単調数列と極限

実数の連続性を特徴づける上限性質や下限性質を公理として認めると、そこから上に有界な単調増加数列や下に有界な単調減少数列が収束することを示すことができます。
有界単調数列の収束定理 実数の連続性
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単調数列の極限

以下の例から分かるように、単調数列の中には収束するものとそうでないものがあります。

例(収束する単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(0\)でないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \dfrac{1}{n}-0\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}
\left\vert \dfrac{1}{n}-0\right\vert & =\dfrac{1}{n}\quad \because n>0 \\
& <\varepsilon
\end{align*}を解くと\(n>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(\left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため証明が完了しました。したがって、この数列は収束する単調数列の例です。
例(収束しない単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=2^{n}
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
x_{n}=2^{n}<2^{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=2^{n}\)は限りなく大きくなるため、この数列は正の無限大へ発散するのでなはいかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R},\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :(n\geq N\Rightarrow 2^{n}>M)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。実数\(M\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{equation*}
2^{n}>M
\end{equation*}を解くと\(n>\frac{\log M}{\log 2}\)を得ます。したがって、\(N>\frac{\log M}{\log 2}\)を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(2^{n}>M\)が成り立つため証明が完了しました。したがって、この数列は発散する単調数列の例です。

 

単調数列が収束するための条件

単調数列の中には収束するものとそうでないものがあることを確認しました。では、単調数列が収束するための条件を何らかの形で特定することはできるのでしょうか。単調増加数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。さらに、この\(\{x_{n}\}\)は上に有界であるものとしましょう。つまり、数列\(\{x_{n}\}\)のすべての項からなる集合\begin{equation}
A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \tag{1}
\end{equation}は上に有界であるということです。この集合\(A\)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合であるため、実数の連続性より、その上限\(\sup A\)に相当する実数が存在します。つまり、\(\sup A\)は数列\(\{x_{n}\}\)の任意の項\(x_{n}\)以上の実数であるとともに(\(\sup A\)は\(A\)の上界)、そのような実数の中でも最小のものです(\(\sup A\)は\(A\)の上界の中でも最小)。単調増加数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界である場合、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は増加し続けますが(もしくは同じ値にとどまる)、その値は実数である\(\sup A\)を超えることはありません。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\sup A\)へと収束しそうです。実際、この主張は正しいです。証明は以下の通りです。

上限の定義より\(\sup A\)は\(A\)の上界の中でも最小の実数であるため、\(\sup A\)よりも小さい任意の実数は\(A\)の上界ではありません。つまり、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists n_{1}\in \mathbb{N} :\sup A-\varepsilon <x_{n_{1}}
\end{equation*}が成り立ちます。また、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加であることから、上の番号\(n_{1}\)に対して、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq n_{1}\Rightarrow \sup A-\varepsilon <x_{n}\right) \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。さらに、\(\sup A\)は\(A\)の上界であることから、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq \sup A
\end{equation*}を得ます。すると任意の\(\varepsilon >0\)について、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq \sup A+\varepsilon \tag{3}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\(n\geq n_{1}\)を満たす任意の番号\(n\)について、\begin{equation*}
\sup A-\varepsilon <x_{n}<\sup A+\varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert x_{n}-\sup A\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は極限\(\sup A\)へ収束することが明らかになりました。

命題(上に有界な単調増加数列は収束する)
上に有界な単調増加数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する。さらにその極限は、\begin{equation*}
\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と一致する。
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例(上に有界な単調増加数列は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=1-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
x_{n}=1-\frac{1}{n}<1-\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。さらに、任意の番号\(n\)について、\begin{equation}
x_{n}=1-\frac{1}{n}\leq 1 \tag{1}
\end{equation}が成り立つため、この数列は上に有界です。したがって、上の命題より、この数列は収束するとともに、その極限は以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x_{n}\in
\mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ 1-\frac{1}{n}\in
\mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{eqnarray*}の上限\(\sup A\)に相当する実数です。明らかに\(\sup A=1\)ですが、その証明は演習問題にします。

下に有界な単調減少数列についても同様のことが成り立ちます。つまり、単調減少数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation*}
A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が下に有界であるとき、この集合\(A\)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合であるため、実数の連続性より、その下限\(\inf A\)に相当する実数が存在するとともに、この数列は\(\inf A\)へと収束します(証明は演習問題にします)。

命題(下に有界な単調減少数列は収束する)
下に有界な単調減少数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束する。さらにその極限は、\begin{equation*}
\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と一致する。
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例(下に有界な単調減少数列は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少です。さらに、任意の番号\(n\)について、\begin{equation}
x_{n}=\frac{1}{n}\geq 0 \tag{1}
\end{equation}が成り立つため、この数列は下に有界です。したがって、上の命題より、この数列は収束するとともに、その極限は以下の集合\begin{eqnarray*}
A &=&\left\{ x_{n}\in
\mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{n}\in
\mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{eqnarray*}の下限\(\inf A\)に相当する実数です。明らかに\(\inf A=0\)ですが、その証明は演習問題にします。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

