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数列の絶対値の極限

目次

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収束する数列の絶対値の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)が定義可能です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束する場合には数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)もまた収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right\vert
\end{equation*}という関係が成立します。

命題(収束する数列の絶対値の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert\right\} \)を定義する。\(\left\{x_{n}\right\} \)が収束するならば\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right\vert
\end{equation*}という関係が成立する。

証明

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つまり、収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の絶対値の形をしている数列\(\left\{\left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限の絶対値をとれば\(\left\{\left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の絶対値の形をしている数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する数列の絶対値の極限)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left\vert \frac{1}{n}-2\right\vert
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。数列\(\left\{ \frac{1}{n}-2\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}-2\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) -\lim_{n\rightarrow
\infty }2\quad \because \text{数列の差の極限} \\
&=&0-2 \\
&=&-2
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert
\frac{1}{n}-2\right\vert \\
&=&\left\vert \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}-2\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert -2\right\vert \\
&=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

絶対値を用いた数列の収束判定(ゼロへの収束判定)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす場合、先の命題より、数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert &=&\left\vert
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\right\vert \quad \because \text{収束する数列の絶対値} \\
&=&\left\vert 0\right\vert \quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。結論を整理すると、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つということです。実は、上の命題の逆\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert =0\Rightarrow
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}もまた成立します。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束することと、数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束することは必要十分です。

命題(絶対値を用いた数列の収束判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert\right\} \)を定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成立する。

証明

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上の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束することと、数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束することを判定する際に、数列\(\left\{\left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)を作った上で、それが\(0\)へ収束することを示しても問題ありません。

例(絶対値を用いた数列の収束判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n}}{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}}{n}\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。

先の命題は数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束するための必要十分条件を与えているため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束しないことを示す上でも有用です。つまり、数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束しない場合には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた\(0\)へ収束しません。

例(絶対値を用いた数列の収束判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}n
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \left( -1\right) ^{n}n\right\vert
\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束しません。

 

絶対値を用いた数列の収束判定(有限な実数への収束判定)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。このとき、数列\(\left\{ x_{n}-a\right\} \)を定義すると、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}-a\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }a \\
&=&a-a\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。つまり、数列\(\left\{ x_{n}-a\right\} \)は\(0\)へ収束するため、先の命題を適用することにより以下を得ます。

命題(収束する数列の絶対値の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから数列\(\left\{ \left\vert x_{n}-a\right\vert \right\} \)を定義する。このとき、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}\left\vert x_{n}-a\right\vert =0
\end{equation*}が成立する。

証明

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上の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数\(a\)へ収束することと、数列\(\left\{ \left\vert x_{n}-a\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)へ収束することを判定する際に、数列\(\left\{ \left\vert x_{n}-a\right\vert \right\} \)を作った上で、それが\(0\)へ収束することを示しても問題ありません。

例(絶対値を用いた数列の収束判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n}}{n}-1
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。数列\(\left\{ \left\vert x_{n}+1\right\vert\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}+1\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}}{n}-1+1\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-1
\end{equation*}が成り立ちます。

先の命題は数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が有限な実数\(a\)へ収束するための必要十分条件を与えているため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(a\)へ収束しないことを示す上でも有用です。つまり、数列\(\left\{\left\vert x_{n}-a\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束しない場合には、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた\(a\)へ収束しません。また、任意の実数\(a\)について\(\left\{ \left\vert x_{n}-a\right\vert \right\} \)が\(0\)へ収束しない場合、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束しません。

例(絶対値を用いた数列の収束判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( -1\right) ^{n}n+1
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について考えます。数列\(\left\{ \left\vert x_{n}-1\right\vert\right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}-1\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \left( -1\right)
^{n}n+1-1\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は\(1\)へ収束しません。

 

演習問題

問題(数列の絶対値の極限)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left\vert 1-\frac{2}{n^{2}}-\frac{3}{n^{3}}\right\vert
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束するでしょうか。議論してください。
証明

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問題(数列の絶対値の極限)
一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{\cos \left( n\pi \right) }{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束するでしょうか。議論してください。
証明

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問題(絶対値を用いた数列の収束判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}\left\vert x_{n}-a\right\vert =0
\end{equation*}が成立することを本文中で示しました。では、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a\Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow \infty
}\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert a\right\vert
\end{equation*}もまた成立するでしょうか。議論してください。

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