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SEQUENCE OF NUMBERS

数列の積の極限

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収束する数列どうしの積の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}\cdot y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)が定義可能です。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束する数列どうしの積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束するならば\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成立する。

証明

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つまり、収束する数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)の積の形をしている数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限をかければ\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの数列どうしの積の形をしている数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する数列どうしの積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 2-\frac{1}{n}\right) \left( \frac{n+1}{n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) \left( \frac{n+1}{n}\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) \lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) \quad \because \text{収束する数列の積の極限} \\
&=&\left[ \lim_{n\rightarrow \infty }2-\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{n}\right) \right] \left[ \lim_{n\rightarrow \infty
}1+\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \right] \quad
\because \text{収束する数列の和・差の極限} \\
&=&\left( 2-0\right) \left( 1+0\right) \quad \because \left( 1\right) \text{および定数数列の極限} \\
&=&2\cdot 1 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの積の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただしここでは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&+\infty \\
\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&-\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(発散する数列どうしの積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(発散する数列どうしの積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -4n\right) \left( 3n^{2}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n^{2}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
-4n\right) \left( 3n^{2}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -4n\right) \lim_{n\rightarrow \infty
}\left( 3n^{2}\right) \quad \because \text{発散する数列の積の極限} \\
&=&\left[ \left( -4\right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n\right] \left(
3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\right) \quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\left[ \left( -4\right) \cdot \left( +\infty \right) \right] \left[
3\cdot \left( +\infty \right) \right] \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

収束する数列と発散する数列の積の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)における以下の演算ルール\begin{eqnarray*}\forall c &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :c\cdot \left( +\infty \right) =\left( +\infty
\right) \cdot c=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
\forall c &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :c\cdot \left( -\infty \right) =\left( -\infty
\right) \cdot c=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}が前提になっています。

命題(収束する数列と発散する数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(収束する数列と発散する数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 2-\frac{1}{n}\right) \left( 2n\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) \left( 2n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) \lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 2n\right) \quad \because \text{発散する数列の積の極限} \\
&=&\left[ \lim_{n\rightarrow \infty }2-\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{n}\right) \right] \left( 2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n\right)
\quad \because \text{数列の定数倍・差の極限} \\
&=&\left( 2-0\right) \left[ 2\cdot \left( +\infty \right) \right] \quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&2\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

ちなみに、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)へ収束し、他方が\(+\infty \)や\(-\infty \)へ発散する場合には、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}&&0\cdot \left( +\infty \right) \\
&&0\cdot \left( -\infty \right) \\
&&\left( +\infty \right) \cdot 0 \\
&&\left( -\infty \right) \cdot 0
\end{eqnarray*}などとなりますが、これらは不定形だからです。ただ、このような場合においても、数列の積が有限な実数へ収束しないとは限りません。数列の極限の積が不定形である場合でも、その数列の一般項を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。数列の極限の積が不定形になる場合の対処方法については場を改めて解説します。

 

演習問題

問題(数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が有界である場合には、数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)もまた\(0\)へ収束することを証明してください。
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問題(数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、正の実数\(a>0\)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=a^{3}\left( 1+\frac{1}{n}\right) \left( 1-\frac{1}{2n}\right)
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 1+\frac{1}{n^{2}}\right) \left( 6-\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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次回は数列の商の極限について解説します。

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