ネイピア数（自然対数の底）

ネイピア数の根拠となる数列

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列の項を列挙すると、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( 1+\frac{1}{1}\right) ^{1}=2 \\
x_{2} &=&\left( 1+\frac{1}{2}\right) ^{2}=2.25 \\
x_{3} &=&\left( 1+\frac{1}{3}\right) ^{3}=2.3704 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。

ネイピア数の根拠となる数列は狭義単調増加

先の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は狭義単調増加です。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<x_{n+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}<x_{2}<x_{3}<\cdots
\end{equation*}が成り立ちます。証明では2項定理を利用します。

ネイピア数の根拠となる数列は上に有界

先の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界です。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq a
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項よりも大きい実数が存在します。

ネイピア数

先の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は上に有界な単調増加数列であることが明らかになりました。上に有界な単調増加数列は有限な実数へ収束するため、先の数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束することが明らかになりました。

上の命題より、一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}として与えられる数列は有限な実数へ収束することが明らかになりました。そこで、その極限を、\begin{equation*}
e
\end{equation*}で表記し、これをネイピア数（Napier’s constant）やオイラーの数（Euler’s number）、または自然対数の底（base of natural logarithm）などと呼びます。つまり、ネイピア数とは、\begin{equation*}
e=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}を満たすものとして定義される有限な実数です。

ネイピア数の水準を特定する

ネイピア数の定義より、\begin{equation*}
e=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}が成り立ちますが、数列\begin{equation*}
\left\{ \left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}\right\}
\end{equation*}のすべての項は\(1\)より大きいため、その極限であるネイピア数\(e\)が正の実数であることは確定します。では、ネイピア数\(e\)は具体的にどの程度の大きさの実数なのでしょうか。以下の議論では指数関数や微分（テイラー展開）に関する知識を利用するため、必要な知識を学んだ後に読み返してください。

ネイピア数\(e\)は有限な正の実数であるため、\(e\)を底とする指数関数\begin{equation*}e^{x}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを自然指数関数と呼びます。

自然指数関数\(e^{x}\)の\(n\)次のマクローリン近似多項式は、\begin{equation*}P_{n,0}\left( x\right) =1+x+\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots +\frac{1}{n!}x^{n}
\end{equation*}であるとともに、マクローリンの定理より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において、\begin{equation*}e^{x}\approx P_{n,0}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなりますが、\(e^{x}\)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、ゼロとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3!}x^{3}+\cdots
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

\(1\)はゼロとは異なる点であるため、上の議論において\(x=1\)とおくことができます。その結果、\(e^{1}\)すなわち\(e\)の\(n\)次のマクローリン近似多項式が、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( 1\right) &=&1+1+\frac{1}{2!}1^{2}+\cdots +\frac{1}{n!}1^{n} \\
&=&1+1+\frac{1}{2!}+\cdots +\frac{1}{n!}
\end{eqnarray*}として得られるとともに、マクローリンの定理より、\begin{equation*}
e^{1}\approx P_{n,0}\left( 1\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
e\approx P_{n,0}\left( 1\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなります。いくつか計算すると、\begin{eqnarray*}e &\approx &P_{1,0}\left( 1\right) =1+1=2 \\
e &\approx &P_{2,0}\left( 1\right) =1+1+\frac{1}{2}=2.5 \\
e &\approx &P_{3,0}\left( 1\right) =1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}=2.6667 \\
e &\approx &P_{4,0}\left( 1\right) =1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}=2.7083 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。\(e^{1}\)すなわち\(e\)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、\begin{eqnarray*}e &=&1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\cdots \\
&=&2.7183\cdots
\end{eqnarray*}となります。

ネイピア数は無理数

ネイピア数は無限級数\begin{equation*}
e=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\cdots
\end{equation*}として表現できることが明らかになりました。

以上の事実を利用すると、ネイピア数が無理数であることが証明可能です。

演習問題