WIIS

関数

余弦関数(cos関数)の定義と具体例

目次

Mailで保存
Xで共有

余弦関数

単位円上の点\(P\)を任意に選んだ上で、半直線が点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転する際にできる角の大きさを\(\theta \)で表記します(下図)。ただし、\(\theta \)の単位はラジアンであり、これは弧\(XP\)の長さと一致します。この場合、ラジアン\(\theta \)の余弦は、\begin{equation*}\cos \left( \theta \right) =\text{点}P\text{の}x\text{座標}
\end{equation*}と定義されます。

図:余弦
図:余弦

ラジアンは任意の実数を値としてとり得ますが、それぞれの値\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して余弦\(\cos \left( \theta \right) \)は1つの実数として定まります。そこで、ラジアンを変数\(x\in \mathbb{R} \)とみなせば、全区間上に以下のような関数\begin{equation*}\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを余弦関数(cosine function)やコサイン関数などと呼びます。

例(余弦関数)
\(0\)ラジアン(\(0\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( 1,0\right) \)であるため、余弦関数の定義より、\begin{eqnarray*}\cos \left( 0\right) &=&\text{点}\left( 1,0\right) \text{の}x\text{座標} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。\(\frac{\pi }{6}\)ラジアン(\(30\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) \)であるため、余弦関数の定義より、\begin{eqnarray*}\cos \left( \frac{\pi }{6}\right) &=&\text{点}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right) \text{の}x\text{座標} \\
&=&\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray*}となります。\(\frac{\pi }{4}\)ラジアン(\(45\)度)に対応する単位円上の点の座標は\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)であるため、余弦関数の定義より、\begin{eqnarray*}\cos \left( \frac{\pi }{4}\right) &=&\text{点}\left( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text{の}x\text{座標} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray*}となります。他についても同様に考えることにより以下の表を得ます。

$$\begin{array}{ccccccccc}
\hline
x(ラジアン) & 0 & \frac{\pi }{6}
& \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2} & \pi & \frac{3\pi }{2} & 2\pi \\ \hline
x(度) & 0^{\circ } & 30^{\circ } & 45^{\circ } &
60^{\circ } & 90^{\circ } & 180^{\circ } & 270^{\circ } & 360^{\circ } \\ \hline
\cos \left( x\right) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
& \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

例(余弦関数)
\(0\)ラジアン(\(0\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( 1,0\right) \)であるため、余弦関数の定義より、\begin{eqnarray*}\cos \left( 0\right) &=&\text{点}\left( 1,0\right) \text{の}x\text{座標} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。\(-\frac{\pi }{6}\)ラジアン(\(-30\)度)に対応する単位円上の点\(P\)の座標は\(\left( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) \)であるため、余弦関数の定義より、\begin{eqnarray*}\cos \left( -\frac{\pi }{6}\right) &=&\text{点}\left( \frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right) \text{の}x\text{座標} \\
&=&\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{eqnarray*}となります。\(-\frac{\pi }{4}\)ラジアン(\(-45\)度)に対応する単位円上の点の座標は\(\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)であるため、余弦関数の定義より、\begin{eqnarray*}\cos \left( -\frac{\pi }{4}\right) &=&\text{点}\left( \frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \text{の}x\text{座標} \\
&=&\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{eqnarray*}となります。他についても同様に考えることにより以下の表を得ます。

$$\begin{array}{ccccccccc}
\hline
x(ラジアン) & 0 & -\frac{\pi }{6}
& -\frac{\pi }{4} & -\frac{\pi }{3} & -\frac{\pi }{2} & -\pi & -\frac{3\pi }{2} & -2\pi \\ \hline
x(度) & 0^{\circ } & -30^{\circ } & -45^{\circ }
& -60^{\circ } & -90^{\circ } & -180^{\circ } & -270^{\circ } & -360^{\circ } \\ \hline
\sin \left( x\right) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
& \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

