教材一覧
教材一覧
教材検索
SEQUENCE OF NUMBERS

数列の極限と不定形

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

数列の一般項を簡約化する手法

数列の極限が不定形の場合でも、その数列の一般項を簡約化してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。

例(数列の一般項を簡約化する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2n-n
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{2n\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n\right) =+\infty
\end{equation*}となり、数列\(\left\{ n\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty
\end{equation*}となるため、これは、\begin{equation*}
\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right)
\end{equation*}というタイプの不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&2n-n\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&n
\end{eqnarray*}と変形してから極限をとることにより、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ発散することが明らかになりました。
例(数列の一般項を簡約化する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n\cdot \frac{3}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty
\end{equation*}となり、数列\(\left\{ \frac{3}{n}\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n}\right) =0
\end{equation*}となるため、これは、\begin{equation*}
\left( +\infty \right) \cdot 0
\end{equation*}というタイプの不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&n\cdot \frac{3}{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&3
\end{eqnarray*}と変形してから極限をとることにより、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }3 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数\(3\)へ収束することが明らかになりました。
例(数列の一般項を簡約化する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{3\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) }
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{3\left( n+1\right) \right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }3\left( n+1\right) =+\infty
\end{equation*}となり、数列\(\left\{ n+1\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( n+1\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、これは、\begin{equation*}
\frac{+\infty }{+\infty }
\end{equation*}というタイプの不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{3\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) }\quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&3
\end{eqnarray*}と変形してから極限をとることにより、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }3 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数\(3\)へ収束することが明らかになりました。

 

数列の一般項を因数分解する手法

数列の極限が不定形の場合でも、一般項を因数分解してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。最も典型的な手法は、数列の一般項を因数分解する際に最高次の項でくくるというものです。以下に例を挙げます。

例(数列の一般項を因数分解する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=3n^{2}-5n
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{3n^{2}\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 3n^{2}\right) =+\infty
\end{equation*}となり、数列\(\left\{ 5n\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 5n\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、これは、\begin{equation*}
\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right)
\end{equation*}というタイプの不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&3n^{2}-5n\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&n^{2}\left( 3-\frac{5}{n}\right) \quad \because \text{最高次の項でくくる}
\end{eqnarray*}と変形してから極限をとることにより、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[
n^{2}\left( 3-\frac{5}{n}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( 3-\frac{5}{n}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 3 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ発散することが明らかになりました。
例(数列の一般項を因数分解する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{6n^{4}-3n^{2}}{8n^{7}+3n}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{6n^{4}-3n^{2}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 6n^{4}-3n^{2}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ 6n^{2}\left( n^{2}-3\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 6n^{2}\right) \cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\left( n^{2}-3\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり、数列\(\left\{ 8n^{7}+3n\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 8n^{7}+3n\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 8n^{7}\right) +\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 3n\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、これは、\begin{equation*}
\frac{+\infty }{+\infty }
\end{equation*}というタイプの不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{6n^{4}-3n^{2}}{8n^{7}+3n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\frac{n^{7}\left( \frac{6}{n^{3}}-\frac{3}{n^{5}}\right) }{n^{7}\left( 8+\frac{3}{n^{6}}\right) }\quad \because \text{最高次の項でくくる} \\
&=&\frac{\frac{6}{n^{3}}-\frac{3}{n^{5}}}{8+\frac{3}{n^{6}}}
\end{eqnarray*}と変形してから極限をとることにより、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{6}{n^{3}}-\frac{3}{n^{5}}}{8+\frac{3}{n^{6}}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{6}{n^{3}}-\frac{3}{n^{5}}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 8+\frac{3}{n^{6}}\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{6}{n^{3}}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n^{5}}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }8+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{3}{n^{6}}\right) } \\
&=&\frac{0-0}{8+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が\(0\)に収束することが明らかになりました。
例(数列の一般項を因数分解する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n^{2}+3n-4}{2n^{2}+3x-5}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n^{2}+3n-4\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( n^{2}+3n-4\right) =+\infty
\end{equation*}となり、数列\(\left\{ 2n^{2}+3x-5\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}+3x-5\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、これは、\begin{equation*}
\frac{+\infty }{+\infty }
\end{equation*}というタイプの不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{n^{2}+3n-4}{2n^{2}+3x-5}\quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) \left( n+4\right) }{\left( n-1\right) \left(
2n+5\right) }\quad \because \text{因数分解} \\
&=&\frac{n+4}{2n+5} \\
&=&\frac{1+\frac{4}{n}}{2+\frac{1}{n}}\quad \because \text{最高次の項でくくる}
\end{eqnarray*}と変形した上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1+\frac{4}{n}}{2+\frac{1}{n}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{4}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2+\frac{1}{n}\right) } \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\frac{1}{2}\)に収束することが明らかになりました。

