ネイピア数（自然対数の底）に関する関数の極限公式

ネイピア数の定義から導かれる極限公式

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は上に有界な単調増加数列であるため有限な実数へ収束します。そこで、その極限に相当する有限な実数を、\begin{equation*}
e=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}
\end{equation*}と表記し、これをネイピア数（Napier’s constant）やオイラーの数（Euler’s number）、または自然対数の底（base of natural logarithm）などと呼びます。

以上の事実を踏まえた上で、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+\frac{1}{x}\right) ^{x}
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数の無限大における極限は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =e \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =e
\end{eqnarray*}となります。証明ではネイピア数の定義とはさみうちの定理を利用します。

ネイピア数に関する極限公式（ネイピア数へ収束する関数）

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の集積点であるため\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、先の命題を用いると、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =e
\end{equation*}が導かれます。

ネイピア数に関する極限公式（1へ収束する関数）

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-1\wedge x\not=0\right\}
\end{equation*}です。点\(0\)は\(f\)の定義域\(X\)の集積点であるため\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、先の命題を用いると、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が導かれます。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{x}-1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の集積点であるため\(x\rightarrow 0\)の場合の極限をとることができますが、先の命題を用いると、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が導かれます。

まとめ：ネイピア数に関する極限公式

これまでに得られた結果を改めて整理します。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }\left( 1+\frac{1}{x}\right)
^{x}=e \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{\frac{1}{x}}=e
\\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( 1+x\right) }{x}=1
\\
&&\left( e\right) \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1
\end{eqnarray*}

演習問題