例(余弦関数)
下図のような直角三角形が与えられているものとします。

図:直角三角形
図:直角三角形

斜辺の長さを\(a>0\)で、底辺の長さを\(b>0\)で、斜辺と底辺がつくる角の大きさ(ラジアン)を\(x\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)でそれぞれ表記する場合、余弦の定義より以下の関係\begin{equation*}\cos \left( x\right) =\frac{b}{a}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、斜辺の長さ\(a\)を固定した上で角の大きさ\(x\)を変化させた場合の底辺の長さ\(b\)を特定する関数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =a\cdot \cos \left( x\right)
\end{equation*}となります。これは余弦関数の定数倍として定義される関数です。また、底辺の長さ\(b\)を固定した上で角の大きさ\(x\)を変化させた場合の斜辺の長さ\(a\)を特定する関数は、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{b}{\cos \left( x\right) }
\end{equation*}となります。これは定数関数と余弦関数の商として定義される関数です。

例(余弦関数)
三角関数の定義より以下の図が得られます。

図:方向を持つ移動
図:方向を持つ移動

平面上の点\(\left( 0,0\right) \)を出発点として、角度\(x\)(ラジアン)の方向に\(1\)(メートル)だけ進むと(上図矢印)、移動後の点の\(x\)座標は、\begin{equation*}\cos \left( x\right)
\end{equation*}となります。したがって、速さ\(a\)(秒速)と移動時間\(b\)(秒)を固定したとき、移動方向を表す角度が\(x\)である場合の移動後の点の\(x\)座標は、\begin{equation*}f\left( x\right) =ab\cdot \cos \left( x\right)
\end{equation*}となります。これは余弦関数の定数倍として定義される関数です。

例(余弦関数)
単位円上を回転する点を下から見ると\(x\)軸に沿った上下運動だけが観察されます。点が単位円上を反時計回りに一定の速さで回転している場合、観察される上下運動はペースが一定の往復運動になります。このような運動を単振動(simple harmonic motion)と呼びます。点は単位円上を\(1\)周するのにちょうど\(1\)秒間かかるものとします。

$$\begin{array}{cccccccccc}
\hline
時点t & 0 & \cdots & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & \frac{3}{4} & \cdots & 1 \\ \hline
単位円上の位置\left( x,y\right) & \left( 1,0\right) & \cdots & \left( 0,1\right) & \cdots & \left( -1,0\right) & \cdots & \left( 0,-1\right) & \cdots & \left( 1,0\right) \\ \hline
観察されるx座標 & 1 & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 1
\\ \hline
\end{array}$$

点は\(1\)秒間で\(2\pi \)ラジアン移動するため、時点\(t\in \left[ 0,1\right] \)までの移動距離は\(2\pi t\)です。したがって、時点\(t\)における点の\(x\)座標は、\begin{equation*}f\left( t\right) =\cos \left( 2\pi t\right)
\end{equation*}となります。この関数は単項式関数\(2\pi t\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。

 

余弦関数のグラフ(余弦曲線)

余弦関数\(\cos \left( x\right) \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( \cos \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=\cos \left( x\right) \right\}
\end{equation*}ですが、これを余弦曲線(cosine curve)やコサイン・カーブなどと呼びます。余弦曲線を図示すると以下のようになります。

図:余弦曲線
図:余弦曲線

上図から明らかであるように、余弦曲線は同一形状の繰り返しですが、これは余弦関数が周期関数であることを意味しています。実際、以下が成り立ちます。

命題(余弦関数の周期性)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、実数\(x\in \mathbb{R} \)と整数\(n\in \mathbb{Z} \)をそれぞれ任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}\cos \left( x+2n\pi \right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(余弦関数の周期性)
以上の命題より、\begin{eqnarray*}
\cos \left( 0\right) &=&\cos \left( \pm 2\pi \right) =\cos \left( \pm 4\pi
\right) =\cdots =1 \\
\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) &=&\cos \left( \frac{\pi }{2}\pm 2\pi
\right) =\cos \left( \frac{\pi }{2}\pm 4\pi \right) =\cdots =0 \\
\cos \left( \pi \right) &=&\cos \left( \pi \pm 2\pi \right) =\cos \left(
\pi \pm 4\pi \right) =\cdots =-1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

