中間値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の左右の端点において異なる値をとるとき、中間値の定理と呼ばれる命題が成立します。

中間値の定理

有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上で連続であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は端点}a\text{で右側連続である} \\
&&\left( b\right) \ f\text{は端点}b\text{で左側連続である} \\
&&\left( c\right) \ f\text{は開区間}\left(
a,b\right) \text{上の任意の点において連続である}
\end{eqnarray*}がいずれも成り立つということです。さらに、関数\(f\)は区間の端点における値に関して\(f\left( a\right) \not=f\left( b\right) \)を満たすものとします。下図はこれらの条件を満たす関数の例です。

図:有界な閉区間上に定義された連続関数
図:有界な閉区間上に定義された連続関数

上図の関数は\(f\left( a\right) <f\left( b\right) \)を満たすため、\(f\left( a\right) <z<f\left( b\right) \)すなわち\(z\in \left( f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right) \)を満たす実数\(z\in \mathbb{R}\)が存在します。このような実数\(z\)を任意にとったとき、\(f\)は定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であることから、\(z=f\left( x\right) \)を満たす実数\(x\)が定義域\(\left[ a,b\right] \)上に存在するはずです。実際、上図の\(c\)がそのような実数です。

命題(中間値の定理)
有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上で連続であるものとする。このとき、\(f\left( a\right) <f\left( b\right) \)が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\forall y\in \left( f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right) ,\ \exists x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) =y
\end{equation*}が成り立ち、\(f\left( a\right) >f\left( b\right) \)が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\forall y\in \left( f\left( b\right) ,f\left( a\right) \right) ,\ \exists x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) =y
\end{equation*}成り立つ。

これを中間値の定理(intermediate value theorem)と呼びます。先の図などから、中間値の定理の正しさは直感的には自明ですが、厳密に証明しようとすると思ったより大変です。

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例(中間値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack -1,1]\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}-4x+2\)と定義されているものとします。この関数\(f\)は定義域\(\left[ -1,1\right] \)において値\(2\)をとるでしょうか。つまり、\begin{equation}
\exists x\in \left[ 0,1\right] :f\left( x\right) =2 \tag{1}
\end{equation}は成り立つでしょうか。\(\left[ -1,1\right] \)は有界な閉集合であるとともに、\(f\)は\(\left[ -1,1\right] \)において連続です。さらに、区間の端点における\(f\)の値に関して、\begin{equation*}
f\left( 1\right) =-1<2<7=f\left( -1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、中間値の定理より\(\left( 1\right) \)が成り立ちます。
例(中間値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,1)\cup (1,2]\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =\frac{2x-3}{x-1}\)と定義されているものとします。この関数は定義域\([0,1)\cup (1,2]\)において\(x\)軸と交わるでしょうか。つまり、\begin{equation*}
\exists x\in \lbrack 0,1)\cup (1,2]:f\left( x\right) =0
\end{equation*}は成り立つでしょうか。この関数\(f\)は定義域上の任意の点において連続もしくは片側連続であるため、\(f\)は定義域上で連続です。しかし、そもそも問題としている定義域\([0,1)\cup (1,2]\)は有界な閉区間ではないため、中間値の定理を適用することはできません。

 

ボルツァーノの定理

有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上で連続であるものとします。さらに、定義域の端点における\(f\)の値に関して、\begin{equation*}
f\left( a\right) \cdot f\left( b\right) <0
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(f\left( a\right) \)と\(f\left( b\right) \)ともに非ゼロであるとともに、異なる符号の実数であるということです。\(f\left( a\right) <0<f\left( a\right) \)の場合には、中間値の定理より、\begin{equation*}
\exists x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、\(f\left( b\right) <0<f\left( a\right) \)の場合には、やはり中間値の定理より、\begin{equation*}
\exists x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。以上の議論の結論を命題としてまとめます。これをボルツァーノの定理(Bolzano theorem)と呼びます。

命題(ボルツァーノの定理)
有界な閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,b]\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上で連続であるものとする。このとき、\(f\left( a\right) \)と\(f\left( b\right)\)の符号が異なるならば、すなわち\(f\left( a\right) \cdot f\left( b\right) <0\)が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\exists x\in \left[ a,b\right] :f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
例(ボルツァーノの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack 0,1]\rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}-4x+2\)と定義されているものとします。この関数は定義域\(\left[ 0,1\right] \)において\(x\)軸と交わるでしょうか。つまり、\begin{equation}
\exists x\in \left[ 0,1\right] :f\left( x\right) =0 \tag{1}
\end{equation}は成り立つでしょうか。\(\left[ 0,1\right] \)は有界な閉集合であるとともに、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)において連続です。さらに、区間の端点における\(f\)の値に関して、\begin{equation*}
f\left( 0\right) \cdot f\left( 1\right) =2\cdot \left( -1\right) =-2<0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、ボルツァーノの定理より\(\left( 1\right) \)が成り立ちます。つまり、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)において\(x\)軸と交わります。

次回は区間上に定義された連続関数の像について解説します。
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