命題(有界単調数列の収束定理)
有界な単調数列は収束する。

 

有界単調数列と実数の連続性

復習になりますが、実数の公理系とは、\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理に分類されます。特に、実数の連続性を特徴づける公理としてデデキントの公理を採用しましたが、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質とデデキントの公理は必要十分になります。また、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質と下限性質は必要十分であるため、下限性質とデデキントの公理もまた必要十分になります。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の3つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質}
\end{eqnarray*}

上の命題より、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理としては、デデキントの公理、上限性質、そして下限性質の中のどれを採用しても問題ないことになります。加えて、連続性の公理は数列を使って表現することも可能です。先に示したように、上限性質を公理として認めるとき、上に有界な単調増加数列が収束することが証明可能です。実は、それとは逆に、上に有界な単調増加数列が収束することを公理として認めたとき、そこから上限性質を示すことができます。証明のスケッチは以下の通りです。

上に有界な\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。上に有界な単調増加数列が収束することを仮定した上で、先の集合の上限\(\sup A\)が存在することを示すことが目標です。まずは\(\sup A\)の候補を絞ります。\(A\)のすべての上界からなる集合を\(U\left( A\right) \)で表します。仮定より\(A\)は上に有界であるため\(U\left( A\right) \not=\phi \)です。そこで、\(a_{1}\in A\)と\(b_{1}\in U\left( A\right) \)をそれぞれ任意に選んだ上で、以下のルール\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \frac{a_{1}+b_{1}}{2} &\in &U(A) \Rightarrow a_{2}=a_{1},\ b_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2} \\
\left( b\right) \ \frac{a_{1}+b_{1}}{2} &\not\in &U(A) \Rightarrow a_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2},\ b_{2}=b_{1}
\end{eqnarray*}のもとで\(a_{2}\)と\(b_{2}\)を選びます。いずれの場合にも\(a_{2}\in A\)かつ\(b_{2}\in U\left( A\right) \)が成り立つとともに、\(a_{1}\leq a_{2}\)かつ\(b_{2}\leq b_{1}\)もまた成り立ちます(確認してください)。上と同様のルールにより、すなわち、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \frac{a_{2}+b_{2}}{2} &\in &U(A) \Rightarrow a_{3}=a_{2},\ b_{3}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2} \\
\left( b\right) \ \frac{a_{2}+b_{2}}{2} &\not\in &U(A) \Rightarrow a_{3}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2},\ b_{3}=b_{2}
\end{eqnarray*}というルールのもとで\(a_{3}\)と\(b_{3}\)を選んだとき、いずれの場合にも\(a_{3}\in A\)かつ\(b_{3}\in U\left( A\right) \)が成り立つとともに、\(a_{2}\leq a_{3}\)かつ\(b_{3}\leq b_{2}\)もまた成り立ちます。同様のプロセスを繰り返すことにより2つの数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)と\(\left\{ b_{n}\right\} \)を得ます。ただし、\(\left\{ a_{n}\right\} \)はそのすべての項が\(A\)の要素であるような単調増加数列であり、\(\left\{ b_{n}\right\} \)はすべての項が\(U\left( A\right) \)の要素で単調減少数列です。また、明らかに\(\left\{ a_{n}\right\} \)は上に有界であり、\(\left\{ b_{n}\right\} \)は下に有界であるため、仮定より\(\left\{ a_{n}\right\} \)は\(\sup \left\{ a_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \)へ収束し、\(\left\{ b_{n}\right\} \)は\(\inf \left\{ b_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \)へ収束します。さらに、任意の番号\(n,m\)について\(a_{n}\leq b_{m}\)が成り立つため、その収束先についても、\begin{equation*}
\sup \left\{ a_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \leq \inf \left\{ b_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が成り立ちます。上の不等式が狭義の不等号\(<\)で成立するものと仮定すると矛盾が導かれるため(確認してください)、上の不等式は等号で成立します。そこで、\begin{equation*}
\alpha =\sup \left\{ a_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\} =\inf \left\{ b_{n}\ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}とおきます。この\(\alpha \)こそが先の集合\(A\)の上限であるため(確認してください)、目標は達成されました。

命題(上限性質の言い換え)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、上に有界な単調増加数列が収束することと上限性質は必要十分である。
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下に有界な単調減少数列が収束することと下限性質の間にも同様の関係が成り立ちます(演習問題にします)。

命題(下限性質の言い換え)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、下に有界な単調減少数列が収束することと下限性質は必要十分である。
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以上の諸命題より、実数の連続性は以下の様な様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の5つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理}
\end{eqnarray*}

次回から区間列について学びます。

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