縮小関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が以下の条件\begin{equation*}
\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert \leq k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は定義域\(X\)上でリプシッツ関数（Lipschitz function on \(X\)）であるとかリプシッツ連続である（Lipschitz continuous）などと言います。また、上の命題中の不等式\begin{equation*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq k\left\vert
y-x\right\vert
\end{equation*}をリプシッツ不等式（Lipschitz inequality）と呼び、リプシッツ不等式中の定数\(k\)をリプシッツ定数（Lipschitz constant）と呼びます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上でリプシッツ関数であるとともに、リプシッツ定数\(k\)が\(1\)より小さい非負の実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left(
y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は定義域\(X\)上で縮小関数（contractive function on \(X\)）であるとか縮小写像（contractive mapping on \(X\)）であるなどと言います。また、この場合にはリプシッツ定数\(k\)を縮小定数（contraction constant）と呼びます。
改めて整理すると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上で縮小関数であることは、\begin{equation*}\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left(
y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(x=y\)を満たす任意の\(x,y\in X\)は条件を満たすため、上の命題は、\begin{equation*}\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x,y\in X:\left( x\not=y\Rightarrow
\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq k\left\vert
y-x\right\vert \right)
\end{equation*}と必要十分です。さらにこれは、\begin{equation*}
\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x,y\in X:\left( x\not=y\Rightarrow
\frac{\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert }{\left\vert
y-x\right\vert }\leq k\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x,y\in X:\left( x\not=y\Rightarrow
\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert \leq
k\right)
\end{equation*}と必要十分です。
\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert \leq
k\right)
\end{equation*}を満たすことと、\(f\)が\(X\)上で縮小関数であることは必要十分である。
定義より、縮小関数はリプシッツ関数でもあります。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数が\(\mathbb{R} \)上で縮小関数であることを示します。縮小定数の候補として、\begin{equation*}k=\frac{1}{2}
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
c-c\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert 0\right\vert \\
&=&0 \\
&\leq &\frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq \frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で縮小関数であり、ゆえにリプシッツ関数でもあります。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} \)上で縮小関数であることを示します。縮小定数の候補として、\begin{equation*}k=\frac{1}{2}
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
\frac{y}{2}-\frac{x}{2}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq \frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(X\)上で縮小関数であり、ゆえにリプシッツ関数でもあります。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が縮小関数であることは、\begin{equation*}\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left(
y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを意味するため、\(f\)が縮小関数ではないことは、\begin{equation*}\forall k\in \left[ 0,1\right) ,\ \exists x,y\in X:\left\vert f\left(
y\right) -f\left( x\right) \right\vert >k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が縮小関数であることと、\begin{equation*}\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x,y\in X:\left( x\not=y\Rightarrow
\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert \leq
k\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分であるため、\(f\)が縮小関数ではないことと、\begin{equation*}\forall k\in \left[ 0,1\right) ,\ \exists x,y\in X:\left( x\not=y\wedge
\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert
>k\right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分です。
縮小関数はリプシッツ関数ですが、その逆は成り立つとは限りません。リプシッツ関数は縮小関数であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ関数であることを示します。リプシッツ定数の候補として、\begin{equation*}k=1
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
y-x\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&1\cdot \left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq 1\cdot
\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でリプシッツ関数です。その一方で、\(x\not=y\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert
&=&\left\vert \frac{y-x}{y-x}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert \leq k
\end{equation*}を満たす\(k\in \left[ 0,1\right) \)は存在せず、ゆえに\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で縮小関数ではありません。
