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PROPOSITIONAL LOGIC

有界単調数列の収束定理

単調数列の極限

以下の例から分かるように、単調数列の中には収束するものとそうでないものがあります。

例(収束する単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=\frac{1}{n}\)は限りなく小さくなるため、この数列の極限は\(0\)でないかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:\left( n\geq N\ \Rightarrow \ \left\vert \dfrac{1}{n}-0\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{align*}
\left\vert \dfrac{1}{n}-0\right\vert & =\dfrac{1}{n}\quad \because n>0 \\
& <\varepsilon
\end{align*}を解くと\(n>\frac{1}{\varepsilon }\)を得ます。したがって、\(N>\frac{1}{\varepsilon }\)を満たす番号\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(\left\vert \frac{1}{n}-0\right\vert <\varepsilon \)が成り立つため証明が完了しました。したがって、この数列は収束する単調数列の例です。
例(収束しない単調数列)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=2^{n}
\end{equation*}として与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=2^{n}<2^{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。また、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}=2^{n}\)は限りなく大きくなるため、この数列は正の無限大へ発散するのでなはいかと予想できます。そこで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \)が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall n\in \mathbb{N}:(n\geq N\Rightarrow 2^{n}>M)
\end{equation*}が成り立つことを証明します。実数\(M\)を任意に選びます。以下の不等式\begin{equation*}
2^{n}>M
\end{equation*}を解くと\(n>\frac{\log M}{\log 2}\)を得ます。したがって、\(N>\frac{\log M}{\log 2}\)を満たす番号\(N\in \mathbb{N}\)を適当に選べば、\(n\geq N\)を満たすような任意の\(n\)について\(2^{n}>M\)が成り立つため証明が完了しました。したがって、この数列は発散する単調数列の例です。

 

単調数列が収束するための条件

単調数列の中には収束するものとそうでないものがあることを確認しました。では、単調数列が収束するための条件を何らかの形で特定することはできるのでしょうか。単調増加数列\(\{x_{n}\}\)について考えます。さらに、この\(\{x_{n}\}\)は上に有界であるものとします。つまり、数列\(\{x_{n}\}\)のすべての項からなる集合\begin{equation*}
A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N}\right\}
\end{equation*}は上に有界な\(\mathbb{R}\)の部分集合であるということです。すると実数の連続性より上限\(\sup A\)に相当する実数が存在します。つまり、\(\sup A\)は数列\(\{x_{n}\}\)の任意の項\(x_{n}\)以上の実数であるとともに(\(\sup A\)は\(A\)の上界)、そのような実数の中でも最小のものです(\(\sup A\)は\(A\)の上界の中でも最小)。単調増加数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界である場合、\(n\)が大きくなるにつれて\(x_{n}\)は増加し続けますが(もしくは同じ値にとどまる)、\(x_{n}\)が\(\sup A\)を超えることはありません。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\sup A\)へと収束しそうですが、これは正しい主張です(証明は長くなるため命題の証明ページへ掲載します)。

命題(上に有界な単調増加数列は収束する)
上に有界な単調増加数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束し、さらにその極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N}\right\}
\end{equation*}と一致する。
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例(上に有界な単調増加数列は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=1-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=1-\frac{1}{n}<1-\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調増加です。さらに、任意の番号\(n\)について、\begin{equation}
x_{n}=1-\frac{1}{n}\leq 1 \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、この数列は上に有界です。したがって、上の命題より、この数列は収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\sup \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N}\right\} \quad \because \text{上の命題} \\
&=&\sup \left\{ 1-\frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N}\right\} \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(1\)と一致します(演習問題にします)。

下に有界な単調減少数列についても同様の主張が成り立ちます。つまり、単調減少数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation*}
A=\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N}\right\}
\end{equation*}が下に有界であるとき、実数の連続性より、その下限\(\inf A\)に相当する実数が存在するとともに、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(\inf A\)へと収束します(証明は長くなるため命題の証明ページへ掲載します)。

命題(下に有界な単調減少数列は収束する)
下に有界な単調減少数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束し、さらにその極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N}\right\}
\end{equation*}と一致する。
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例(下に有界な単調減少数列は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の番号\(n\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=x_{n+1}
\end{equation*}が成り立つため、この数列は狭義単調減少です。さらに、任意の番号\(n\)について、\begin{equation}
x_{n}=\frac{1}{n}\geq 0 \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、この数列は下に有界です。したがって、上の命題より、この数列は収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\inf \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N}\right\} \\
&=&\inf \left\{ \frac{1}{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N}\right\}
\end{eqnarray*}とあんりますが、これは\(0\)と一致します(演習問題にします)。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

命題(有界単調数列の収束定理)
有界な単調数列は収束する。
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数列による実数の連続性の表現

復習になりますが、実数の公理系は\(\mathbb{R}\)が全順序体であることを規定する公理と\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理に分類されます。特に、実数の連続性を特徴づける公理としてデデキントの公理を採用しましたが、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質とデデキントの公理は必要十分になります。また、\(\mathbb{R}\)の全順序体としての公理を認めるとき、上限性質と下限性質は必要十分であるため、上限性質とデデキントの公理もまた必要十分になります。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の3つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質}
\end{eqnarray*}

上の命題より、\(\mathbb{R}\)の連続性を規定する公理としては、デデキントの公理、上限性質、そして下限性質の中のどれを採用しても問題ないことになります。加えて、連続性の公理は数列を使って表現することも可能です。先に示したように、上限性質を公理として認めるとき、上に有界な単調増加数列が収束することが証明可能です。実は、それとは逆に、上に有界な単調増加数列が収束することを公理として認めたとき、そこから上限性質を示すことができます(証明は長くなるため命題の証明ページへ掲載します)。

命題(上限性質の言い換え)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、上に有界な単調増加数列が収束することと上限性質は必要十分である。
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下に有界な単調減少数列が収束することと下限性質の間にも同様の関係が成り立ちます((証明は長くなるため命題の証明ページへ掲載します)。

命題(下限性質の言い換え)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、下に有界な単調減少数列が収束することと下限性質は必要十分である。
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以上の諸命題より、実数の連続性は以下のような様々な形で表現可能であることが明らかになりました。

命題(連続性の公理)
\(\mathbb{R}\)が全順序体としての公理を満たすものとする。このとき、以下の5つの命題はお互いに必要十分である。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \text{デデキントの公理} \\
&&\left( b\right) \ \text{上限性質} \\
&&\left( c\right) \ \text{下限性質} \\
&&\left( d\right) \ \text{上に有界な単調増加数列の収束定理} \\
&&\left( e\right) \ \text{下に有界な単調減少数列の収束定理}
\end{eqnarray*}

次回から区間列について学びます。

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