数列の商の極限

2つの数列が収束するとき、それらの一般項の商を一般項とする数列もまた収束します。また、2つの数列のどちらか一方が正の無限大や負の無限大に発散し、他方が収束する場合にも、それらの商の間に同様の関係が成り立ちます。
数列 定数倍
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収束する数列どうしの商の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、任意の番号\(n\)について\(y_{n}\not=0\)が成り立つ場合、先の2つの数列の一般項の商\(\frac{x_{n}}{y_{n}}\)を一般項とする新たな数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)を構成できます。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束するとともに\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限が\(0\)でない場合には数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

補題として、任意の番号\(n\)について\(y_{n}\not=0\)を満たす数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(0\)とは異なる実数へ収束するとき、数列\(\left\{ \frac{1}{y_{n}}\right\} \)もまた収束列であり、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{y_{n}}\right) =\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}
\end{equation*}が成り立つことを示します。数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限に相当する実数を\(\beta \not=0\)で表します。このとき\(\frac{\left\vert \beta \right\vert }{2}>0\)が成り立つため、\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(\beta \)へ収束することから、\begin{equation}
\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert y_{n}-\beta \right\vert <\frac{\left\vert \beta \right\vert }{2}\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。このとき、\(n\geq N_{1}\)を満たす任意の\(n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \beta \right\vert &=&\left\vert y_{n}-\left( y_{n}-\beta \right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert y_{n}\right\vert +\left\vert -\left( y_{n}-\beta \right)
\right\vert \\
&=&\left\vert y_{n}\right\vert +\left\vert y_{n}-\beta \right\vert \\
&<&\left\vert y_{n}\right\vert +\frac{\left\vert \beta \right\vert }{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow \frac{\left\vert \beta \right\vert }{2}<\left\vert y_{n}\right\vert \right) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。さらに\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき\(\frac{\left\vert \beta \right\vert ^{2}}{2}\varepsilon >0\)が成り立つため、やはり\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(\beta \)へ収束することから、\begin{equation}
\exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow \left\vert y_{n}-\beta \right\vert <\frac{\left\vert \beta \right\vert ^{2}}{2}\varepsilon \right) \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{\beta }\right\vert &=&\left\vert \frac{\beta -y_{n}}{y_{n}\cdot \beta }\right\vert \\
&=&\frac{\left\vert y_{n}-\beta \right\vert }{\left\vert y_{n}\right\vert
\cdot \left\vert \beta \right\vert } \\
&<&\frac{1}{\frac{\left\vert \beta \right\vert }{2}\cdot \left\vert \beta
\right\vert }\cdot \frac{\left\vert \beta \right\vert ^{2}}{2}\varepsilon
\quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{y_{n}}-\frac{1}{\beta }\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ \frac{1}{y_{n}}\right\} \)は極限\(\frac{1}{\beta }\)すなわち\(\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}\)へ収束することが明らかになりました。以上で補題の証明が完了です。

以上を踏まえた上で、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限について考えます。この数列の一般項は、\begin{equation*}
\frac{x_{n}}{y_{n}}=x_{n}\cdot \frac{1}{y_{n}}
\end{equation*}と変形できますが、仮定より数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束し、補題より数列\(\left\{ \frac{1}{y_{n}}\right\} \)は収束するため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot \frac{1}{y_{n}}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{y_{n}}\right) \quad \because \text{収束する数列の積の極限} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }y_{n}}\quad \because \text{補題}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

命題(収束する数列どうしの商の極限)
収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\not=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\not=0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が収束することが分かっている場合には、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)が収束することを収束数列の定義にもとづいてわざわざ証明する必要はありません。しかも、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\}\)の極限を得るためには\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限の商をとればよいということです。