先の命題は、余弦関数が周期\(2\pi \)の周期関数であることを意味します。では、余弦関数はどのようなパターンのもとで変動しているのでしょうか。ラジアン\(x\)を\(0\)から\(2\pi \)まで1周期分だけ動かした場合、余弦関数の値は以下のように変化します。

$$\begin{array}{cccccccccc}
\hline
xラジアン & 0 & \cdots & \frac{\pi }{2} & \cdots & \pi & \cdots & \frac{3\pi }{2} & \cdots & 2\pi \\ \hline
x度 & 0^{\circ } & \cdots & 90^{\circ } & \cdots & 180^{\circ } & \cdots & 270^{\circ } & \cdots & 360^{\circ } \\ \hline
\cos \left( x\right) & 1 & \searrow & 0 & \searrow & -1 & \nearrow & 0 & \nearrow & 1 \\ \hline
\end{array}$$

つまり、余弦関数の値は\(\left[ 0,\pi \right] \)の範囲内において\(1\)から\(-1\)まで狭義単調減少し、\(\left[ \pi,2\pi \right] \)の範囲内において\(-1\)から\(1\)まで狭義単調増加します。以上が1つの周期です。これを図示すると以下のようになります。

図:余弦曲線
図:余弦曲線

 

余弦関数の値域

余弦は\(-1\)以上\(1\)以下の値をとり得るため、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}-1\leq \cos \left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立ちますが、これは余弦関数が\(-1\)以上\(1\)以下の実数だけを値としてとることを意味します。加えて、後に導入する関数の連続性の概念を利用することにより、余弦関数が\(-1\)以上\(1\)以下の任意の実数を値としてとり得ること、すなわち余弦関数の値域が\(\left[ -1,1\right] \)であることが導かれます。

命題(余弦関数の値域)

余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(\left[ -1,1\right] \)である。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

余弦関数の規則性

ラジアン\(x\)の動径と単位円が交わる点を\(P\)で表し、ラジアン\(\pi -x\)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)で表すとき、これらの点は\(y\)軸に対して対称な位置にあるため、\begin{equation*}P\text{の}x\text{座標}=-\left( P^{\prime }\text{の}x\text{座標}\right)
\end{equation*}という関係が成立します。したがって以下を得ます。

命題(余弦関数の規則性)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}\cos \left( \pi -x\right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

ラジアン\(x\)の動径と単位円が交わる点を\(P\)で表し、ラジアン\(-x\)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)で表すとき、これらの点は\(x\)軸に対して対称な位置にあるため、以下の関係\begin{equation*}P\text{の}x\text{座標}=P^{\prime }\text{の}x\text{座標}
\end{equation*}が成立します。したがって以下を得ます。

命題(余弦関数の規則性)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}\cos \left( -x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( -x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合、これを偶関数(even function)と呼びます。先の命題は余弦関数が偶関数であることを主張しています。

命題(余弦関数は偶関数)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は偶関数である。

ラジアン\(x\)の動径と単位円が交わる点を\(P\)で表し、ラジアン\(x+\pi \)の動径と単位円が交わる点を\(P^{\prime }\)で表すとき、これらの点は原点に対して対称な位置にあるため、以下の関係\begin{equation*}P\text{の}x\text{座標}=-\left( P^{\prime }\text{の}x\text{座標}\right)
\end{equation*}が成立します。したがって以下を得ます。

命題(余弦関数の規則性)
余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意のラジアン\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\cos \left( x+\pi \right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

 

余弦関数との合成関数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。また、余弦関数\begin{equation*}
\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)の値域は\(\cos \left( x\right) \)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\begin{equation*}\cos \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

例(多項式関数と余弦関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。\(f\)の値域は余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため関数\begin{equation*}\cos \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは多項式関数\(f\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\cos \left( x^{2}+x+1\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は多項式関数\(x^{2}+x+1\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。
例(有理関数と余弦関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるとものとします。\(f\)の値域は余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため関数\begin{equation*}\cos \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは有理関数\(f\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\cos \left( \frac{x}{x^{2}+1}\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は有理関数\(\frac{x}{x^{2}+1}\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。

