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数列

有界単調数列の収束定理(上に有界な単調増加列の収束定理・下に有界な単調減少列の収束定理)

目次

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単調数列は収束するとは限らない

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加であることは以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを意味し、単調減少であることは以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。単調増加数列と単調減少数列を総称して単調数列と呼びます。

単調数列の中には収束するものとそうでないものがあります。以下の例より明らかです。

例(収束する単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(0\)でないかと予想できます。実際、これは正しい予想です(演習問題)。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ちます。これは単調かつ収束する数列の例です。

例(収束しない単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=2^{n}<2^{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(2^{n}\)は限りなく大きくなるため、この数列は正の無限大へ発散するのでなはいかと予想できます。実際、これは正しい予想です(演習問題)。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。これは単調かつ発散する収束の例です。

 

上に有界な単調増加数列は収束する

単調数列の中には有限な実数へ収束するものと収束しないものの双方が存在することを確認しました。では、単調数列が収束するための条件を特定することはできるのでしょうか。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加かつ上に有界であるものとします。ただし、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加であることとは、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを意味し、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界であることとは、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が上に有界であることを意味します。すると実数の連続性より上限\(\sup A\)に相当する実数が存在することが保証されます。つまり、\(\sup A\)は数列\(\{x_{n}\}\)の任意の項\(x_{n}\)以上の実数であるとともに(\(\sup A\)は\(A\)の上界)、そのような実数の中でも最小のものです(\(\sup A\)は\(A\)の上界の中でも最小)。単調増加数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界である場合、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は増加し続けますが(もしくは同じ値にとどまる)、先の理由により\(x_{n}\)が\(\sup A\)を超えることはありません。したがってこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\sup A\)へと収束するのではないかと予想できますが、これは正しい予想です(演習問題)。

命題(上に有界な単調増加数列の収束定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界かつ単調増加であるならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となる。

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例(上に有界な単調増加数列は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=1-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{n}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、この数列は有限な実数へ収束することが明らかになりました。同じことを先の命題を利用して確認します。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&1-\frac{1}{n}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&<&1-\frac{1}{n+1}\quad \because n\in \mathbb{N} \\
&=&x_{n+1}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加であり、したがって単調増加でもあります。さらに、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=1-\frac{1}{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この数列は上に有界です。したがって先の命題より、やはりこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束します。ちなみに極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1
\end{equation*}であるため、先の命題より、この数列のすべての項からなる集合の上限は、\begin{equation*}
\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} =1
\end{equation*}となります。

上に有界な単調増加数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束することが明らかになりました。加えて、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}を満たします。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合が上限を持つ場合、それは1つの実数として定まります。したがって、以上の事実は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項からなる集合の上限\begin{equation*}\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}を特定する上でも有用です。

例(実数集合の上限を特定する方法)
以下の集合\begin{equation*}
\left\{ 1-\frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}の上限を特定します。数列\(\left\{ 1-\frac{1}{n}\right\} \)は上に有界な単調増加列であるとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{n}\right) =1
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\sup \left\{ 1-\frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{n}\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。

有限な実数へ収束する数列は有界です。以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(単調増加数列が収束するための必要十分条件)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調増加数列であるものとする。このとき、\(\left\{x_{n}\right\} \)が上に有界であることと、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することは必要十分である。さらに、\(\left\{x_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と定まる。

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狭義単調増加数列は単調増加数列であるため、上の命題より以下を得ます。

命題(狭義単調増加数列が収束するための必要十分条件)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が狭義単調増加数列であるものとする。このとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界であることと、\(\left\{x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することは必要十分である。さらに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と定まる。

 

下に有界な単調減少数列は収束する

下に有界な単調減少数列についても同様の主張が成り立ちます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少かつ下に有界であるものとします。ただし、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少であることとは、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つことを意味し、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が下に有界であることとは、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が下に有界であることを意味します。すると実数の連続性より下限\(\inf A\)に相当する実数が存在することが保証されます。つまり、\(\inf A\)は数列\(\{x_{n}\}\)の任意の項\(x_{n}\)以下の実数であるとともに(\(\inf A\)は\(A\)の下界)、そのような実数の中でも最大のものです(\(\inf A\)は\(A\)の下界の中でも最大)。単調減少数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が下に有界である場合、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は減少し続けますが(もしくは同じ値にとどまる)、先の理由により\(x_{n}\)が\(\inf A\)を下回ることはありません。したがってこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\inf A\)へと収束するのではないかと予想できますが、これは正しい予想です(演習問題)。

