ネイピア数の定義から導かれる極限公式
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は上に有界な単調増加数列であるため有限な実数へ収束します。そこで、その極限に相当する有限な実数を、\begin{equation*}
e=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}と表記し、これをネイピア数（Napier’s constant）やオイラーの数（Euler’s number）、または自然対数の底（base of natural logarithm）などと呼びます。
以上の事実を踏まえた上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。ただし、この関数の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1+\frac{1}{x}>0\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \frac{1}{x}>-1\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} _{− −}\ |\ -1>x\right\} \cup \left\{ x\in \mathbb{R} _{++}\ |\ -1<x\right\} \\
&=&\left( -\infty ,-1\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}です。したがって、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点や限りなく小さい任意の点において定義されているため、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限や\(x\rightarrow-\infty \)の場合の極限をとることができますが、その結果は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =e \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =e
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left( -\infty ,-1\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}である。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =e \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =e
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1+\frac{3}{x}>0\right\} \\
&=&\left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}です。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めます。\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( 1+\frac{3}{x}\right) ^{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right) ^{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)
^{\frac{x}{3}}\right] ^{3}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right) ^{\frac{x}{3}}\right] ^{3}
\quad \cdots (1)
\end{equation}となります。変数\(y\)を、\begin{equation*}y=\frac{x}{3}
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、変数\(y\)に関する関数\begin{equation*}x=g\left( y\right) =3y
\end{equation*}が得られるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow +\infty }g\left( y\right) &=&\lim_{y\rightarrow +\infty
}\left( 3y\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right) ^{\frac{x}{3}} &=&\lim_{y\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{y}\right) ^{y}\quad
\because y=\frac{x}{3} \\
&=&e\quad \because \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right) ^{\frac{x}{3}}=e \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty }
\left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right) ^{\frac{x}{3}}\right] ^{3}\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow e}x^{3}\quad \because \left( 2\right) \text{および合成関数の極限} \\
&=&e^{3}
\end{eqnarray*}となります。
ネイピア数に関する極限公式（ネイピア数へ収束する関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、この関数の定義域は、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1+x>0\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-1\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left( -1,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}です。したがって、点\(0\)はこの関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点であるため、\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、その結果は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =e
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left( -1,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}である。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =e
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}=e
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1+8x>0\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-\frac{1}{8}\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left( -\frac{1}{8},0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}です。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1+8x\right) ^{\frac{3}{x}} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{8x}}\right] ^{24}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \left(
1+8x\right) ^{\frac{1}{8x}}\right] ^{24} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。変数\(y\)を、\begin{equation*}y=8x
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、変数\(y\)に関する関数\begin{equation*}x=g\left( y\right) =\frac{y}{8}
\end{equation*}が得られるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow 0}g\left( y\right) &=&\lim_{y\rightarrow 0}\frac{y}{8} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{8x}}
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( 1+y\right) ^{\frac{1}{y}}\quad \because y=8x
\\
&=&e\quad \because \lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}=e
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{8x}}=e
\end{equation*}を得ます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \left(
1+8x\right) ^{\frac{1}{8x}}\right] ^{24}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow e}x^{24}\quad \because \left( 2\right) \text{および合成関数の極限} \\
&=&e^{24}
\end{eqnarray*}となります。
ネイピア数に関する極限公式（1へ収束する関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-1\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left( -1,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}です。点\(0\)は\(f\)の定義域\(X\)の集積点であるため\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、その結果は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left( -1,0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{equation*}である。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}=1
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1+2x>0\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-\frac{1}{2}\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left( -\frac{1}{2},0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}です。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln
\left( 1+2x\right) }{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\ln \left( 1+2x\right) }{2x}\cdot 2\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+2x\right) }{2x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}2 \\
&=&2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+2x\right) }{2x}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln
\left( 1+2x\right) }{2x} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。変数\(y\)を、\begin{equation*}y=2x
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、変数\(y\)に関する関数\begin{equation*}x=g\left( y\right) =\frac{y}{2}
\end{equation*}が得られるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow 0}g\left( y\right) &=&\lim_{y\rightarrow 0}\frac{y}{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+2x\right) }{2x} &=&\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+y\right) }{y}\quad \because y=2x \\
&=&1\quad \because \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+2x\right) }{2x}=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln
\left( 1+2x\right) }{2x}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2\cdot 1\quad \because \left( 2\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}となります。
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の集積点であるため\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、その結果は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を定めるものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot 3\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}3 \\
&=&3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{3x}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{3x} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。変数\(y\)を、\begin{equation*}y=3x
\end{equation*}を満たすものとして定義すると、変数\(y\)に関する関数\begin{equation*}x=g\left( y\right) =\frac{y}{3}
\end{equation*}が得られるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{y\rightarrow 0}g\left( y\right) &=&\lim_{y\rightarrow 0}\frac{y}{3} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{3x} &=&\lim_{y\rightarrow 0}\frac{e^{y}-1}{y}\quad \because y=3x \\
&=&1\quad \because \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{3x}=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&3\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{3x}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&3\cdot 1\quad \because \left( 2\right) \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。
まとめ：ネイピア数に関する極限公式
これまでに得られた結果を改めて整理します。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}=e
\\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}=1
\\
&&\left( e\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1
\end{eqnarray*}
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1+6x>0\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left( -\frac{1}{6},0\right) \cup \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}です。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1-\frac{2}{x}>0\wedge x\not=0\right\} \\
&=&\left( -\infty ,0\right) \cup \lbrack 2,+\infty )
\end{eqnarray*}です。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