余弦関数\begin{equation*}
\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を任意に選びます。\(\cos \left( x\right) \)の値域\(\left[ -1,1\right] \)が\(f\)の定義域の部分集合である場合には、すなわち、\begin{equation*}\left[ -1,1\right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\left( \cos \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

例(余弦関数と多項式関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるとものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため関数\begin{equation*}f\left( \cos \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは余弦関数\(\cos \left( x\right) \)と多項式関数\(f\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\cos ^{2}\left( x\right) +\cos \left( x\right) +1:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は余弦関数\(\cos \left( x\right) \)と多項式関数\(x^{2}+x+1\)の合成関数です。
例(余弦関数と有理関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \subset X\rightarrow \mathbb{R} \)は有理関数であるとものとします。余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が\(f\)の定義域\(X\)の部分集合である場合には、関数\begin{equation*}f\left( \cos \left( x\right) \right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これは余弦関数\(\cos \left( x\right) \)と有理関数\(f\)の合成関数です。例えば、以下の関数\begin{equation*}\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) +1}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は余弦関数\(\cos \left( x\right) \)と有理関数\(\frac{1}{x^{2}+1}\)の合成関数です。

 

級数を用いた余弦関数の定義

以下の議論では微分(テイラー展開)に関する知識を利用するため、必要な知識を学んだ後に読み返してください。

余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の点\(0\)における\(n\)次のテイラー多項式、すなわち\(n\)次のマクローリン多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots +\frac{\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\cos \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot
x^{k}\right] \end{eqnarray*}であるとともに、マクローリンの定理より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において、\begin{equation*}\cos \left( x\right) \approx P_{n,0}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなりますが、\(\cos \left( x\right) \)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、ゼロとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\cos \left( x\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \left( -1\right) ^{k}\frac{x^{2k}}{\left(
2k\right) !}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。ただし、\(x\)はラジアン表記の角度です。

例(余弦の近似値)
余弦関数\(\cos \left( x\right) \)に関するマクローリンの定理より、点\(0\)とは異なる点である点\(1\)について、\begin{eqnarray*}\cos \left( 1\right) &\approx &P_{n,0}\left( 1\right) \\
&=&1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}+\cdots +\frac{\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!}
\end{eqnarray*}という近似関係が成り立つとともに、\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなります。具体的には、\begin{eqnarray*}P_{1,0}\left( 1\right) &=&\frac{\cos \left( 0\right) }{0!}+\frac{\cos
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}=1 \\
P_{2,0}\left( 1\right) &=&\frac{\cos \left( 0\right) }{0!}+\frac{\cos
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\cos \left( \pi \right) }{2!}=0.5 \\
P_{3,0}\left( 1\right) &=&\frac{\cos \left( 0\right) }{0!}+\frac{\cos
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\cos \left( \pi \right) }{2!}+\frac{\cos \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}=0.5 \\
P_{4,0}\left( 1\right) &=&\frac{\cos \left( 0\right) }{0!}+\frac{\cos
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\cos \left( \pi \right) }{2!}+\frac{\cos \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}+\frac{\cos \left( 2\pi \right) }{4!}=0.55417 \\
P_{5,0}\left( 1\right) &=&\frac{\cos \left( 0\right) }{0!}+\frac{\cos
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\cos \left( \pi \right) }{2!}+\frac{\cos \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}+\frac{\cos \left( 2\pi \right) }{4!}+\frac{\cos \left( \frac{5\pi }{2}\right) }{5!}=0.55417 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。\(\cos \left(x\right) \)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、点\(0\)とは異なる点である点\(1\)において、\begin{eqnarray*}\cos \left( 1\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots \\
&=&0.5403
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただし、\(1\)の単位はラジアンです。

 

演習問題

問題(関数の定義域と値域)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2\cos \left( \frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)と値域\(f\left( X\right) \)を特定してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(余弦関数)
余弦関数\(\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は単射、全射、全単射のいずれかでしょうか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録