数列の積の極限

2つの数列が収束するとき、それらの一般項の積を一般項とする数列もまた収束します。また、正の無限大や負の無限大に発散する数列の間にも同様の関係が成り立ちます。
数列 定数倍
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収束する数列どうしの積の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それらの一般項の積\(x_{n}\cdot y_{n}\)を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)を構成できます。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束する場合には数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)もまた収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

証明は以下の通りです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限を\(\alpha \in \mathbb{R} \)で、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を\(\beta \in \mathbb{R} \)でそれぞれ表します。まずは\(\beta \not=0\)の場合について考えます。収束する数列は有界であるため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、

\begin{equation}
\exists U>0,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n}\right\vert <U \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。\(U>0\)かつ\(\beta \not=0\)より\(\frac{\varepsilon }{U+\left\vert \beta \right\vert }>0\)が成り立ちます。したがって、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ収束することから、\begin{eqnarray}
\exists N_{1} &\in & \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert x_{n}-\alpha \right\vert <\frac{\varepsilon }{U+\left\vert \beta \right\vert }\right) \tag{2} \\
\exists N_{2} &\in & \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow \left\vert y_{n}-\alpha \right\vert <\frac{\varepsilon }{U+\left\vert \beta \right\vert }\right) \tag{3}
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
\left\vert x_{n}y_{n}-\alpha \beta \right\vert &=&\left\vert
x_{n}y_{n}-x_{n}\beta +x_{n}\beta -\alpha \beta \right\vert \\
&=&\left\vert x_{n}\left( y_{n}-\beta \right) +\left( x_{n}-\alpha \right)
\beta \right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{n}\left( y_{n}-\beta \right) \right\vert +\left\vert
\left( x_{n}-\alpha \right) \beta \right\vert \quad \because \text{絶対値の劣加法性} \\
&=&\left\vert x_{n}\right\vert \left\vert y_{n}-\beta \right\vert
+\left\vert x_{n}-\alpha \right\vert \left\vert \beta \right\vert \quad
\because \text{絶対値の乗法性} \\
&<&U\frac{\varepsilon }{U+\left\vert \beta \right\vert }+\frac{\varepsilon }{U+\left\vert \beta \right\vert }\left\vert \beta \right\vert \quad \because
\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\frac{U+\left\vert \beta \right\vert }{U+\left\vert \beta \right\vert }\varepsilon \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x_{n}y_{n}-\alpha \beta \right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)は極限\(\alpha \cdot \beta \)すなわち\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}\)へと収束することが明らかになりました。\(\beta =0\)の場合の証明は演習問題にします。

命題(収束する数列どうしの積の極限)
収束する数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が収束することが分かっている場合には、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)が収束することを収束数列の定義にもとづいてわざわざ証明する必要はありません。しかも、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限を得るためには\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限の積をとればよいということになります。

例(収束する数列どうしの積の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となります。また、一般項が\(y_{n}=\frac{n+1}{n}\)として与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)も収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=1 \tag{2}
\end{equation}となります。すると、先の命題より数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty
}y_{n}\quad \because \text{収束数列の積の極限} \\
&=&2\cdot 1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。同様に、数列\(\left\{ 2x_{n}\cdot 3y_{n}\right\} \)も収束し、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}\cdot 3y_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}\right) \cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 3y_{n}\right) \quad \because \text{収束数列の積の極限} \\
&=&2\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot 3\lim_{n\rightarrow \infty
}y_{n}\quad \because \text{収束数列の定数倍の極限} \\
&=&2\cdot 2\cdot 3\cdot 1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&12
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの積の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、\begin{eqnarray*}
\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&+\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&+\infty \\
\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&-\infty \\
\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことが前提になっています。

証明は以下の通りです。まずは数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大\(+\infty \)へ発散する場合です。正の実数\(M>0\)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散することから、\begin{equation}
\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow x_{n}>M\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。また、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ発散することから、\begin{equation}
\exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow y_{n}>1\right) \tag{2}
\end{equation}も明らかに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
x_{n}\cdot y_{n} &>&M\cdot 1\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\\
&=&M
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これは数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ収束することと必要十分です(確認してください)。その他の場合の証明は演習問題にします。