命題(下に有界な単調減少数列の収束定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が下に有界かつ単調減少であるならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束するとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}となる。

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例(下に有界な単調減少数列は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、この数列は有限な実数へ収束することが明らかになりました。同じことを先の命題を利用して確認します。任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少であり、したがって単調減少でもあります。さらに、任意の番号\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つため、この数列は下に有界です。したがって先の命題より、やはりこの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束します。ちなみに極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}であるため、先の命題より、この数列のすべての項からなる集合の下限は、\begin{equation*}
\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} =0
\end{equation*}となります。

下に有界な単調減少数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束することが明らかになりました。加えて、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}を満たします。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合が下限を持つ場合、それは1つの実数として定まります。したがって、以上の事実は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項からなる集合の下限\begin{equation*}\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}を特定する上でも有用です。

例(実数集合の下限を特定する)
以下の集合\begin{equation*}
\left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}の下限を特定します。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)は下に有界な単調減少列であるとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0
\end{equation*}であるため、先の命題より、\begin{eqnarray*}
\inf \left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。

有限な実数へ収束する数列は有界です。以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(単調減少数列が収束するための必要十分条件)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少数列であるものとする。このとき、\(\left\{x_{n}\right\} \)が下に有界であることと、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することは必要十分である。さらに、\(\left\{x_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と定まる。

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狭義単調減少数列は単調減少数列であるため、上の命題より以下を得ます。

命題(狭義単調減少数列が収束するための必要十分条件)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が狭義単調減少数列であるものとする。このとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が下に有界であることと、\(\left\{x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することは必要十分である。さらに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と定まる。

 

有界単調数列の収束定理

上に有界な単調増加数列と、下に有界な単調増加数列はともに有限な実数へ収束することが明らかになりました。したがって以下を得ます。

命題(有界単調数列の収束定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界かつ単調数列であるならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束する。
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例(有界単調数列の収束定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\(0\leq r\leq 1\)を満たす定数\(r\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=r^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(\left\vert r^{n}\right\vert \leq 1\)すなわち\(\left\vert x_{n}\right\vert \leq 1\)が成り立つため\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界です。また、\(r=0,1\)の場合に\(\left\{ x_{n}\right\} \)は定数数列となります。定数数列は単調数列です。また、\(0<r<1\)の場合に\(\left\{ x_{n}\right\} \)は狭義単調減少数列です。狭義単調減少数列は単調数列です。したがって、\(r\)の値によらず\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界な単調数列であるため、先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束します。具体的には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ r=1\right) \\
0 & \left( if\ 0<r<1\right) \\
0 & \left( if\ r=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります(演習問題)。

有限な実数へ収束する数列は有界です。以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。

命題(単調数列が収束するための必要十分条件)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調数列であるものとする。このとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であることと、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することは必要十分である。
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この命題は単調数列が有限な実数へ収束するための必要十分条件を与えているため、単調数列が有限な実数へ収束しないことを判定する際にも有用です。つまり、単調数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{x_{n}\right\} \)が有界ではないこと(上に有界ではないか、下に有界ではないか、その少なくとも一方が成り立つ)と、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束しないことは必要十分です。

例(単調数列が収束しないことの判定)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は単調増加であるとともに上に有界ではないため、先の命題より、この数列は有限な実数へ収束しません。実際、この数列は正の無限大へ発散します(演習問題)。

 

演習問題

問題(収束の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列が有限な実数へ収束することを、上に有界な単調増加数列の収束定理を用いて示してください。

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問題(発散する単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は単調数列であるとともに正の無限大へ発散することを証明してください。

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問題(有界単調数列の収束定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\(0\leq r\leq 1\)を満たす定数\(r\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=r^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。\(r\)としてどのような値を採用した場合においても\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束することを示すとともに、その極限を具体的に求めてください。
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問題(有界単調数列の収束定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下のように再帰的に定義されているものとします。\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=0 \\
x_{n+1}=\frac{1}{4}\left( x_{n}+1\right) \quad \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}この数列が有限な実数へ収束することを、上に有界な単調増加数列の収束定理を用いて示してください。さらに、極限を求めてください。

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