数列の極限と不定形

数列の極限が不定形である場合、その数列の一般項を上手く変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。今回は不定形を解消するための方法を解説します。
数列 不定形
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一般項を簡約化する手法

数列の極限が不定形の場合でも、その数列の一般項を簡約化してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。

例(数列の一般項を簡約化する手法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=2n-n
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
2n-n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2n\right) -\lim_{n\rightarrow \infty }n
\\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)が、\begin{equation}
x_{n}=2n-n=n \tag{1}
\end{equation}と簡約化できることに注目すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大に発散することが明らかになりました。
例(数列の一般項を簡約化する手法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=n\cdot \frac{3}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( n\cdot
\frac{3}{n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3}{n}
\\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 0
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)が、\begin{equation}
x_{n}=n\cdot \frac{3}{n}=3 \tag{1}
\end{equation}と簡約できることに注目すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }3\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&3
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(3\)に収束することが明らかになりました。
例(数列の一般項を簡約化する手法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{3\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) }
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{3\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) }\right] \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }3\left( n+1\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( n+1\right) } \\
&=&\frac{+\infty }{+\infty }
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)が、\begin{equation}
x_{n}=\frac{3\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) }=3 \tag{1}
\end{equation}と簡約できることに注目すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }3\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&3
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(3\)に収束することが明らかになりました。

 

一般項を因数分解する方法

数列の極限が不定形の場合でも、一般項を因数分解してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。中でも最も典型的な手法は、数列の一般項を因数分解する際に最高次の項でくくるというものです。以下に例を挙げます。

例(一般項を因数分解する方法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=3n^{2}-5n
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
3n^{2}-5n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }3n^{2}-\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
5n\right) \\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)を\(n^{2}\)でくくると、\begin{equation}
x_{n}=3n^{2}-5n=n^{2}\left( 3-\frac{5}{n}\right) \tag{1}
\end{equation}となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[
n^{2}\left( 3-\frac{5}{n}\right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( 3-\frac{5}{n}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 3 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大に発散することが明らかになりました。
例(一般項を因数分解する方法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=a_{0}n^{k}+a_{1}n^{k-1}+\cdots +a_{k-1}n+a_{k}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。ただし、\(k\)は自然数であり、係数\(a_{0},a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}\)はいずれも実数です(ただし\(a_{0}\not=0\))。これは先の例の一般化です。係数\(a_{0},a_{1},\cdots ,a_{k-1},a_{k}\)の中に正の実数と負の実数がともに少なくとも1つずつ存在する場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
a_{0}n^{k}+a_{1}n^{k-1}+\cdots +a_{k-1}n+a_{k}\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }a_{0}n^{k}+\lim_{n\rightarrow \infty
}a_{1}n^{k-1}+\cdots +\lim_{n\rightarrow \infty }a_{k-1}n+\lim_{n\rightarrow
\infty }a_{k}
\end{eqnarray*}とすると、これは不定形になり定義可能です(確認してください)。一方、一般項\(x_{n}\)を\(n^{k}\)でくくると、\begin{eqnarray}
x_{n} &=&a_{0}n^{k}+a_{1}n^{k-1}+\cdots +a_{k-1}n+a_{k} \notag \\
&=&n^{k}\left( a_{0}+\frac{a_{1}}{n}+\frac{a_{k-1}}{n^{k-1}}+\frac{a_{k}}{n^{k}}\right) \tag{1}
\end{eqnarray}となることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[
n^{k}\left( a_{0}+\frac{a_{1}}{n}+\frac{a_{k-1}}{n^{k-1}}+\frac{a_{k}}{n^{k}}\right) \right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n^{k}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left(
a_{0}+\frac{a_{1}}{n}+\frac{a_{k-1}}{n^{k-1}}+\frac{a_{k}}{n^{k}}\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot a_{0}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
+\infty & \left( if\ a_{0}>0\right) \\
-\infty & \left( if\ a_{0}<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となることが明らかになりました。
例(一般項を因数分解する方法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{6n^{4}-3n^{2}}{8n^{7}+3n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{6n^{4}-3n^{2}}{8n^{7}+3n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 6n^{4}-3n^{2}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 8n^{7}+3n\right) } \\
&=&\frac{+\infty }{+\infty }
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)の分子と分母を\(n^{7}\)でくくった上で約分すると、\begin{eqnarray}
x_{n} &=&\frac{6n^{4}-3n^{2}}{8n^{7}+3n} \notag \\
&=&\frac{n^{7}\left( \frac{6}{n^{3}}-\frac{3}{n^{5}}\right) }{n^{7}\left( 8+\frac{3}{n^{6}}\right) } \notag \\
&=&\frac{\frac{6}{n^{3}}-\frac{3}{n^{5}}}{8+\frac{3}{n^{6}}} \tag{1}
\end{eqnarray}になることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{6}{n^{3}}-\frac{3}{n^{5}}}{8+\frac{3}{n^{6}}}\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{6}{n^{3}}-\frac{3}{n^{5}}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 8+\frac{3}{n^{6}}\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{6}{n^{3}}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n^{5}}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }8+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{3}{n^{6}}\right) } \\
&=&\frac{0-0}{8+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)に収束することが明らかになりました。

