等比数列（幾何数列）とその部分和および極限

等比数列

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、定数\(a,r\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=ar^{n-1}
\end{equation*}として表される場合、このような数列を等比数列（geometric progression）や幾何数列と呼びます。等比数列の項を具体的に列挙すると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&a \\
x_{2} &=&ar \\
x_{3} &=&ar^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。つまり、等比数列とは初項が\(a\)であり、なおかつ隣り合う項が共通の比\(r\)を持つ数列です。この\(r\)を公比（common ratio）と呼びます。

\(1\)辺の長さを\(r\)に固定したとき、線分の長さは\(r\)であり、正方形の面積は\(r^{2}\)であり、立方体の長さは\(r^{3}\)であり、\(\cdots \)などとなりますが、これらの値を並べると、\begin{equation*}r,\ r^{2},\ r^{3},\ \cdots
\end{equation*}となり、これは等比数列になっています。等比数列には以上のような幾何学的な意味もあるため「幾何」数列とも呼ばれます。

等比数列の再帰的な定義

初項が\(a\)であり公比が\(r\)であるような等比数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは、初項が\(a\)であるとともに、隣り合う項が共通の比\(r\)を持つ数列であるため、等比数列を定義する再帰式は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=a \\
\frac{x_{n}}{x_{n-1}}=r\end{array}\right.
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=a \\
x_{n}=rx_{n-1}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。実際、この再帰式を利用すると、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項を、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&a \\
x_{2} &=&rx_{1}=ar \\
x_{3} &=&rx_{2}=r\left( ar\right) =ar^{2} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}と次々に計算できるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は初項が\(a\)であり公比が\(r\)であるような等比数列です。

等比数列の部分和

等比数列の部分和、すなわち初項から第\(n\)項までの和は以下の通りです。

等比数列の極限

一般の等比数列\(\left\{ar^{n-1}\right\} \)の極限について考える準備として、まずは初項が\(1\)であるような等比数列\(\left\{r^{n-1}\right\} \)の極限について考えます。

等比数列\(\left\{ r^{n-1}\right\} \)が収束するための条件および極限は以下の通りです。

等比数列\(\left\{ r^{n-1}\right\} \)が発散または振動するための条件および極限は以下の通りです。

以上の諸命題を踏まえた上で、一般の等比数列\(\left\{ ar^{n-1}\right\} \)の極限について考えます。

初項が\(0\)であるような等比数列は定数数列であるため収束します。

初項が\(0\)ではない等比数列が収束するための条件および極限は以下の通りです。

初項が\(0\)ではない等比数列が発散または振動するための条件および極限は以下の通りです。

演習問題