縮小関数はリプシッツ関数であるため、リプシッツ関数ではない関数は縮小関数でもありません。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上においてリプシッツ関数ではありません。つまり、\begin{equation}\forall k\in \mathbb{R} ,\ \exists x,y\in \mathbb{R} _{++}:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert >k\left\vert
y-x\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。実際、\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(k\leq 0\)の場合には\(\left( 1\right) \)が明らかに成り立ちます。一方、\(k>0\)である場合には、それに対して、\begin{eqnarray*}x &=&k\in \mathbb{R} _{++} \\
y &=&k+1\in \mathbb{R} _{++}
\end{eqnarray*}とおくことにより、この\(x,y\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
f\left( k+1\right) -f\left( k\right) \right\vert \\
&=&\left\vert \left( k+1\right) ^{2}-k^{2}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert k^{2}+2k+1-k^{2}\right\vert \\
&=&\left\vert 2k+1\right\vert \\
&=&2k+1\quad \because k>0
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
k\left\vert y-x\right\vert &=&k\left\vert \left( k+1\right) -k\right\vert
\\
&=&k\left\vert 1\right\vert \\
&=&k
\end{eqnarray*}となりますが、\(k>0\)ゆえに、\begin{equation*}2k+1>k
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert >k\left\vert
y-x\right\vert
\end{equation*}となるため、\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上においてリプシッツ関数ではなく、ゆえに縮小関数でもありません。
微分を用いた縮小関数であることの判定
区間上に定義された関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x\in I:\left\vert f^{\prime
}\left( x\right) \right\vert \leq k
\end{equation*}を満たす場合には、すなわち、導関数\(f^{\prime}\left( x\right) \)の値域が上に有界であるとともに\(1\)より小さい上界が存在する場合には、この関数\(f\)は\(I\)上において縮小関数になります。さらに、以上の条件を満たす\(k\)は\(f\)の縮小定数になります。証明ではラグランジュの平均値の定理を利用します。
}\left( x\right) \right\vert \leq k
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)は\(I\)上において縮小関数になる。さらに、\(k\)は\(f\)の縮小定数である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であるとともに、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\left. \frac{d}{dz}z^{2}\right\vert _{z=\sin
\left( \frac{x}{3}\right) }\cdot \left. \frac{d}{dy}\sin \left( y\right)
\right\vert _{y=\frac{x}{3}}\cdot \frac{d}{dx}\frac{x}{3}\quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 2z\right\vert _{z=\sin \left( \frac{x}{3}\right) }\cdot \left.
\cos \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{x}{3}}\cdot \frac{1}{3} \\
&=&2\sin \left( \frac{x}{3}\right) \cos \left( \frac{x}{3}\right) \frac{1}{3}
\\
&=&\frac{2}{3}\sin \left( \frac{x}{3}\right) \cos \left( \frac{x}{3}\right)
\\
&=&\frac{1}{3}\sin \left( \frac{2x}{3}\right) \quad \because \text{倍角の公式}
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}-\frac{1}{3}\cdot 1\leq \frac{1}{3}\sin \left( \frac{2x}{3}\right) \leq
\frac{1}{3}\cdot 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert \frac{1}{3}\sin \left( \frac{2x}{3}\right) \right\vert \leq \frac{1}{3}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert f^{\prime }\left( x\right) \right\vert \leq \frac{1}{3}
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は縮小関数であり、\(\frac{1}{3}\)は\(f\)の縮小定数です。
縮小関数の不動点の一意性
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。関数\(f\)が以下の条件\begin{equation*}\exists c\in X:f\left( c\right) =c
\end{equation*}を満たす場合には、このような点\(c\)を関数\(f\)の不動点（fixed point）と呼びます。
縮小関数の中には不動点を持つものと不動点を持たないものの双方が存在します。
まずは、不動点を持つ縮小関数の例を挙げます。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。先に示したように\(f\)は縮小関数です。さらに、\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} :f\left( c\right) =c
\end{equation*}が成り立つため、点\(c\)は関数\(f\)の不動点です。
続いて、不動点を持たない縮小関数の例を挙げます。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\left[ 1,+\infty\right) \)上で縮小関数であることを示します。縮小定数の候補として、\begin{equation*}k=\frac{1}{2}
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \left[ 1,+\infty \right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
\frac{y}{2}-\frac{x}{2}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \left[ 1,+\infty \right) :\left\vert f\left( y\right)
-f\left( x\right) \right\vert \leq \frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\left[ 1,+\infty \right) \)上で縮小関数です。その一方で、\(x\in \left[ 1,+\infty\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) -x &=&\frac{x}{2}-x \\
&=&-\frac{x}{2} \\
&\not=&0\quad \because x\in \left[ 1,2\right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \not=x
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(\left[ 1,+\infty\right) \)上に不動点を持ちません。
縮小関数の中には不動点を持つものと不動点を持たないものの双方が存在することが明らかになりました。ただし、縮小関数が不動点を持つ場合、それは一意的に定まります。
縮小関数の不動点定理
