単調数列と収束数列

実数の連続性を特徴づける上限性質や下限性質を公理として認めると、そこから上に有界な単調増加数列や下に有界な単調減少数列が収束することを示すことができます。

有界単調数列の収束定理 実数の連続性

単調数列の極限

以下の例から分かるように、一般に、単調数列の中には収束するものとそうでないものがあります。

例(収束する単調数列)
一般項が\(x_{n}=\frac{1}{n}\)で与えられる数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は単調減少数列です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(0\)でないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \dfrac{1}{n}-0\right\vert
<\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つことを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}
\left\vert \dfrac{1}{n}-0\right\vert & =\dfrac{1}{n}\quad \because n>0 \\
& <\varepsilon \end{align*}を解くと\(n>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(\left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\)が成り立つことが示されました。したがって、この\(\{x_{n}\}\)は収束する単調数列の例です。
例(収束しない単調数列)
一般項が\(x_{n}=2^{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=2^{n}<2^{n+1}=x_{n+1} \end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=2^{n}\)は限りなく大きくなるため、この数列は正の無限大へ発散するのでなはいかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*} \forall M\in \mathbb{R},\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:(n\geq N\Rightarrow 2^{n}>M)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。実数\(M\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{equation*}
2^{n}>M
\end{equation*}を解くと\(n>\frac{\log M}{\log 2}\)を得ます。したがって、\(N>\frac{\log M}{\log 2}\)を満たす\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(2^{n}>M\)が成り立つため、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \)が成り立つことが示されました。したがって、この\(\{x_{n}\}\)は発散する単調数列の例です。

 

単調数列が収束するための条件

単調数列の中には収束するものとそうでないものがあることを確認しました。では、単調数列が収束するための条件を何らかの形で特定することはできるのでしょうか。

まずは、単調数列の中でも単調増加数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。さらに、この\(\{x_{n}\}\)は上に有界であるものとしましょう。つまり、\(\{x_{n}\}\)のすべての項からなる集合を、\begin{equation}
A=\{x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N}\} \tag{1}
\end{equation}で表すと、この集合\(A\)は上に有界であるということです。この集合\(A\)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合であるため、実数の連続性より、その上限\(\sup A\in \mathbb{R}\)が存在します。つまり、\(\sup A\)は数列\(\{x_{n}\}\)の任意の項\(x_{n}\)以上の実数であるとともに(\(\sup A\)は\(A\)の上界)、そのような実数の中でも最小のものです(\(\sup A\)は\(A\)の上界の最小値)。

つまり、単調増加数列\(\{x_{n}\}\)が上に有界である場合には、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)は増加し続けますが(もしくは同じ値に留まる)、その値は実数である\(\sup A\)を超えることはありません。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)は\(\sup A\)へと収束しそうです。実際、この主張が正しいことが証明されます。

上限について復習する 実数の連続性について復習する
命題(上に有界な単調増加数列は収束する)
上に有界な単調増加数列\(\{x_{n}\}\)は収束する。さらにその極限は\begin{equation*}
\sup \{x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N}\}
\end{equation*}と一致する。
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例(上に有界な単調増加数列)
一般項が\(x_{n}=1-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=1-\frac{1}{n}<1-\frac{1}{n+1}=x_{n+1} \end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は単調増加数列です。さらに、任意の番号\(n\)について、\begin{equation} x_{n}=1-\frac{1}{n}\leq 1 \tag{1} \end{equation}が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は上に有界です。したがって、上の命題より、\(\{x_{n}\}\)は収束するはずです。さらにその極限は、集合\begin{eqnarray*} A &=&\{x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N}\} \\ &=&\left\{ 1-\frac{1}{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N}\right\} \end{eqnarray*}の上限\(\sup A\)になるはずです。明らかに\(\sup A=1\)ですが、念のためにそのことを証明します。まず、\(\left( 1\right) \)より\(1\)は集合\(A\)の上界です。さらに、\(1\)より小さい実数を任意に選んだ上で、それを\(\varepsilon >0\)を用いて\(1-\varepsilon \)と表現すると、それに対して、\begin{equation*}
1-\varepsilon <1-\frac{1}{n}=x_{n} \end{equation*}を満たす番号\(n\)が必ず存在するため、\(1-\varepsilon \)は\(A\)の上界ではありません。したがって\(1\)が\(A\)の上界の最小値、すなわち\(\sup A\)であることが示されました。最後に、この数列\(\{x_{n}\}\)が\(\sup A=1\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*} \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \left( 1-\frac{1}{n}\right)
-1\right\vert <\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つことを確認します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}
\left\vert \left( 1-\frac{1}{n}\right) -1\right\vert & =\left\vert -\frac{1}{n}\right\vert \\
& =\dfrac{1}{n}\quad \because n>0 \\
& <\varepsilon \end{align*}を解くと\(n>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(\left\vert \left( 1-\frac{1}{n}\right) -1\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=1\)が成り立つことが示されました。これらの結果はすべて先の命題の主張と整合的です。

