度数法と弧度法

角および角度の概念を定義した上で、角度を表現する手法である度数法と弧度法について解説します。度数法は私たちになじみ深い「度」を単位に角度を測る手法である一方、弧度法では「ラジアン」を利用します。

座標平面上に原点\(O\)を中心とする円を描き、その円周と\(x\)軸の正の部分の交点を\(X\)と名付けます(下図)。原点\(O\)を始点とする半直線\(OX\)を始線(initial line)と呼びます。点\(X\)を円周に沿って反時計回り(counter clockwise)に点\(P\)まで移動させると(下図)、先の半直線は点\(O\)を中心に\(OX\)から\(OP\)まで回転します。この回転後の半直線\(OP\)を動径(radius)と呼びます。(angle)とは、半直線が始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転することでできる図形のことです。

図:正の角
図:正の角

円周上の点を時計回り(clockwise)に移動させた場合の角について考えることもできます。具体的には、点\(X\)を円周に沿って時計回りに点\(P\)まで移動させると(下図)、半直線は点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転します(下図)。このように、動径を時計回りに回転することでできる角を負の角(negative angle)と呼びます。ちなみに、動径を反時計回りに動かすことで得られる角を正の角(positive angle)と呼びます。

図:負の角
図:負の角

 

度数法

角の大きさを角度(degree)と呼びます。これは、半直線を始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転させたときの回転量に相当します。角度を表現する方法はいくつか存在しますが、私たちに最もなじみ深いのは度数法(degree measure)です。

度数法では、半直線を始線\(OX\)から反時計回りに\(\frac{1}{360}\)回転させて得られる正の角度を\(1\)度と呼び、これを\(1^{\circ }\)と表記します。したがって、反時計回りに 1 回転させて得られる角度は\(360^{\circ }\)、直角(right angle)は\(90^{\circ }\)、平角(flat angle)は\(180^{\circ }\)などとなります。負の角度についても同様です。つまり、半直線を始線\(OX\)から時計回りに\(\frac{1}{360}\)回転させて得られる不の角度を\(-1\)度と呼び、これを\(-1^{\circ }\)と表記します。

代表的な角を以下に図示します。

図:90度
図:90度
図:180度
図:180度
図:270度
図:270度
図:360度
図:360度
図:-90度
図:-90度
図:-180度
図:-180度

上で例として挙げた角度はいずれも、動径を正もしくは負の向きに1 回転以内回転させた場合のものですが、一般には、回転を 1 回転以内にとどめる必要がありません。例えば、反時計回りに 2 回転した場合の角度は\(720^{\circ }\)、3 回転した場合の角度は\(1080^{\circ }\)などとなります。時計回りについても同様です。したがって、角度は任意の実数を値としてとり得ます。

何らかの角度を選ぶと、それに対応する動径\(OP\)が 1 つだけ定まりますが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、何らかの動径\(OP\)を選ぶと、それに対応する角度は一意的には定まりません。実際、動径\(OP\)に対応する角度を\(\theta \)としたとき、自然数\(n\)を任意に選び、動径を反時計回りに\(n\)回転すると動径の位置は\(OP\)のままですが、角度は\(\theta +360n\)に変化します。また、時計回りに\(n\)回転すると動径はやはり\(OP\)のままですが、角度は\(\theta -360n\)に変化します。したがって、\begin{equation*}
\theta \pm 360n\quad \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{equation*}などの角度はいずれも同一の動径\(OP\)に対応します。一方、考察対象とする角度\(\theta \)の範囲を、例えば、\begin{equation*}
0\leq \theta <360
\end{equation*}に制限すれば、それぞれの角度に動径が 1 つずつ定まるだけでなく、それぞれの動径に角度が 1 つずつ定まります。

 

弧度法

数学では多くの場合、度数法ではなく弧度法(circular measure)を利用します。

先ほどと同様に、座標平面上に原点\(O\)を中心とする円を描きます。ただし今回は、円の半径は\(1\)であるものとします。このような円を単位円(unit circle)と呼びます。単位円の円周の長さは\(2\pi \)です。

図:弧度法
図:弧度法

繰り返しになりますが、角とは、半直線が点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転することでできる図形のことであり、角度とは、動径\(OP\)の回転量に相当します。さて、半直線が\(OX\)から\(OP\)まで回転すると単位円上の点は弧\(XP\)の長さだけ移動しますが、動径\(OP\)の回転量(角度)と弧\(XP\)の長さは 1 対 1 で対応します。そこで、弧\(XP\)の長さによって動径\(OP\)の回転量(角度)を表現しようとするのが弧度法の考え方です。つまり、弧\(XP\)の長さが\(\theta \)であるとき、動径\(OP\)の回転量(角度)を\(\theta \)で表現するということです。このように、弧\(XP\)の長さ\(\theta \)を角度を表す単位として利用するとき、\(\theta \)をラジアン(radian)と呼びます。ラジアンを表す記号は\(\mathrm{rad}\)ですが、以降では「ラジアン」とも表記します。また、慣例として、ラジアンを表す記号は省略されることが多いです。