縮小関数の中には不動点を持つものと不動点を持たないものの双方が存在することが明らかになりました。では、縮小関数が不動点を持つための条件を特定できるのでしょうか。順番に考えます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上において縮小関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists k\in \left[ 0,1\right) ,\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left(
y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つということです。さらに、この関数\(f\)は以下の2つの条件を満たす状況を想定します。
1つ目の条件は、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset X
\end{equation*}です。つまり、\(f\)の値域は定義域の部分集合であるということです。
2つ目の条件は、\(f\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} \)上の完備な部分集合であるということです。つまり、\(X\)の要素を項として持つコーシー列を任意に選んだとき、その極限もまた\(X\)の要素になるということです。ただし、\(X\)が完備な部分集合であることと、\(X\)が\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることは必要十分です。
以上の諸条件が満たされる場合、関数\(f\)は\(X\)上に不動点を持つことが保証されます。つまり、\begin{equation*}\exists c\in X:f\left( c\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。これを縮小関数の不動点定理（fixed point theorem for contraction function）と呼びます。さらに先の命題より、\(f\)の不動点は一意的に定まります。
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)は\(X\)上に不動点を持つとともに、不動点は一意的に定まる。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。先に示したように\(f\)は縮小関数です。また、\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は完備であるとともに、\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ c\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}を満たします。したがって、縮小関数の不動点定理より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上に不動点を1つだけ持ちます。実際、点\(c\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}f\left( c\right) -c &=&c-c \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( c\right) =c
\end{equation*}が成り立つため、点\(c\)は\(f\)の不動点です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で縮小関数です。また、\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は完備であるとともに、\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} \right) =\left[ 0,1\right] \subset \mathbb{R} \end{equation*}を満たします。したがって、縮小関数の不動点定理より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上に不動点を1つだけ持ちます。実際、点\(0\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) -0 &=&\sin ^{2}\left( \frac{0}{3}\right) -0 \\
&=&0-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( 0\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、点\(0\)は\(f\)の不動点です。
縮小関数の不動点定理が要求する条件の吟味
縮小関数の不動点定理は関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して3つの条件を要求しています。1つ目は\(f\)が\(X\)上において縮小関数であること、\(2\)つ目は\(f\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} \)上の完備部分集合であること、3つ目は\(f\)の値域が定義域の部分集合であることです。これらの条件はいずれも必須でしょうか。順番に考えます。
まずは、関数\(f\)が縮小関数ではない例を挙げます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)は完備であるとともに、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} \right) =\mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)は縮小関数ではありません。実際、\(x\not=y\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert
&=&\left\vert \frac{\left( y+1\right) -\left( x+1\right) }{y-x}\right\vert
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \frac{y-x}{y-x}\right\vert \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\left\vert \frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\right\vert \leq k
\end{equation*}を満たす\(k\in \left[ 0,1\right) \)は存在せず、ゆえに\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で縮小関数ではありません。以上の議論より、この関数\(f\)は縮小関数の不動点定理が要求する条件の中でも「縮小関数である」という条件だけを満たさないことが明らかになりました。加えて、この関数\(f\)は不動点を持ちません。実際、\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) -x &=&\left( x+1\right) -x\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1 \\
&\not=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \not=x
\end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} \)上の任意の点は\(f\)の不動点ではありません。
続いて、定義域が完備ではない関数の例を挙げます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) =\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{equation*}を満たします。また、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で縮小関数です。実際、縮小定数の候補として、\begin{equation*}k=\frac{1}{2}
\end{equation*}に注目すると、点\(x,y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
\frac{y}{2}-\frac{x}{2}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert \leq \frac{1}{2}\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が示されました。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で縮小関数です。その一方で、\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は完備部分集合ではありません。なぜなら、1点集合の補集合は\(\mathbb{R} \)上の開集合である一方で閉集合ではないからです。以上の議論より、この関数\(f\)は縮小関数の不動点定理が要求する条件の中でも「定義域が完備部分集合である」という条件だけを満たさないことが明らかになりました。加えて、この関数\(f\)は不動点を持ちません。実際、\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) -x &=&\frac{x}{2}-x \\
