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中間値の定理

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中間値の定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それらを端点とする有界な閉区間\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義し、この区間上に関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数\(f\)は以下の2つの条件を満たすものとします。

1つ目の性質は、この関数\(f\)が定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるということです。つまり、\(f\)は定義域の内部である有界な開区間\(\left(a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続です。2つ目の性質は、この関数\(f\)が定義域の端点\(a,b\)において異なる値をとること、すなわち\(f\left( a\right) \not=f\left( b\right) \)が成り立つということです。以上の2つの条件をともに満たす関数のグラフを以下に図示しました。

図:中間値の定理
図:中間値の定理

上図では\(f\left( a\right) <f\left( b\right) \)が成立しているため、\(f\left( a\right) <z<f\left( b\right) \)を満たす実数\(z\in \mathbb{R} \)をとることができます。変数\(x\)の値が\(a\)から\(b\)まで動くにつれて\(f\left( x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から変化しながら最終的に\(f\left( b\right) \)へ至ります。仮定より\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるため\(f\)のグラフは\(\left[ a,b\right] \)上において途切れることなくつながっています。したがって、\(\left( a,b\right) \)上の点の中にはそこでの\(f\left( x\right) \)の値が\(z\)と一致するような点、すなわち\(f\left( c\right) =z\)を満たす点\(c\)が存在するはずです。実際、上図の\(c\)がそのような点です。\(f\left( a\right) >f\left( b\right) \)の場合も同様です。結論をまとめると、先の2つの条件を満たす関数\(f\)に関しては、\(f\left( a\right) \)と\(f\left(b\right) \)の間にある実数\(z\)を任意に選んだとき、\(f\left( c\right) =z\)を満たす\(\left( a,b\right) \)上の点\(c\)が存在することが保証されます。これは中間値の定理(intermediate value theorem)と呼ばれる命題です。

命題(中間値の定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ\(f\left( a\right)\not=f\left( b\right) \)が成り立つものとする。このとき、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\} <z<\max \left\{
f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists c\in \left( a,b\right) :z=f\left( c\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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自明なケースを取り込む形で、中間値の定理を以下のように表現することもあります。

命題(中間値の定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ\(f\left( a\right)\not=f\left( b\right) \)が成り立つものとする。このとき、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\} \leq z\leq \max
\left\{ f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\exists c\in \left[ a,b\right] :z=f\left( c\right)
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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例(中間値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}-4x+2
\end{equation*}を定めるものとします。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x\right) =2
\end{equation*}は閉区間\(\left[ -1,1\right] \subset \mathbb{R} \)上に解を持つでしょうか。つまり、\begin{equation}\exists x\in \left[ -1,1\right] :f\left( x\right) =2 \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つでしょうか。\(f\)は多項式関数であるため連続です。また、区間の端点に注目すると、\begin{equation*}f\left( -1\right) =7>2>-1=f\left( 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、中間値の定理より\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。
例(中間値の定理)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2x-3}{x-1}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x\right) =0
\end{equation*}は閉区間\(\left[ 0,2\right] \subset \mathbb{R} \)上に解を持つでしょうか。つまり、\begin{equation}\exists x\in \left[ 0,2\right] :f\left( x\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つでしょうか。\(f\)は点\(1\)において定義されていないため点\(1\)において連続ではなく、ゆえに\(\left[ 0,2\right] \)上で連続ではありません。したがって、\(\left( 1\right) \)を示すために中間値の定理を利用できません。ただ、以上の事実は\(\left( 1\right) \)が成り立たないことを意味するわけではありません。実際、点\(\frac{3}{2}\in \left[ 0,2\right] \)は、\begin{equation*}f\left( \frac{3}{2}\right) =\frac{2\cdot \frac{3}{2}-3}{\frac{3}{2}-1}=0
\end{equation*}を満たします。

 

中間値の定理が要求する条件の吟味

中間値の定理は有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)に対して2つの条件を要求しています。1つ目は\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であること、2つ目は定義域の端点において\(f\left( a\right) \not=f\left( b\right) \)が成り立つことです。中間値の定理が主張する結論が真であることを担保する上でこれらの条件は必須なのでしょうか。順番に考えていきましょう。

繰り返しになりますが、中間値の定理は関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の端点\(a,b\)において\(f\left( a\right)\not=f\left( b\right) \)を満たすとともに連続であること、すなわち点\(a\)において右側連続であるとともに点\(b\)において左側連続であることを要求します。では、\(f\)が点\(a,b\)において連続ではない場合には何らかの問題が生じるでしょうか。

例(中間値の定理)
以下のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。この関数\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で連続であるとともに\(f\left( a\right) <f\left( b\right) \)が成立しています。一方、\(f\)は点\(a\)において右側連続ではなく、点\(b\)において左側連続ではないため\(\left[ a,b\right] \)上で連続ではなく、したがって中間値の定理を利用できません。実際、\(f\left( a\right) <z<f\left( a\right) \)を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(z=f\left( c\right) \)を満たすような点\(c\)は\(\left( a,b\right) \)上に存在しません。
図:中間値の定理
図:中間値の定理

関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)の内点において連続でない場合にも同様の問題が発生します。

例(中間値の定理)
以下のグラフを持つ関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack a,c)\cup (c,b]\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。この関数\(f\)は\([a,c)\cup (c,b]\)上で連続であるとともに\(f\left( a\right) <f\left( b\right) \)が成立しています。一方、\(f\)は点\(c\)において定義されていないため\(\left[ a,b\right] \)上で連続ではなく、したがって中間値の定理を利用できません。実際、\(f\left( a\right) <z<f\left( a\right) \)を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を下図のように選んだとき、\(z=f\left( c\right) \)を満たすような点\(c\)において\(f\)は定義されていません。
図:中間値の定理
図:中間値の定理

 

ボルツァーノの定理

有界閉区間上に定義された連続関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が区間の端点\(a,b\)において、\begin{equation*}f\left( a\right) \cdot f\left( b\right) <0
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、\(f\left( a\right) \)と\(f\left( b\right) \)ともに非ゼロであるとともに、両者の符号が異なるということです。\(f\left( a\right) <0<f\left(b\right) \)の場合には中間値の定理より、\begin{equation*}\exists x\in \left( a,b\right) :f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、\(f\left( b\right) <0<f\left(a\right) \)の場合にも中間値の定理より、\begin{equation*}\exists x\in \left( a,b\right) :f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。これをボルツァーノの定理(Bolzano theorem)と呼びます。

命題(ボルツァーノの定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ、\begin{equation*}f\left( a\right) \cdot f\left( b\right) <0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\exists c\in \left( a,b\right) :f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
例(ボルツァーノの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{5}-2x^{3}-2
\end{equation*}を定めるものとします。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x\right) =0
\end{equation*}は閉区間\(\left[ 0,2\right] \subset \mathbb{R} \)上に解を持つでしょうか。つまり、\begin{equation}\exists x\in \left[ 0,2\right] :f\left( x\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立つでしょうか。\(f\)は多項式関数であるため連続です。また、区間の端点に注目すると、\begin{equation*}f\left( 0\right) \cdot f\left( 2\right) =\left( -2\right) \cdot 14<0
\end{equation*}が成り立つため、ボルツァーノの定理より\(\left( 1\right) \)が成り立つことが示されました。

次回は区間上に定義された連続関数の像について解説します。

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