上に有界な単調増加関数の収束定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義されている関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、関数\(f\)は定義域\(\left(a,b\right) \)上において上に有界であるとともに単調増加であるものとします。つまり、\(\left(a,b\right) \)上における\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( a,b\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}が上に有界であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(f\left( \left( a,b\right) \right) \)は上に有界であるため、その上限\begin{equation*}\sup f\left( \left( a,b\right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以上の条件のもとでは、\(x\rightarrow b-\)の場合の\(f\)の左側極限が有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =\sup f\left( \left( a,b\right)
\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

実数\(a\in \mathbb{R} \)を端点とする無限開区間上に定義されている関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、関数\(f\)は定義域\(\left( a,+\infty\right) \)上において上に有界かつ単調増加であるものとします。つまり、\(\left( a,+\infty \right) \)上における\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( a,+\infty \right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\}
\end{equation*}が上に有界であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \left( a,+\infty \right) :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(f\left( \left( a,+\infty \right) \right) \)は上に有界であるため、その上限\begin{equation*}\sup f\left( \left( a,+\infty \right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以上の条件のもとでは、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の極限が有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\sup f\left( \left( a,+\infty
\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

下に有界な単調増加関数の収束定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義されている関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、関数\(f\)は定義域\(\left(a,b\right) \)上において下に有界であるとともに単調増加であるものとします。つまり、\(\left(a,b\right) \)上における\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( a,b\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}が下に有界であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(f\left( \left( a,b\right) \right) \)は下に有界であるため、その下限\begin{equation*}\inf f\left( \left( a,b\right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以上の条件のもとでは、\(x\rightarrow a+\)の場合の\(f\)の右側極限が有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\inf f\left( \left( a,b\right)
\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

実数\(b\in \mathbb{R} \)を端点とする無限開区間上に定義されている関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、関数\(f\)は定義域\(\left( -\infty,b\right) \)上において下に有界かつ単調増加であるものとします。つまり、\(\left( -\infty ,b\right) \)上における\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( -\infty ,b\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{equation*}が下に有界であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \left( -\infty ,b\right) :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(f\left( \left( -\infty ,b\right) \right) \)は下に有界であるため、その下限\begin{equation*}\inf f\left( \left( -\infty ,b\right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以上の条件のもとでは、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\)の極限が有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\inf f\left( \left( -\infty
,b\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

上に有界な単調減少関数の収束定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義されている関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、関数\(f\)は定義域\(\left(a,b\right) \)上において上に有界であるとともに単調減少であるものとします。つまり、\(\left(a,b\right) \)上における\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( a,b\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}が上に有界であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(f\left( \left( a,b\right) \right) \)は上に有界であるため、その上限\begin{equation*}\sup f\left( \left( a,b\right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以上の条件のもとでは、\(x\rightarrow a+\)の場合の\(f\)の右側極限が有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\sup f\left( \left( a,b\right)
\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

実数\(b\in \mathbb{R} \)を端点とする無限開区間上に定義されている関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、関数\(f\)は定義域\(\left( -\infty,b\right) \)上において上に有界かつ単調減少であるものとします。つまり、\(\left( -\infty ,b\right) \)上における\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( -\infty ,b\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{equation*}が上に有界であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \left( -\infty ,b\right) :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(f\left( \left( -\infty ,b\right) \right) \)は上に有界であるため、その上限\begin{equation*}\sup f\left( \left( -\infty ,b\right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以上の条件のもとでは、\(x\rightarrow -\infty \)の場合の\(f\)の極限が有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\sup f\left( \left( -\infty
,b\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

下に有界な単調減少関数の収束定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義されている関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、関数\(f\)は定義域\(\left(a,b\right) \)上において下に有界であるとともに単調減少であるものとします。つまり、\(\left(a,b\right) \)上における\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( a,b\right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}が下に有界であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(f\left( \left( a,b\right) \right) \)は下に有界であるため、その下限\begin{equation*}\inf f\left( \left( a,b\right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以上の条件のもとでは、\(x\rightarrow b-\)の場合の\(f\)の左側極限が有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =\inf f\left( \left( a,b\right)
\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

実数\(a\in \mathbb{R} \)を端点とする無限開区間上に定義されている関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、関数\(f\)は定義域\(\left( a,+\infty\right) \)上において下に有界かつ単調減少であるものとします。つまり、\(\left( a,+\infty \right) \)上における\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( \left( a,+\infty \right) \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\}
\end{equation*}が下に有界であるとともに、\begin{equation*}
\forall x,x^{\prime }\in \left( a,+\infty \right) :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(f\left( \left( a,+\infty \right) \right) \)は下に有界であるため、その下限\begin{equation*}\inf f\left( \left( a,+\infty \right) \right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることに注意してください。加えて、以上の条件のもとでは、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の\(f\)の極限が有限な実数として定まるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\inf f\left( \left( a,+\infty
\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。