 

数列の一般項を有理化する手法

数列の極限が不定形の場合でも、一般項が無理式を含む場合には、一般項を有理化することにより不定形を解消できることがあります。

例(数列の一般項を有理化する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \sqrt{n^{2}+1}\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n^{2}+1}=+\infty
\end{equation*}となり、数列\(\left\{ n\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty
\end{equation*}となるため、これは、\begin{equation*}
\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right)
\end{equation*}というタイプの不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\sqrt{n^{2}+1}-n\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\left( \sqrt{n^{2}+1}-n\right) \left( \sqrt{n^{2}+1}+n\right) }{\sqrt{n^{2}+1}+n}\quad \because \text{有理化} \\
&=&\frac{\left( n^{2}+1\right) -n^{2}}{\sqrt{n^{2}+1}+n} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n}
\end{eqnarray*}と変形した上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1}{\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\sqrt{n^{2}+1}+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n} \\
&=&\frac{1}{\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(0\)に収束することが明らかになりました。
例(数列の一般項を有理化する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n-1}{\sqrt{n}+1}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n-1\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( n-1\right) =+\infty
\end{equation*}となり、数列\(\left\{ \sqrt{n}+1\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{n}+1\right) =+\infty
\end{equation*}となるため、これは、\begin{equation*}
\frac{+\infty }{+\infty }
\end{equation*}というタイプの不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{n-1}{\sqrt{n}+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) \left( \sqrt{n}-1\right) }{\left( \sqrt{n}+1\right) \left( \sqrt{n}-1\right) }\quad \because \text{有理化} \\
&=&\frac{\left( n-1\right) \left( \sqrt{n}-1\right) }{n-1} \\
&=&\sqrt{n}-1
\end{eqnarray*}と変形した上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{x}-1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{x}-\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&\left( +\infty \right) -1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(+\infty \)へ発散することが明らかになりました。

 

はさみうちの定理を利用する手法

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限が不定形の場合でも、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\leq x_{n}\leq z_{n} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=\lim_{n\rightarrow
\infty }z_{n}\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を満たす数列である\(\left\{ y_{n}\right\} \)と\(\left\{ z_{n}\right\} \)を見つけることができれば、はさみうちの定理を利用することにより\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた\(\left\{y_{n}\right\} \)や\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限と同じ極限へ収束することを保証できます。

例(はさみうちの定理を利用する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{\cos \left( n\right) }{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{\cos \left( n\right) \right\} \)は振動するため、このままでは極限をとることができません。ただし、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}-1\leq \cos \left( n\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つことに注目した上で各辺を\(n\)で割ると、\begin{equation}-\frac{1}{n}\leq \frac{\cos \left( n\right) }{n}\leq \frac{1}{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。さらに、数列\(\left\{ -\frac{1}{n}\right\} ,\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)については、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)およびはさみうちの定理より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cos \left( n\right) }{n}=0
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束することが明らかになりました。
例(はさみうちの定理を利用する手法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}\cdot \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{\cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \right\} \)は振動するため、このままでは極限をとることができません。ただし、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}-1\leq \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \leq 1
\end{equation*}が成り立つことに注目した上で各辺を\(n\)で割ると、\begin{equation}-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}\cdot \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \leq
\frac{1}{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。さらに、数列\(\left\{ -\frac{1}{n}\right\} ,\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)については、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)およびはさみうちの定理より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{1}{n}\cdot \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \right] =0
\end{equation*}が成り立つこと、すなわち数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束することが明らかになりました。

 

演習問題

問題(数列の極限と不定形)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=3n^{2}-5n
\end{equation*}で与えられています。この数列の極限を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の極限と不定形)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{3n^{4}-7n^{2}+5}{6-4n^{4}}
\end{equation*}で与えられています。この数列の極限を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の極限と不定形)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)
\end{equation*}で与えられています。この数列の極限を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(数列の極限と不定形)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}
\end{equation*}で与えられています。この数列の極限を求めてください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

次回から単調数列について解説します。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

不定形
拡大実数系

R に属するすべての実数と正負の無限大+∞,−∞からなる集合を拡大実数系と呼びます。

数列