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ネイピア数(自然対数の底)に関する関数の極限公式

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ネイピア数の定義から導かれる極限公式

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は上に有界な単調増加数列であるため有限な実数へ収束します。そこで、その極限に相当する有限な実数を、\begin{equation*}
e=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}で表記し、これをネイピア数(Napier’s constant)やオイラーの数(Euler’s number)、または自然対数の底(base of natural logarithm)などと呼びます。

以上の事実を踏まえた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数\(f\)は限りなく大きい任意の実数や限りなく小さい任意の実数において定義されているため\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限や\(x\rightarrow -\infty \)の場合の極限をとることができますが、いずれの場合にも、この関数\(f\)もまたネイピア数\(e\)へ収束することが保証されます。証明ではネイピア数の定義とはさみうちの定理を利用します。

命題(ネイピア数の定義から導かれる極限公式)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとする。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =e
\end{equation*}が成り立つ。また、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =e
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(ネイピア数の定義から導かれる極限公式)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+\frac{3}{x}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}=e \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left( 1+\frac{3}{x}\right) ^{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right) ^{x} \\
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }\left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)
^{\frac{x}{3}}\right] ^{3} \\
&=&\lim_{y\rightarrow +\infty }\left[ \left( 1+\frac{1}{y}\right) ^{y}\right] ^{3}\quad \because y=\frac{x}{3} \\
&=&\left[ \lim_{y\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{y}\right) ^{y}\right] ^{3}\quad \because x^{3}\text{の連続性} \\
&=&e^{3}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を得ます。

 

ネイピア数に関する極限公式(ネイピア数へ収束する関数)

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、先の命題を利用すると、\(x\rightarrow 0\)の場合にこの関数\(f\)もまたネイピア数\(e\)へ収束することが示されます。

命題(ネイピア数へ収束する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}
\end{equation*}を定めるものとする。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =e
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(ネイピア数へ収束する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+8x\right) ^{\frac{3}{x}}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}=e \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1+8x\right) ^{\frac{3}{x}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \left( 1+8x\right) ^{\frac{1}{8x}}\right] ^{24} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left[ \left( 1+y\right) ^{\frac{1}{y}}\right] ^{24}\quad \because y=8x \\
&=&\left[ \lim_{y\rightarrow 0}\left( 1+y\right) ^{\frac{1}{y}}\right] ^{24}\quad \because x^{24}\text{は連続関数} \\
&=&e^{24}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を得ます。

 

ネイピア数に関する極限公式(1へ収束する関数)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-1\wedge x\not=0\right\}
\end{equation*}です。この関数\(f\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、先の命題を利用すると、\(x\rightarrow 0\)の場合にこの関数\(f\)は\(1\)へ収束することが示されます。

命題(1へ収束する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-1\wedge x\not=0\right\}
\end{equation*}である。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(1へ収束する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( 1+2x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1+2x>0\wedge x\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln
\left( 1+2x\right) }{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left[ \frac{\ln \left( 1+2x\right) }{2x}\cdot 2\right] \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+2x\right) }{2x}\cdot
\lim_{x\rightarrow 0}2 \\
&=&1\cdot 2\quad \because \left( 1\right) \\
&=&2
\end{eqnarray*}を得ます。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、先の命題を利用すると、\(x\rightarrow 0\)の場合にこの関数\(f\)は\(1\)へ収束することが示されます。

命題(1へ収束する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{x}
\end{equation*}を定めるものとする。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(1へ収束する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{3x}-1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合の極限を求めます。先の命題より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot 3\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{3x}-1}{3x}\cdot \lim_{x\rightarrow 0}3 \\
&=&1\cdot 3\quad \because \left( 1\right) \\
&=&3
\end{eqnarray*}を得ます。

 

演習問題

問題(ネイピア数に関する極限公式)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+6x\right) ^{\frac{2}{x}}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(ネイピア数に関する極限公式)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1-\frac{2}{x}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(ネイピア数に関する極限公式)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{5x}-1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(ネイピア数に関する極限公式)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x}{1-e^{2x}}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。

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