以下もまた一般項を因数分解する手法の応用例です。

例(一般項を因数分解する方法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{n^{2}+3n-4}{2n^{2}+3x-5}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n^{2}+3n-4}{2n^{2}+3x-5}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( n^{2}+3n-4\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2n^{2}+3x-5\right) } \\
&=&\frac{+\infty }{+\infty }
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)の分子と分母を因数分解した上で約分すると、\begin{eqnarray}
x_{n} &=&\frac{n^{2}+3n-4}{2n^{2}+3x-5} \notag \\
&=&\frac{\left( n-1\right) \left( n+4\right) }{\left( n-1\right) \left(
2n+5\right) } \notag \\
&=&\frac{n+4}{2n+5} \tag{1}
\end{eqnarray}になることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n+4}{2n+5}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( n+4\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2n+4\right) } \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot 3 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大に発散することが明らかになりました。

 

一般項を有理化する手法

数列の極限が不定形の場合でも、一般項が無理式を含む場合には、一般項を有理化することにより不定形を解消できることがあります。

例(一般項を有理化する手法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{n^{2}+1}-n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n^{2}+1}-\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&\left( +\infty \right) -\left( +\infty \right) \\
&=&\left( +\infty \right) +\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)を有理化すると、\begin{eqnarray}
x_{n} &=&\sqrt{n^{2}+1}-n\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\frac{\left( \sqrt{n^{2}+1}-n\right) \left( \sqrt{n^{2}+1}+n\right) }{\sqrt{n^{2}+1}+n} \notag \\
&=&\frac{\left( n^{2}+1\right) -n^{2}}{\sqrt{n^{2}+1}+n} \notag \\
&=&\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n} \tag{1}
\end{eqnarray}になることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}+n}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1}{\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\sqrt{n^{2}+1}+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n} \\
&=&\frac{1}{\left( +\infty \right) +\left( +\infty \right) } \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が極限\(0\)へ収束することが明らかになりました。
例(一般項を有理化する手法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{n-1}{\sqrt{n}+1}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n-1}{\sqrt{n}+1}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( n-1\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{n}+1\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n-\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }1}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n}+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1} \\
&=&\frac{\left( +\infty \right) -1}{\left( +\infty \right) +1} \\
&=&\frac{+\infty }{+\infty }
\end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)を有理化すると、\begin{eqnarray}
x_{n} &=&\frac{n-1}{\sqrt{n}+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\frac{\left( n-1\right) \left( \sqrt{n}-1\right) }{\left( \sqrt{n}+1\right) \left( \sqrt{n}-1\right) } \notag \\
&=&\frac{\left( n-1\right) \left( \sqrt{n}-1\right) }{n-1} \notag \\
&=&\sqrt{n}-1 \tag{1}
\end{eqnarray}になることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \sqrt{x}-1\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{x}-\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&\left( +\infty \right) -1 \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散することが明らかになりました。

