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余弦関数

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余弦関数

それぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、その余弦\begin{equation*}
\cos \left( \theta \right) \in
\mathbb{R} \end{equation*}を値として定める関数\(\cos :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を余弦関数(cosine function)やコサイン関数などと呼びます。余弦の定義より、ラジアン\(\theta \)の動径と単位元が交わる点を\(P\)とするとき、\begin{equation*}
\cos \left( \theta \right) =\text{点}P\text{の}x\text{座標}
\end{equation*}という関係が成り立ちます(下図)。

図:正弦関数
図:正弦関数
例(余弦関数)
余弦関数\(\cos \)に関して、\begin{eqnarray*}
\cos \left( 0\right) &=&1 \\
\cos \left( \frac{\pi }{6}\right) &=&\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\cos \left( \frac{\pi }{3}\right) &=&\frac{1}{2} \\
\cos \left( \pi \right) &=&-1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

余弦曲線

余弦関数のグラフを余弦曲線(cosine curve)やコサイン・カーブなどと呼びます。ラジアン\(\theta \)が\(0\)から\(\pi \)まで増加すると\(\cos \left( \theta \right) \)は\(1\)から\(-1\)まで減少し、\(\theta \)が\(\pi \)から\(2\pi \)まで増加すると\(\cos \left( \theta \right) \)は\(-1\)から\(1\)まで増加します。したがって、ラジアン\(\theta \)が区間\(\left[ 0,2\pi \right] \)上の値をとり得るとき、余弦曲線は下図のような形状になります。

図:余弦関数のグラフ
図:余弦関数のグラフ

ラジアン\(\theta \)の動径と単位円が交わる点が\(P\)であるとき、任意の整数\(n\)について、ラジアン\(\theta +2n\pi \)の動径と単位円が交わる点もまた\(P\)です。これは余弦関数が周期\(2\pi \)の周期関数であることを意味します。したがって、余弦関数のグラフは下図のように\(2\pi \)ごとに同じ形が繰り返される形状をしています。

図:余弦関数のグラフ
図:余弦関数のグラフ
命題(余弦関数の周期性)
余弦関数\(\cos :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(\theta \in \mathbb{R} \)と任意の\(n\in \mathbb{Z} \)に対して、\begin{equation*}
\cos \left( \theta +2n\pi \right) =\cos \left( \theta \right)
\end{equation*}を満たす。
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ラジアン\(\theta \)は任意の実数を値としてとり得るため、余弦関数の定義域は\(\mathbb{R} \)です。また、余弦関数のグラフより、余弦\(\sin \left( \theta \right) \)は\(-1\)以上\(1\)以下の任意の値をとり得るため、余弦関数の値域は有界な閉区間\(\left[ -1,1\right] \)です。

 

余弦関数の性質

ラジアン\(\theta \)の動径と単位元が交わる点を\(P\)で、ラジアン\(-\theta \)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)でそれぞれ表すとき、これらの2つの点は始線(\(x\)軸の正の部分)に対して対象の位置にあるため、\begin{equation*}
P\text{の}x\text{座標}=P^{\prime }\text{の}x\text{座標}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。余弦の定義より、これは、\begin{equation*}
\cos \left( -\theta \right) =\cos \left( \theta \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。一般に、任意の\(x\)に対して、\begin{equation*}
f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす関数を偶関数(even function)と呼びます。上の事実は、正弦関数が偶関数であることを示唆しています。

命題(余弦関数は偶関数)
余弦関数\(\cos :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は偶関数である。すなわち、任意の\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
\cos \left( -\theta \right) =\cos \left( \theta \right)
\end{equation*}を満たす。
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ラジアン\(\theta \)の動径と単位元が交わる点を\(P\)で、ラジアン\(\theta +\pi \)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)でそれぞれ表すとき、これらの2つの点は原点に対して対象の位置にあるため、\begin{equation*}
P^{\prime }\text{の}x\text{座標}=-\left( P\text{の}x\text{座標}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。余弦の定義より、これは、\begin{equation*}
\cos \left( \theta +\pi \right) =-\cos \left( \theta \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

命題(余弦関数の性質)

余弦関数\(\cos :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は任意の\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
\cos \left( \theta +\pi \right) =-\cos \left( \theta \right)
\end{equation*}が成り立つ。

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次回は三角関数の1つである正接関数(タンジェント関数)について学びます。

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