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数列

数列の商の極限(商の法則)

目次

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収束する数列どうしの商の極限

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\frac{x_{n}}{y_{n}}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)が定義可能です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束し、なおかつ\(\left\{y_{n}\right\} \)の極限が非ゼロである場合には、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、有限な実数へ収束する数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の商の形をしている数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限で割れば\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限が得られます。したがって、何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)の商の形をしている数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

命題(収束する数列どうしの商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を定義する。\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}が成立する。

証明

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例(収束する数列どうしの商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}}\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{2}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}\right) }\quad \because \text{数列の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{2}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}1+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2}{n}\right) }\quad \because
\text{数列の和・差の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+2\cdot
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+3\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty
}\left( \frac{1}{n}\right) -2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{n}\right) }\quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1+2\cdot 0}{1+3\cdot 0-2\cdot 0}\quad \because \left( 1\right)
\text{および定数数列の極限} \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの商の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{equation*}\frac{+\infty }{+\infty },\quad \frac{+\infty }{-\infty },\quad \frac{-\infty }{+\infty },\quad \frac{-\infty }{-\infty }
\end{equation*}などとなりますが、これらは拡大実数系において不定形とみなされ定義不可能だからです。

ただ、このような場合においても、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の一般項を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。数列の極限が不定形になる場合の対処方法については場を改めて解説します。

例(発散する数列どうしの商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{3-8n}{n+2}
\end{equation*}であるものとします。数列\(\left\{ 3-8n\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 3-8n\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立ち、数列\(\left\{n+2\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( n+2\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、この数列の極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{3-8n}{n+2}
\end{equation*}は\(\frac{-\infty }{+\infty }\)型の不定形です。ただし、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&\frac{3-8n}{n+2}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{3}{n}-8}{1+\frac{2}{n}}\quad \because \text{分子と分母を}n\text{で割る}
\end{eqnarray*}と変形してから極限をとることにより、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{3}{n}-8}{1+\frac{2}{n}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n}-8\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{2}{n}\right) }\quad
\because \text{数列の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }8}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}1+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2}{n}\right) }\quad
\because \text{数列の和・差の極限} \\
&=&\frac{3\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }8}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}1+2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) }\quad
\because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{3\cdot 0-8}{1+2\cdot 0}\quad \because \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0\text{および定数数列の極限} \\
&=&\frac{-8}{1} \\
&=&-8
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束することが明らかになりました。

 

収束する数列と発散する数列の商の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数に収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散する場合にも、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{equation}\forall c\in \mathbb{R} :\frac{c}{+\infty }=\frac{c}{-\infty }=0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&+\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{+\infty } \\
&=&0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&-\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{-\infty } \\
&=&0\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。

命題(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を定義する。\(\left\{x_{n}\right\} \)が有限な実数に収束し、\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散する場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{2-\frac{1}{n}}{2n}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2-\frac{1}{n}}{2n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2n\right) }\quad \because \text{数列の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }2-\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) }{2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty
}n} \\
&=&\frac{2-0}{2\cdot \left( +\infty \right) } \\
&=&\frac{2}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(0\)とは異なる有限な実数へ発散する場合にも数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray}\forall c &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\frac{+\infty }{c}=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2) \\
\forall c &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\frac{-\infty }{c}=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{+\infty }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}>0\right)
\\
-\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&-\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{-\infty }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}>0\right)
\\
+\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。

命題(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を定義する。\(\left\{x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散し、\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束する場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{2n}{2-\frac{1}{n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2n}{2-\frac{1}{n}}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2n\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) }\quad
\because \text{数列の商の極限} \\
&=&\frac{2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }n}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }2-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) } \\
&=&\frac{2\cdot \left( +\infty \right) }{2-0} \\
&=&\frac{+\infty }{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(商の法則が要求する条件の吟味)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ状況において数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を定義します。\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた有限な実数へ収束することは本文中で示した通りです。そこで、数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が有限な実数へ収束しない場合には、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた有限な実数へ収束しない事態が起こり得ることを示してください。
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問題(商の法則が要求する条件の吟味)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ状況において数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を定義します。\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた有限な実数へ収束することは本文中で示した通りです。その一方で、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)が有限な実数へ収束する一方で数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が有限な実数へ収束しない事態が起こり得ることを示してください。
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