例(収束する数列どうしの商の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束列であり、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となります(確認してください)。また、一般項が\(y_{n}=\frac{n+2}{n}\)として与えられる数列\(\{y_{n}\}\)の任意の項は非ゼロであると同時に、これは収束列であり、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=1 \tag{2}
\end{equation}となります(確認してください)。すると、先の命題より数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}\quad \because \text{収束数列の商の極限} \\
&=&\frac{2}{1}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。続いて、数列\(\left\{ \frac{2x_{n}y_{n}-x_{n}}{y_{n}}\right\} \)について考えます。仮定より数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)はともに収束するため、収束する数列どうしの積や差もまた収束することを踏まえると、数列\(\left\{ 2x_{n}y_{n}-x_{n}\right\} \)もまた収束します。すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2x_{n}y_{n}-x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}y_{n}-x_{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}\quad \therefore \text{収束数列の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}y_{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}\quad \therefore \text{収束数列の差の極限} \\
&=&\frac{2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right)
-\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}\quad \because \text{収束数列の定数倍の極限} \\
&=&\frac{2\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot
\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}}\quad \because \text{収束数列の積の極限} \\
&=&\frac{2\cdot 2\cdot 1-2}{1} \\
&=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

発散する数列どうしの商の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \tag{1}
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{equation*}
\frac{+\infty }{+\infty },\quad \frac{+\infty }{\infty },\quad \frac{+\infty
}{+\infty },\quad \frac{+\infty }{+\infty }
\end{equation*}の中のいずれかになりますが、これらは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)において不定形とみなされ定義不可能だからです。数列の極限の商が不定形になる場合の対処方法については、場を改めて解説します。

 

収束する数列と発散する数列の商の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数に収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、任意の実数\(c\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
\frac{c}{+\infty }=\frac{c}{-\infty }=0
\end{equation*}という関係が成り立つことが前提になっています。

証明は以下の通りです。まずは数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数\(\alpha \)に収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(\infty \)へ発散する場合です。補題として、この場合、数列\(\left\{ \frac{1}{y_{n}}\right\} \)が\(0\)へ収束することを示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと\(\frac{1}{\varepsilon }>0\)が成り立ちます。すると、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(\infty \)へ発散することから、\begin{equation}
\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow y_{n}>\frac{1}{\varepsilon }\right) \tag{2}
\end{equation}を得ます。このとき、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)について、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{y_{n}}\right\vert &=&\frac{1}{y_{n}}\quad \because
\left( 1\right) \\
&<&\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon }}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となります。以上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{y_{n}}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ \frac{1}{y_{n}}\right\} \)は極限\(0\)へ収束することが明らかになりました。以上で補題の証明が完了です。以上を踏まえると、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x_{n}}{y_{n}} &=&\lim_{n\rightarrow \infty
}x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{y_{n}}\right) \\
&=&\alpha \cdot 0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数に収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が負の無限大に発散する場合の証明は演習問題にします。

命題(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が実数に収束し、\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散するならば、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\}\)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}を満たす。
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例(収束する数列と発散する数列の商の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となり、一般項が\(y_{n}=2n\)で与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。したがって、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \\
&=&\frac{2}{+\infty }\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&0\quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(0\)ではない実数に収束する場合にも、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \tag{1}
\end{equation}という関係は成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、\(0\)とは異なる任意の実数\(c\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&c\cdot \left( +\infty \right) =\left( +\infty \right) \cdot c=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
&&c\cdot \left( -\infty \right) =\left( -\infty \right) \cdot c=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことが前提になっています。

命題(収束する数列と発散する数列の商の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散し、\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(0\)とは異なる実数に収束するならば、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}}
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)

証明は演習問題にします。

例(収束する数列と発散する数列の商の極限)
一般項が\(x_{n}=2n\)として与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \tag{1}
\end{equation}が成り立ち、一般項が\(y_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{y_{n}\}\)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=2 \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。したがって、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) &=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \\
&=&\frac{+\infty }{2}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \frac{1}{2} \\
&=&+\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

数列の商の極限

本節では数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の商に相当する数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限について考えました。その上で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が収束し他方が正の無限大もしくは負の無限大に発散する場合などには、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n}}{y_{n}}\right) =\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty
}y_{n}} \tag{1}
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。ただし、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が正の無限大または負の無限大に発散する場合については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義が前提になっています。

一方、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大または負の無限大に発散する場合には、それらの極限の商\begin{equation*}
\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }y_{n}}
\end{equation*}は不定形になってしまうため、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の極限を求める際に\(\left( 1\right) \)の関係を利用することはできません。不定形の場合の対処方法については、場を改めて解説します。

次回は数列の極限と順序の関係について解説します。

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