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SEQUENCE OF NUMBERS

数列の商の極限

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収束する数列どうしの商の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、任意の\(n\)について\(y_{n}\not=0\)が成り立つ場合、\begin{equation*}\frac{x_{n}}{y_{n}}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するとともに\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限が\(0\)ではない場合には\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束する数列どうしの商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を定義する。\(\left\{x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束するとともに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}という関係が成立する。

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つまり、収束する数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)の商の形をしている数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限の商をとれば\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの数列どうしの商の形をしている数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する数列どうしの商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}}\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{2}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{3}{n}-\frac{4}{n^{2}}\right) }\quad \because \text{収束する数列の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{2}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}1+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2}{n}\right) }\quad \because
\text{収束する数列の和・差の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+2\cdot
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+3\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty
}\left( \frac{1}{n}\right) -2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{n}\right) }\quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1+2\cdot 0}{1+3\cdot 0-2\cdot 0}\quad \because \left( 1\right)
\text{および定数数列の極限} \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの商の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{equation*}\frac{+\infty }{+\infty },\quad \frac{+\infty }{\infty },\quad \frac{+\infty
}{+\infty },\quad \frac{+\infty }{+\infty }
\end{equation*}などとなりますが、これらは不定形だからです。ただ、このような場合においても、数列の商が有限な実数へ収束しないとは限りません。数列の極限の商が不定形である場合でも、その数列の一般項を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。以下に1つだけ例を挙げますが、詳細は場を改めて解説します。

例(発散する数列どうしの商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{3-8n}{n+2}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{3-8n\right\} \)は負の無限大\(-\infty \)へ発散し、数列\(\left\{ n+2\right\} \)は正の無限大\(+\infty \)へ発散するためこれは不定形です。ただ、\(\left\{x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation}x_{n}=\frac{\frac{3}{n}-8}{1+\frac{2}{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}と変形してから極限をとることにより、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{3}{n}-8}{1+\frac{2}{n}}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n}-8\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{2}{n}\right) }\quad
\because \text{収束する数列の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{3}{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }8}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}1+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2}{n}\right) }\quad
\because \text{収束する数列の和・差の極限} \\
&=&\frac{3\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }8}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}1+2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) }\quad
\because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{3\cdot 0-8}{1+2\cdot 0}\quad \because \lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0\text{および定数数列の極限} \\
&=&\frac{-8}{1} \\
&=&-8
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することを確認できます。

 

収束する数列と発散する数列の商の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数に収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散する場合にも、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} :\frac{c}{+\infty }=\frac{c}{-\infty }=0
\end{equation*}が前提になっています。

命題(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を定義する。\(\left\{x_{n}\right\} \)が有限な実数に収束し、\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{2-\frac{1}{n}}{2n}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2-\frac{1}{n}}{2n}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2n\right) } \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }2-\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right) }{2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty
}n} \\
&=&\frac{2-0}{2\cdot \left( +\infty \right) } \\
&=&\frac{2}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(0\)とは異なる有限な実数へ発散する場合にも数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\forall c &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\frac{+\infty }{c}=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
\forall c &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\frac{-\infty }{c}=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つ場合にはそこから数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を定義する。\(\left\{x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散し、\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{2n}{2-\frac{1}{n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2n}{2-\frac{1}{n}}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2n\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) } \\
&=&\frac{2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }n}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }2-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) } \\
&=&\frac{2\cdot \left( +\infty \right) }{2-0} \\
&=&\frac{+\infty }{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。

次回は数列の極限に関するはさみうちの定理などについて解説します。

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