隣り合う項の比を用いた正項数列の収束判定
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が正の実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の隣り合う項の比\begin{equation*}y_{n}=\frac{x_{n+1}}{x_{n}}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が定義可能です。その上で、この数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束するとともに、その極限が\(1\)よりも小さい場合、もとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は収束することが保証されます。しかも、その極限は\(0\)です。これをダランベールの判定法（D’Alembert’s ratio test）と呼びます。
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、そこから新たな数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)を定義する。その上で、その極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) =r
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{equation*}
0\leq r<1\Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>0\)であるため、先の命題を用いることができます。具体的には、数列\begin{equation*}\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} =\left\{ \frac{\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}\right\} =\left\{ \frac{2}{3}\right\}
\end{equation*}の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\frac{2}{3} \\
&=&\frac{2}{3} \\
&<&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{equation*}であることが明らかになりました。
\end{equation*}で表されるものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>0\)であるため、先の命題を用いることができます。具体的には、数列\begin{equation*}\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} =\left\{ \frac{\left( n+1\right)
^{2}c^{n+1}}{n^{2}c^{n}}\right\}
\end{equation*}の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\frac{\left( n+1\right) ^{2}c^{n+1}}{n^{2}c^{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left( n^{2}+2n+1\right) c^{n+1}}{n^{2}c^{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}c^{n+1}+2nc^{n+1}+c^{n+1}}{n^{2}c^{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c+\frac{2c}{n}+\frac{c}{n^{2}}\right)
\\
&=&c+0+0 \\
&=&c \\
&<&1\quad \because 0<c<1
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}であることが明らかになりました。
隣り合う項の比を用いた正項数列の発散判定
先の手法を利用すると正項数列が発散することを判定することもできます。具体的には以下の通りです。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が正の実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の隣り合う項の比\begin{equation*}y_{n}=\frac{x_{n+1}}{x_{n}}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が定義可能です。その上で、この数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束するとともに、その極限が\(1\)より大きい場合、もしくは、数列\(\left\{y_{n}\right\} \)が無限大へ発散する場合には、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は無限大へ発散することが保証されます。
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、そこから新たな数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)を定義する。その上で、その極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) =r
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{equation*}
1<r\leq +\infty \Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}で表されるものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(x_{n}>0\)であるため、先の命題を用いることができます。具体的には、数列\begin{equation*}\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} =\left\{ \frac{\left( n+1\right)
^{2}c^{n+1}}{n^{2}c^{n}}\right\}
\end{equation*}の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }\frac{\left( n+1\right) ^{2}c^{n+1}}{n^{2}c^{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left( n^{2}+2n+1\right) c^{n+1}}{n^{2}c^{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}c^{n+1}+2nc^{n+1}+c^{n+1}}{n^{2}c^{n}} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( c+\frac{2c}{n}+\frac{c}{n^{2}}\right)
\\
&=&c+0+0 \\
&=&c \\
&>&1\quad \because c>1
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}であることが明らかになりました。
ダランベールの判定法が役に立たない場合
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が正の実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つ場合には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の隣り合う項の比を一般項とする数列\begin{equation*}\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\}
\end{equation*}が定義可能です。そこで、その極限を、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) =r
\end{equation*}と表記した場合に、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=0
\\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \lim_{x\rightarrow \infty
}x_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つことが明らかになりました。では、\begin{equation*}
r=1
\end{equation*}の場合に、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の収束可能性について何らかのことを言えるのでしょうか。\(r=1\)の場合には、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するケースと収束しないケースの双方が存在するため、この場合、ダランベールの判定法は役に立ちません。
まずは、\(r=1\)であるとともに、もとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束する例を提示します。
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{1}{1}=1
\end{equation*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。その一方で、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。これは\(r=1\)であるとともに、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するケースです。
続いて、\(r=1\)であるとともに、もとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束しない例を提示します。
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}
\end{equation*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}} &=&\lim_{n\rightarrow
+\infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) \\
&=&1+0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}です。その一方で、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}です。これは\(r=1\)であるとともに、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が発散するケースです。
演習問題
\end{equation*}で表されるものとします。この数列の極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}を評価してください。
\end{equation*}で表されるものとします。この数列の極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}を評価してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】