 

はさみうちの定理を利用する手法

復習になりますが、はさみうちの定理とは以下の命題です。

命題(はさみうちの定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が同一の実数へ収束するとともに、これらと数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の間に、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた\(\left\{ x_{n}\right\} \)や\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限と同一の実数へ収束する。
上の命題について復習する

数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の極限が不定形の場合でも、上の命題中の条件を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を見つけることができれば、上の命題より、数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)が収束することを保証でき、なおかつその極限が明らかになります。

例(はさみうちの定理を利用する手法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{\cos n}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\cos n}{n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \cos n\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }n} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \cos n\right) }{+\infty }
\end{eqnarray*}となりますが、数列\(\left\{ \cos n\right\} \)は振動するため上の極限は定義不可能です。任意の番号\(n\)について\(-1\leq \cos n\leq 1\)であることから、各辺を\(n>0\)で割ることにより、任意の\(n\)について、\begin{equation*}
-\frac{1}{n}\leq \frac{\cos n}{n}\leq \frac{1}{n}
\end{equation*}を得ます。さらに、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0\)かつ\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }-\frac{1}{n}=0\)であることからはさみうちの定理が適用可能であり、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cos n}{n}=0
\end{equation*}を得ます。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限\(0\)へ収束することが明らかになりました。
例(はさみうちの定理を利用する手法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}\cdot \cos \frac{n\pi }{3}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{1}{n}\cdot \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \right] \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \right] \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1}{\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \right] \\
&=&\frac{1}{+\infty }\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \cos \left(
\frac{n\pi }{3}\right) \right] \\
&=&0\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \right] \end{eqnarray*}となりますが、数列\(\left\{ \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \right\} \)は振動するため上の極限は定義不可能です。任意の番号\(n\)について\(-1\leq \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \leq 1\)であることから、各辺を\(n>0\)で割ることにより、任意の\(n\)について、\begin{equation*}
-\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}\cdot \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \leq
\frac{1}{n}
\end{equation*}を得ます。さらに、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0\)かつ\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }-\frac{1}{n}=0\)であることからはさみうちの定理が適用可能であり、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{1}{n}\cdot \cos \left( \frac{n\pi }{3}\right) \right] =0
\end{equation*}を得ます。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限\(0\)へ収束することが明らかになりました。
例(はさみうちの定理を利用する手法)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について考えます。\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \right] \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty
}\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n}\cdot \left[ \lim_{n\rightarrow \infty
}\sqrt{n+1}-\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n}\right] \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left[ \left( +\infty \right) -\left(
+\infty \right) \right] \end{eqnarray*}とした場合、これは不定形になり定義不可能です。一方、一般項\(x_{n}\)を変形すると、\begin{eqnarray}
x_{n} &=&\sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \notag \\
&=&\frac{\sqrt{n}\left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right) \left( \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right) }{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\quad \because \text{有理化}
\notag \\
&=&\frac{\sqrt{n}\left( n+1-n\right) }{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \notag \\
&=&\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \notag \\
&=&\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\left( \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\right) }\quad
\because \sqrt{n}\text{でくくる} \notag \\
&=&\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \tag{1}
\end{eqnarray}を得ます。任意の\(n\)について、\begin{equation*}
1<\sqrt{1+\frac{1}{n}}<1+\frac{1}{n}
\end{equation*}が成り立つことに注目します。さらに、数列\(\left\{ 1\right\} \)と\(\left\{ 1+\frac{1}{n}\right\} \)がともに極限\(1\)へ収束することに注目すると、はさみうちの定理より、数列\(\left\{ \sqrt{1+\frac{1}{n}}\right\} \)の極限についても、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{1+\frac{1}{n}}=1 \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。以上より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1}{\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1} \\
&=&\frac{1}{1+1}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限\(\frac{1}{2}\)へ収束することが明らかになりました。

次回から単調数列について解説します。

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