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SEQUENCE OF NUMBERS

有界単調数列の収束定理

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単調数列が収束するための条件

以下の例から分かるように、単調数列の中には収束するものとそうでないものがあります。

例(収束する単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(0\)でないかと予想できます。実際、これは正しい予想です(演習問題にします)。つまり、これは単調かつ収束する数列の例です。
例(収束しない単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=2^{n}<2^{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=2^{n}\)は限りなく大きくなるため、この数列は正の無限大へ発散するのでなはいかと予想できます。実際、これは正しい予想です(演習問題にします)。つまり、これは単調かつ発散する収束の例です。

単調数列の中には有限な実数へ収束するものと収束しないものの双方が存在することを確認しました。では、単調数列が収束するための条件を特定することはできるのでしょうか。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調増加かつ上に有界であるものとします。ただし、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界であることとは、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は上に有界であることを意味します。すると実数の連続性より上限\(\sup A\)に相当する実数が存在します。つまり、\(\sup A\)は数列\(\{x_{n}\}\)の任意の項\(x_{n}\)以上の実数であるとともに(\(\sup A\)は\(A\)の上界)、そのような実数の中でも最小のものです(\(\sup A\)は\(A\)の上界の中でも最小)。単調増加数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界である場合、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は増加し続けますが(もしくは同じ値にとどまる)、先の理由により\(x_{n}\)が\(\sup A\)を超えることはありません。したがってこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\sup A\)へと収束するのではないかと予想できますが、これは正しい予想です(演習問題にします)。

命題(上に有界な単調増加数列は収束する)
上に有界な単調増加数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束し、さらにその極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となる。

証明

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例(上に有界な単調増加数列は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=1-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=1-\frac{1}{n}<1-\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加であり、したがって単調増加でもあります。さらに、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation}x_{n}=1-\frac{1}{n}\leq 1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、この数列は上に有界です。すると上の命題よりこの数列は収束します。ちなみに極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1
\end{equation*}となります(演習問題にします)。

下に有界な単調減少数列についても同様の主張が成り立ちます。つまり、単調減少数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が下に有界であるとき、実数の連続性より、その下限\(\inf A\)に相当する実数が存在するとともに、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\inf A\)へと収束します。

命題(下に有界な単調減少数列は収束する)
下に有界な単調減少数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束し、さらにその極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と一致する。

証明

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例(下に有界な単調減少数列は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少であり、したがって単調減少でもあります。さらに、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation}x_{n}=\frac{1}{n}\geq 0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、この数列は下に有界です。すると上の命題より、この数列は収束します。ちなみに極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}となります(演習問題にします)。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

命題(有界単調数列の収束定理)
有界な単調数列は収束する。

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演習問題

問題(収束する単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は単調数列であるとともに収束することを証明してください。

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問題(発散する単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は単調数列であるとともに発散することを証明してください。

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問題(上限)
\(\mathbb{R} \)の部分集合が、\begin{equation*}A=\left\{ 1-\frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているとき、\begin{equation*}
\sup A=1
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(下限)
\(\mathbb{R} \)の部分集合が、\begin{equation*}A=\left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}として与えられているとき、\begin{equation*}
\inf A=0
\end{equation*}であることを示してください。

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次回は有界単調数列の収束定理は実数の連続性の公理と必要十分であることを示します。

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