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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

余弦関数の微分

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余弦関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は余弦関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}であるということです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるかを検討できます。そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos \left(
a+h\right) -\cos \left( a\right) }{h}
\end{equation*}と定義されますが、これをそのまま評価するのは困難であり工夫が必要です。具体的には、正弦・余弦の加法定理より、\begin{equation}
\cos \left( a+h\right) =\cos \left( a\right) \cos \left( h\right) -\sin
\left( a\right) \sin \left( h\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\frac{\cos \left( a+h\right) -\cos \left( a\right) }{h} &=&\frac{\cos \left(
a\right) \cos \left( h\right) -\sin \left( a\right) \sin \left( h\right)
-\cos \left( a\right) }{h}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\cos \left( a\right) \frac{\cos \left( h\right) -1}{h}-\sin \left(
a\right) \frac{\sin \left( h\right) }{h}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\frac{\cos \left( a+h\right) -\cos \left( a\right) }{h}=\cos \left( a\right)
\frac{\cos \left( h\right) -1}{h}-\sin \left( a\right) \frac{\sin \left(
h\right) }{h} \quad \cdots (2)
\end{equation}という変形が可能です。\(\cos \left( a\right) \)および\(\sin \left(a\right) \)は定数関数であるため収束します。さらに、正弦関数や余弦関数の極限について解説した際に、\begin{eqnarray}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos \left( h\right) -1}{h} &=&0 \quad \cdots (3) \\
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin \left( h\right) }{h} &=&1 \quad \cdots (4)
\end{eqnarray}などが成り立つことを示しました。したがって\(\left( 2\right) \)は収束する関数どうしの差・積であるため収束します。以上より、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos \left(
a+h\right) -\cos \left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\left[ \cos \left( a\right) \frac{\cos \left(
h\right) -1}{h}-\sin \left( a\right) \frac{\sin \left( h\right) }{h}\right] \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\cos \left( a\right) \cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos \left( h\right) -1}{h}-\lim_{h\rightarrow 0}\sin \left( a\right)
\cdot \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin \left( h\right) }{h}\quad \because
\text{収束する関数の差・積} \\
&=&\cos \left( a\right) \cdot 0-\sin \left( a\right) \cdot 1\quad \because
\text{定数関数の極限および}\left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&-\sin \left( a\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a\right) =-\sin \left( a\right)
\end{equation*}となることが明らかになりました。

命題(余弦関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\sin \left( a\right)
\end{equation*}となる。

例(余弦関数の微分)
余弦関数\(f\)は\(\mathbb{R} \)上に定義可能ですが、\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、\(\mathbb{R} \)の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。したがって上の命題より\(f\)は微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された余弦関数は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるということです。

片側微分についても同様の命題が成り立ちます。

命題(余弦関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)より大きい周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =-\sin \left( a\right)
\end{equation*}となる。また、\(f\)が点\(a\in X\)より小さい周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =-\sin \left( a\right)
\end{equation*}となる。
証明

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例(余弦関数の片側極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2\cos \left( x\right) +1
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,\pi \right] \)の内部は\(\left( 0,\pi \right) \)です。内点\(a\in \left( 0,\pi \right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため点\(a\)において微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&2\cdot \left. \left[ \cos \left( x\right) \right] ^{\prime }\right\vert _{x=a}+\left. \left( 1\right) ^{\prime
}\right\vert _{x=a}\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&-2\sin \left( a\right) +0\because \text{余弦関数および定数関数の微分} \\
&=&-2\sin \left( a\right)
\end{eqnarray*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(\pi \)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため点\(0\)において右側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&2\cdot \left. \left[ \cos \left( x\right) \right] _{+}^{\prime }\right\vert _{x=0}+\left. \left( 1\right) _{+}^{\prime
}\right\vert _{x=0}\quad \because \text{右側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&-2\sin \left( 0\right) +0\quad \because \text{正弦関数および定数関数の右側微分} \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\(f\)は点\(\pi \)以下の周辺の任意の点において定義されているため点\(\pi \)において左側微分可能であり、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( \pi -0\right) &=&2\cdot \left. \left[ \cos \left(
x\right) \right] _{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }+\left. \left( 1\right)
_{-}^{\prime }\right\vert _{x=\pi }\quad \because \text{左側微分可能な関数の定数倍・和} \\
&=&-2\sin \left( \pi \right) +0\quad \because \text{正弦関数および定数関数の左側微分} \\
&=&-2\cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }\supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =-2\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