下に有界な単調減少数列についても同様のことが成り立ちます。そこで、下に有界な単調減少数列\(\{x_{n}\}\)について、そのすべての項からなる集合を、\begin{equation} A=\{x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N}\} \tag{1} \end{equation}で表します。この集合\(A\)は\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合であるため、実数の連続性より、その下限\(\inf A\in \mathbb{R}\)が存在します。つまり、\(\inf A\)は数列\(\{x_{n}\}\)の任意の項\(x_{n}\)以下の実数であるとともに(\(\inf A\)は\(A\)の下界)、そのような実数の中でも最大のものです(\(\inf A\)は\(A\)の下界の最大値)。 つまり、単調減少数列\(\{x_{n}\}\)が下に有界である場合には、\(n\)が大きくなるにつれて項\(x_{n}\)は減少し続けますが(もしくは同じ値に留まる)、その値は実数である\(\inf A\)を下回ることはありません。したがって、この数列\(\{x_{n}\}\)は\(\inf A\)へと収束しそうです。実際、この主張が正しいことが証明されます。

下限について復習する 実数の連続性について復習する
命題(下に有界な単調減少数列は収束する)
下に有界な単調減少数列\(\{x_{n}\}\)は収束する。さらにその極限は\begin{equation*} \inf \{x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N}\} \end{equation*}と一致する。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(下に有界な単調減少数列)
一般項が\(x_{n}=\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*} x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\{x_{n}\}\)は単調減少数列です。さらに、任意の番号\(n\)について、\begin{equation}
x_{n}=\frac{1}{n}\geq 0 \tag{1}
\end{equation}が成り立つため、\(\{x_{n}\}\)は下に有界です。したがって、上の命題より、\(\{x_{n}\}\)は収束するはずです。さらにその極限は、集合\begin{eqnarray*}
A &=&\{x_{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N}\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R}\ |\ n\in \mathbb{N}\right\}
\end{eqnarray*}の下限\(\inf A\)になるはずです。明らかに\(\inf A=0\)ですが、念のためにそのことを証明します。まず、\(\left( 1\right) \)より\(0\)は集合\(A\)の下界です。さらに、\(0\)より大きい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation*}
\varepsilon >\frac{1}{n}=x_{n}
\end{equation*}を満たす番号\(n\)が必ず存在するため、\(\varepsilon \)は\(A\)の下界ではありません。したがって\(0\)が\(A\)の下界の最小値、すなわち\(\inf A\)であることが示されました。最後に、この数列\(\{x_{n}\}\)が\(\inf A=0\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert
<\varepsilon \right) \end{equation*}が成り立つことを確認します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}
\left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert & =\left\vert \frac{1}{n}\right\vert \\
& =\dfrac{1}{n}\quad \because n>0 \\
& <\varepsilon \end{align*}を解くと\(n>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(\left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\)が成り立つことが示されました。これらの結果はすべて先の命題の主張と整合的です。

以上の 2 つの命題を踏まえると、以下が得られます。

系(有界単調数列の収束定理)
有界な単調数列\(\{x_{n}\}\)は収束する。

次回は単調数列と連続性の関係に関する議論を深めます。
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