命題(発散する数列どうしの差の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それぞれが正の無限大\(+\infty \)または負の無限大\(-\infty \)に発散するならば、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}となる。
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例(発散する数列どうしの積の極限)
一般項が\(x_{n}=-2x\)で与えられる数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty \tag{1}
\end{equation}が成り立ち、一般項が\(y_{n}=y^{2}\)で与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty \tag{2}
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ 2x_{n}\cdot 3y_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}\cdot 3y_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2x_{n}\right) \cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 3y_{n}\right) \\
&=&2\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot 3\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\\
&=&2\cdot \left( -\infty \right) \cdot 3\cdot \left( +\infty \right) \quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義} \\
&=&-\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

収束する数列と発散する数列の積の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)とは異なる実数に収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。ただしここでは、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義より、\(0\)とは異なる任意の実数\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
&&c\cdot \left( +\infty \right) =\left( +\infty \right) \cdot c=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \\
&&c\cdot \left( -\infty \right) =\left( -\infty \right) \cdot c=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことが前提になっています。

証明は以下の通りです。まずは数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の実数\(\alpha >0\)に収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が正の無限大\(\infty \)へ発散する場合です。\(\varepsilon <\alpha \)を満たす正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(\alpha \)へ収束することから、\begin{equation}
\exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert x_{n}-\alpha \right\vert <\varepsilon
\tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。正の実数\(M>0\)を任意に選ぶと、\(0<\varepsilon <\alpha \)より\(\frac{M}{\alpha -\varepsilon }>0\)が成り立ちます。すると、\(\left\{ y_{n}\right\} \)が\(+\infty \)へ発散することから、\begin{equation}
\exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :n\geq N_{2}\Rightarrow y_{n}>\frac{M}{\alpha -\varepsilon } \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
x_{n}\cdot y_{n} &>&\left( \alpha -\varepsilon \right) \cdot \left( \frac{M}{\alpha -\varepsilon }\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\\
&=&M
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これは数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)が正の無限大\(+\infty \)へ収束することと必要十分です(確認してください)。その他の場合の証明は演習問題にします。

命題(収束する数列と発散する数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、一方が\(0\)とは異なる実数に収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散するならば、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限は、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}を満たす。
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例(収束する数列と発散する数列の積の極限)
一般項が\(x_{n}=2-\frac{1}{n}\)として与えられる数列\(\{x_{n}\}\)は収束し、その極限は、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=2 \tag{1}
\end{equation}となり、一般項が\(y_{n}=2n\)で与えられる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&2\cdot \left( +\infty \right) \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&+\infty \quad \because \text{拡大実数系}\mathbb{R} ^{\ast }\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)に収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散する場合には、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\tag{1}
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}
&&0\cdot \left( +\infty \right) \\
&&0\cdot \left( -\infty \right) \\
&&\left( +\infty \right) \cdot 0 \\
&&\left( -\infty \right) \cdot 0
\end{eqnarray*}のいずれかになりますが、これらは拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)において不定形とみなされ定義不可能だからです。数列の極限の積が不定形になる場合の対処方法については、場を改めて解説します。

 

数列の積の極限

本節では数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の積に相当する数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限について考えました。その上で、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ正の無限大もしくは負の無限大に発散する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)以外の実数に収束し他方が正の無限大もしくは負の無限大に発散する場合などには、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限に関して、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\cdot y_{n}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\tag{1}
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。ただし、\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の少なくとも一方が正の無限大または負の無限大に発散する場合については、拡大実数系\(\mathbb{R} ^{\ast }\)の定義が前提になっています。

一方、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)に収束し、他方が正の無限大または負の無限大に発散する場合には、それらの極限の積\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}は不定形になってしまうため、数列\(\left\{ x_{n}\cdot y_{n}\right\} \)の極限を求める際に\(\left( 1\right) \)の関係を利用することはできません。不定形の場合の対処方法については、場を改めて解説します。

次回は数列の商の極限について解説します。

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