&=&-\frac{x}{2} \\
&\not=&0\quad \because x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \not=x
\end{equation*}となるため、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点は\(f\)の不動点ではありません。
最後に、値域が定義域の部分集合ではない関数の例を挙げます。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は\(\left[ 1,+\infty \right) \)上で縮小関数です。また、無限半閉区間は\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため\(\left[ 1,+\infty \right) \)は閉集合であり、したがって完備です。その一方で、\(f\)の値域は、\begin{equation*}f\left( \left[ 1,+\infty \right) \right) =\left[ \frac{1}{2},+\infty \right)
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
f\left( \left[ 1,+\infty \right) \right) \subset \left[ 1,+\infty \right)
\end{equation*}が成り立ちません。以上の議論より、この関数\(f\)は縮小関数の不動点定理が要求する条件の中でも「値域が定義域の部分集合である」という条件だけを満たさないことが明らかになりました。また、先に示したように\(f\)は\(\left[ 1,+\infty\right) \)上に不動点を持ちません。
不動点反復法（逐次近似法）
縮小関数の不動点定理は関数に不動点が存在するための十分条件を与えてくれますが、不動点を特定する方法については言及していません。関数が不動点を持つことが分かっている場合、不動点を具体的に特定することはできるのでしょうか。順番に考えます。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は縮小関数の不動点定理が要求する条件を満たしているものとします。つまり、\(f\)は\(X\)上において縮小関数であり、\(f\)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} \)上の完備部分集合であり、さらに、\(f\)の値域は定義域の部分集合であるということ、すなわち、\begin{equation}f\left( X\right) \subset X \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。この場合、\(f\)は\(X\)上に不動点を1つだけ持つことが保証されます。
点\(x_{0}\in X\)を任意に選んだ上で固定します。すると\(\left( 1\right) \)より\(f\left( x_{0}\right) \in X\)となりますが、\begin{equation*}x_{0}=f\left( x_{0}\right)
\end{equation*}の場合には\(x_{0}\)が\(f\)の不動点になります。そこで以降では、\begin{equation*}x_{0}\not=f\left( x_{0}\right)
\end{equation*}の場合について考えます。\(f\left( x_{0}\right) \in X\)であるため、\begin{equation*}x_{1}=f\left( x_{0}\right) \in X
\end{equation*}と定義します。\(\left( 1\right) \)より\(f\left( x_{1}\right) \in X\)となるため、\begin{equation*}x_{2}=f\left( x_{1}\right) \in X
\end{equation*}と定義します。\(\left( 1\right) \)を繰り返し利用しながら同様のプロセスを繰り返すことにより、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}=f\left( x_{n-1}\right) \in X
\end{equation*}を満たす\(X\)上の数列\(\left\{x_{n}\right\} \)を再帰的に定義できます。以上の要領で定義された数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を\(f\)のもとでの\(x_{0}\)の反復数列（sequence of iterates of \(x_{0}\) under \(f\)）と呼びます。
縮小関数の不動点定理の証明において明らかにしたように、関数\(f\)が縮小関数の不動点定理が要求する条件を満たす場合には、点\(x_{0}\in X\)を任意に選んだとき、\(f\)のもとでの\(x_{0}\)の反復数列は\(f\)の不動点へ収束することが保証されます。そこで、反復数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項\begin{eqnarray*}x_{1} &=&f\left( x_{0}\right) \\
x_{2} &=&f\left( x_{1}\right) =f\left( f\left( x_{0}\right) \right) \\
x_{3} &=&f\left( x_{2}\right) =f\left( f\left( f\left( x_{0}\right) \right)
\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を具体的に特定することにより\(f\)の不動点の近似値を求める手法を不動点反復法（fixed-point iteration）や反復法（iteration）、もしくは逐次近似法（successive approximation）などと呼びます。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。先に示したように\(f\)は縮小関数の不動点定理が要求する条件を満たします。したがって、点\(x_{0}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)のもとでの\(x_{0}\)の反復数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(f\)の不動点へ収束します。点\(0\in \mathbb{R} \)に注目したとき、反復数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&f\left( x_{0}\right) =f\left( 0\right) =c \\
x_{2} &=&f\left( x_{1}\right) =f\left( c\right) =c \\
x_{3} &=&f\left( x_{2}\right) =f\left( c\right) =c \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となりますが、これは定数数列であるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=c
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)の不動点は\(c\)です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は縮小関数の不動点定理が要求する条件を満たします。したがって、点\(x_{0}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)のもとでの\(x_{0}\)の反復数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(f\)の不動点へ収束します。点\(10\in \mathbb{R} \)に注目したとき、反復数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&f\left( x_{0}\right) =f\left( 10\right) =5 \\
x_{2} &=&f\left( x_{1}\right) =f\left( 5\right) =\frac{5}{2} \\
x_{3} &=&f\left( x_{2}\right) =f\left( \frac{5}{2}\right) =\frac{5}{4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、これは初項が\(5\)であり公比が\(\frac{1}{2}\)であるような等比数列であるため、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(f\)の不動点は\(0\)です。
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