単位円の円周の長さは\(2\pi \)ですので、半直線を始線\(OX\)から反時計回りに\(1\)回転させて得られる正の角度は\(2\pi \)ラジアンです。逆に、\(1\)ラジアンとは、半直線を始線\(OX\)から反時計回りに\(\frac{1}{2\pi }\)回転させて得られる正の角度に相当します。負の角度についても同様に考えます。すなわち、半直線を始線\(OX\)から時計回りに\(1\)回転させて得られる不の角度は\(-2\pi \)ラジアンです。逆に、\(-1\)ラジアンとは、半直線を始線\(OX\)から時計回りに\(\frac{1}{2\pi }\)回転させて得られる負の角度に相当します。

代表的な角を以下に図示します。

図:π/2 ラジアン
図:π/2 ラジアン
図:π ラジアン
図:π ラジアン
図:3π/2 ラジアン
図:3π/2 ラジアン
図:2π ラジアン
図:2π ラジアン
図:-π/2 ラジアン
図:-π/2 ラジアン
図:-π ラジアン
図:-π ラジアン

上で例として挙げた角度はいずれも、動径を正もしくは負の向きに 1 回転以内回転させた場合のものですが、一般には、回転を 1 回転以内にとどめる必要がありません。例えば、反時計回りに 2 回転した場合の角度は\(4\pi \)ラジアン、3 回転した場合の角度は\(6\pi \)ラジアンなどとなります。時計回りについても同様です。したがって、ラジアンは任意の実数を値としてとり得ます。

ラジアンの値を 1 つ選ぶと、それに対応する動径\(OP\)が 1 つだけ定まりますが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、何らかの動径\(OP\)を選ぶと、それに対応するラジアンは一意的には定まりません。実際、動径\(OP\)に対応するラジアンを\(\theta \)としたとき、自然数\(n\)を任意に選び、動径を反時計回りに\(n\)回転すると動径の位置は\(OP\)のままですが、ラジアンは\(\theta +2n\pi \)に変化します。また、時計回りに\(n\)回転すると動径はやはり\(OP\)のままですが、ラジアンは\(\theta -2n\pi \)に変化します。したがって、\begin{equation*}
\theta \pm 2n\pi \quad \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{equation*}などのラジアンはいずれも同一の動径\(OP\)に対応します。一方、考察対象とするラジアン\(\theta \)の範囲を、例えば、\begin{equation*}
0\leq \theta <2\pi
\end{equation*}に制限すれば、それぞれのラジアンに動径が 1 つずつ定まるだけでなく、それぞれの動径にラジアンが 1 つずつ定まります。

 

度数法と弧度法の関係

度数法と弧度法の関係を整理します。度数法において\(0^{\circ }\)と表現される角度について考えます。この場合、動径\(OP\)は始線\(OX\)から回転せず、ゆえに弧\(XP\)の長さは\(0\)ですので、\(0^{\circ }\)を弧度法で表現すると\(0\)ラジアンとなります。

続いて、弧度法において\(90^{\circ }\)と表現される角度について考えます。この場合、動径\(OP\)は反時計回りに\(\frac{90}{360}=\frac{1}{4}\)回転します。単位円の円周は\(2\pi \)ですので、弧\(XP\)の長さは\(2\pi \times \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}\)となります。したがって、\(90^{\circ }\)を弧度法で表現すると\(\frac{\pi }{2}\)ラジアンとなります。

さらに、弧度法において\(180^{\circ }\)と表現される角度について考えます。この場合、動径\(OP\)は反時計回りに\(\frac{180}{360}=\frac{1}{2}\)回転します。単位円の円周は\(2\pi \)ですので、弧\(XP\)の長さは\(2\pi \times \frac{1}{2}=\pi \)となります。したがって、\(180^{\circ }\)を弧度法で表現すると\(\pi\)ラジアンとなります。

一般化しましょう。弧度法において\(\theta ^{\circ }\)と表現される角度について考えます。この場合、動径\(OP\)は反時計回りに\(\frac{\theta }{360}\)回転します。単位円の半径は\(2\pi \)ですので、弧\(XP\)の長さは\(2\pi \times \frac{\theta }{360}=\frac{\theta \pi }{180}\)となります。したがって、\(\theta ^{\circ }\)を弧度法で表現すると\(\frac{\theta \pi }{180}\)ラジアンとなります。ラジアンを表す記号は\(\mathrm{rad}\)ですので、以上より、\begin{equation*}
1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\mathrm{rad}
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。上の関係を逆にすれば、\begin{equation*}
1\mathrm{rad}=\left( \frac{180}{\pi }\right) ^{\circ }
\end{equation*}となります。

命題(度数法と弧度法の関係)
度数法と弧度法の間には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\mathrm{rad} \\
&&\left( b\right) \ 1\mathrm{rad}=\left( \frac{180}{\pi }\right) ^{\circ }
\end{eqnarray*}などの関係が成立する。
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上の命題をもとに、代表的な角度について、度数法と弧度法の対応関係を以下にまとめました。

$$\begin{array}{lcccccccc}
\hline
度数法(度) & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180 & 270 & 360 \\ \hline
弧度法(ラジアン) & 0 & \frac{\pi }{6} & \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2}
& \pi & \frac{3\pi }{2} & 2\pi \\ \hline
\end{array}$$

表:度数法と弧度法の関係

次回は三角関数について学びます。

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