余弦関数との合成関数の微分

余弦関数が微分可能であるという事実と合成関数の微分を利用すると、より広範な関数を微分できるようになります。

余弦関数は\(\mathbb{R} \)上に定義可能であるため、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\cos \left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。これは関数\(y=f\left( x\right) \)と余弦関数\(\cos \left( y\right) \)の合成関数である点に注意してください。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が点\(a\in X\)において微分可能であるかどうか検討できます。仮に\(f\)が点\(a\)において微分可能であるならば、そこでの微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。ここで注意したいことは、余弦関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であるため点\(f\left( a\right) \in \mathbb{R} \)において微分可能であるという点です。すると合成関数の微分より、\(g\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されます。

命題(余弦関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\cos \left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるならば、\(g\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}g^{\prime }\left( a\right) =-\left[ \sin \left( f\left( a\right) \right) \right] \cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}となる。
証明

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上の命題中の関数\(f\)が定義域上で微分可能であるならば、余弦関数との合成関数の導関数に関する以下の命題を得ます。

命題(余弦関数との合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\cos \left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が微分可能であるならば、\(g\)は微分可能であるとともに、その導関数\(g^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}g^{\prime }\left( x\right) =-\sin \left( f\left( x\right) \right) \cdot
f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}を定める。
例(自然指数関数と余弦関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( e^{x}\right)
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は自然指数関数\(y=e^{x}\)と余弦関数\(\cos \left( y\right) \)の合成関数です。自然指数関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left( e^{x}\right) ^{\prime }=e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ -\sin \left( e^{x}\right) \right] \left( e^{x}\right) ^{\prime } \\
&=&-e^{x}\sin \left( e^{x}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例(自然対数関数と余弦関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \ln \left( x\right) \right)
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は自然対数関数\(y=\ln \left( x\right) \)と余弦関数\(\cos \left( y\right) \)の合成関数です。自然対数関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left[ \ln \left( x\right) \right] ^{\prime }=\frac{1}{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ -\sin \left( \ln \left( x\right)
\right) \right] \left[ \ln \left( x\right) \right] ^{\prime } \\
&=&-\frac{\sin \left( \ln \left( x\right) \right) }{x}\quad \because \left(
1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例(多項式関数と余弦関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right)
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。この関数\(f\)は多項式関数\(y=\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と余弦関数\(\cos \left( y\right) \)の合成関数です。多項式関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime }=\sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}
\quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ -\sin \left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) \right] \left(
\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) ^{\prime } \\
&=&\left[ -\sin \left( \sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right) \right] \sum_{k=0}^{n}kc_{k}x^{k-1}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例(有理関数の余弦関数の合成関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、多項式関数である\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(h:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right)
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。この関数\(f\)は有理関数\(y=\frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\)と余弦関数\(\cos \left( y\right) \)の合成関数です。有理関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime }=\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left( x\right) \cdot
h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&-\sin \left( \frac{g\left( x\right) }{h\left(
x\right) }\right) \left[ \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right] ^{\prime } \\
&=&-\sin \left( \frac{g\left( x\right) }{h\left( x\right) }\right) \left[
\frac{g^{\prime }\left( x\right) \cdot h\left( x\right) -g\left( x\right)
\cdot h^{\prime }\left( x\right) }{\left[ h\left( x\right) \right] ^{2}}\right] \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
例(整数ベキ関数と余弦関数の合成)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x^{-n}\right)
\end{equation*}という形で表すことができるものとします。この関数\(f\)は負整数ベキ関数\(y=x^{-n}\)と余弦関数\(\cos \left( y\right) \)の合成関数です。負整数ベキ関数は\(X\)上で微分可能であり、その導関数が、\begin{equation}\left( x^{-n}\right) ^{\prime }=-nx^{-\left( n+1\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、上の命題より\(f\)もまた\(X\)上で微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left[ -\sin \left( x^{-n}\right) \right] \left( x^{-n}\right) ^{\prime } \\
&=&nx^{-\left( n+1\right) }\sin \left( x^{-n}\right) \quad \because \left(
1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(余弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x^{2}+3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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問題(余弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos ^{3}\left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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問題(余弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\cos ^{3}\left( 2x^{4}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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問題(余弦関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2\cos \left( 3x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
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次回は余弦関数の微分について学びます。

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