアン\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\cos \left( x+\pi \right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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余弦関数との合成関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。また、全区間上に定義された余弦関数を\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。\(g\left( x\right)=\cos \left( x\right) \)です。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であることから合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が常に定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&\cos \left( f\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多項式関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,m\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}で表されるということです。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\cos \left( c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots
+c_{n}x^{n}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは多項式関数\(f\left( x\right) \)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\cos \left( 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right)
\end{equation*}を定める関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(有理関数との合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)はともに多項式関数であるものとします。先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}h\left( x\right) =\cos \left( \frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right)
\end{equation*}を定める関数\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは有理関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)と余弦関数\(\cos \left(x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(指数関数との合成)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、\(a\)を底とする指数関数\begin{equation*}a^{x}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義したとき、先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( a^{x}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは指数関数\(a^{x}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( e^{x}\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(対数関数との合成)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、\(a\)を底とする対数関数\begin{equation*}\log _{a}\left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義したとき、先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \log _{a}\left( x\right) \right)
\end{equation*}を値として定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは対数関数\(\log _{a}\left( x\right) \)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
例(ベキ関数との合成)
正の実数\(a>0\)を任意に選んだ上で、\(a\)を指数するベキ関数\begin{equation*}x^{a}:\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義したとき、先の議論より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x^{a}\right)
\end{equation*}を値として定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これはベキ関数\(x^{a}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。例えば、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x^{e}\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はこのような合成関数の例です。
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