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数列

数列の積の極限(積の法則)

目次

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収束する数列どうしの積の極限

2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)が定義可能です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束する場合には数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

つまり、有限な実数へ収束する数列\(\left\{x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の積の形をしている数列\(\left\{x_{n}y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束することが保証されるとともに、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限を掛ければ\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)の極限が得られます。したがって、何らかの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の積の形をしている数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、数列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

命題(収束する数列どうしの積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するならば\(\left\{x_{n}y_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成立する。

証明

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例(収束する数列どうしの積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 2-\frac{1}{n}\right) \left( \frac{n+1}{n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) \left( \frac{n+1}{n}\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) \lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) \quad \because \text{数列の積の極限} \\
&=&\left[ \lim_{n\rightarrow \infty }2-\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{n}\right) \right] \left[ \lim_{n\rightarrow \infty
}1+\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \right] \quad
\because \text{数列の和・差の極限} \\
&=&\left( 2-0\right) \left( 1+0\right) \quad \because \left( 1\right) \text{および定数数列の極限} \\
&=&2\cdot 1 \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。

 

発散する数列どうしの積の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただしここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray}\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&+\infty \quad \cdots (2)
\\
\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&+\infty \quad \cdots (3)
\\
\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) &=&-\infty \quad \cdots (4)
\\
\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) &=&-\infty \quad \cdots (5)
\end{eqnarray}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&+\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&-\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&-\infty \quad \because \left( 4\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&-\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&+\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty \quad \because \left( 5\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&-\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&-\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( -\infty \right) \\
&=&+\infty \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。

命題(発散する数列どうしの積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がともに正の無限大\(+\infty \)や負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(発散する数列どうしの積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -4n\right) \left( 3n^{2}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n^{2}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
-4n\right) \left( 3n^{2}\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -4n\right) \cdot \lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 3n^{2}\right) \quad \because \text{数列の積の極限} \\
&=&\left[ \left( -4\right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n\right] \left(
3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\right) \quad \because \text{数列の定数倍の極限} \\
&=&\left[ \left( -4\right) \cdot \left( +\infty \right) \right] \left[
3\cdot \left( +\infty \right) \right] \quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \left( +\infty \right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

収束する数列と発散する数列の積の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)へ発散する場合にも、数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)の極限に関して以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、ここでは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)における演算ルール\begin{eqnarray}\forall c &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :c\cdot \left( +\infty \right) =\left( +\infty
\right) \cdot c=\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
-\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2) \\
\forall c &\in &\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :c\cdot \left( -\infty \right) =\left( -\infty
\right) \cdot c=\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad c>0\right) \\
+\infty & \left( if\quad c<0\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が前提になっています。

以上の主張を具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&+\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}>0\right)
\\
-\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &\in &\mathbb{R} \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&-\infty
\end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \left( -\infty \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}>0\right)
\\
+\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left( +\infty \right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
+\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}>0\right)
\\
-\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&-\infty \\
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\left( -\infty \right) \cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
-\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}>0\right)
\\
+\infty & \left( if\quad \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}<0\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となります。

命題(収束する数列と発散する数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)とは異なる有限な実数へ収束し、他方が正の無限大\(+\infty \)もしくは負の無限大\(-\infty \)に発散する場合には、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(収束する数列と発散する数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 2-\frac{1}{n}\right) \left( 2n\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ち、数列\(\left\{n\right\} \)に関しては、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つため、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) \left( 2n\right) \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{n}\right) \lim_{n\rightarrow
\infty }\left( 2n\right) \quad \because \text{数列の積の極限} \\
&=&\left[ \lim_{n\rightarrow \infty }2-\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{n}\right) \right] \left( 2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }n\right)
\quad \because \text{数列の定数倍・差の極限} \\
&=&\left( 2-0\right) \left[ 2\cdot \left( +\infty \right) \right] \quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&2\cdot \left( +\infty \right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)の一方が\(0\)へ収束し、他方が\(+\infty \)や\(-\infty \)へ発散する場合には、以下の関係\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}y_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}\cdot \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係は成り立つとは限りません。実際、そのような場合、\(\left( 1\right) \)の右辺は、\begin{eqnarray*}&&0\cdot \left( +\infty \right) \\
&&0\cdot \left( -\infty \right) \\
&&\left( +\infty \right) \cdot 0 \\
&&\left( -\infty \right) \cdot 0
\end{eqnarray*}などとなりますが、これらは拡大実数系とみなされ定義不可能です。

ただ、このような場合においても、数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)の一般項を変形してから極限をとることにより不定形を解消できることがあります。数列の極限が不定形になる場合の対処方法については場を改めて解説します。

例(不定形の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( \frac{1}{n^{2}+n}\right) \left( 1+n^{2}\right)
\end{equation*}であるものとします。左側の数列\(\left\{ \frac{1}{n^{2}+n^{2}}\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n^{2}+n}=0
\end{equation*}が成り立ち、右側の数列\(\left\{ 1+n^{2}\right\} \)については、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+n^{2}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、この数列の極限\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n^{2}+n}\right) \left( 1+n^{2}\right)
\end{equation*}は\(0\cdot \left( +\infty \right) \)型の不定形です。

 

演習問題

問題(数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束し、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が有界である場合には、数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)もまた\(0\)へ収束することを証明してください。
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問題(数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、正の実数\(a>0\)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=a^{3}\left( 1+\frac{1}{n}\right) \left( 1-\frac{1}{2n}\right)
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(数列の積の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 1+\frac{1}{n^{2}}\right) \left( 6-\frac{1}{n}\right)
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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