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度数法と弧度法

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座標平面上に原点\(O\)を中心とする円を描き、その円周と\(x\)軸の正の部分の交点を\(X\)と名付けます(下図)。原点\(O\)を始点とする半直線\(OX\)を始線(initial line)と呼びます。点\(X\)を円周に沿って反時計回り(counter clockwise)に点\(P\)まで移動させると(下図)、先の半直線は点\(O\)を中心に\(OX\)から\(OP\)まで回転します。この回転後の半直線\(OP\)を動径(radius)と呼びます。(angle)とは、半直線が始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転することでできる図形のことです。

図:正の角
図:正の角

円周上の点を時計回り(clockwise)に移動させた場合の角について考えることもできます。具体的には、点\(X\)を円周に沿って時計回りに点\(P\)まで移動させると(下図)、半直線は点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転します(下図)。このように、動径を時計回りに回転することでできる角を負の角(negative angle)と呼びます。ちなみに、動径を反時計回りに動かすことで得られる角を正の角(positive angle)と呼びます。

図:負の角
図:負の角

 

度数法

角の大きさを角度(degree)と呼びます。これは、半直線を始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転させたときの回転量に相当します。角度を表現する方法はいくつか存在しますが、私たちに最もなじみ深いのは度数法(degree measure)です。

度数法では、半直線を始線\(OX\)から反時計回りに\(\frac{1}{360}\)回転させて得られる正の角度を\(1\)度と呼び、これを\(1^{\circ }\)と表記します。したがって、半直線を始線\(OX\)から反時計回りに1回転させて得られる角度は\(360^{\circ }\)です。

例(正の角)
\(90^{\circ }\)を直角(right angle)と呼びます。これは半直線を反時計回りに\(\frac{90}{360}=\frac{1}{4}\)回転させて得られる正の角度です(下図)。
図:直角
図:直角

\(180^{\circ }\)を平角(flat angle)と呼びます。これは半直線を反時計回りに\(\frac{180}{360}=\frac{1}{2}\)回転させて得られる正の角度です(下図)。

図:平角
図:平角

\(270^{\circ }\)を三直角(trihedralangle)と呼びます。これは半直線を反時計回りに\(\frac{270}{360}=\frac{3}{4}\)回転させて得られる正の角度です(下図)。

図:三直角
図:三直角

\(360^{\circ }\)を周角(round angle)と呼びます。これは半直線を反時計回りに\(\frac{360}{360}=1\)回転させて得られる正の角度です(下図)。

図:周角
図:周角
例(負の角)
負の直角\(-90^{\circ }\)は半直線を時計回りに\(\frac{90}{360}=\frac{1}{4}\)回転させて得られる負の角度です(下図)。
図:負の直角
図:負の直角

負の平角\(-180^{\circ }\)は半直線を時計回りに\(\frac{180}{360}=\frac{1}{2}\)回転させて得られる負の角度です(下図)。

図:負の平角
図:負の平角

上で例として挙げた角度はいずれも半直線を正もしくは負の向き1回転以内回転させることで得られるものですが、一般には、回転を1回転以内にとどめる必要がありません。例えば、反時計回りに2回転した場合の角度は\(720^{\circ }\)、3回転した場合の角度は\(1080^{\circ }\)などとなります。時計回りについても同様です。したがって、角度は任意の実数を値としてとり得ます。

何らかの角度を選ぶと、それに対応する動径\(OP\)が1つだけ定まりますが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、何らかの動径\(OP\)を選ぶと、それに対応する角度は一意的には定まりません。実際、動径\(OP\)に対応する角度を\(\theta \)としたとき、自然数\(n\)を任意に選び、動径を反時計回りに\(n\)回転すると動径の位置は\(OP\)のままですが、角度は\(\theta +360n\)に変化します。また、時計回りに\(n\)回転すると動径はやはり\(OP\)のままですが、角度は\(\theta -360n\)に変化します。したがって、\begin{equation*}\theta \pm 360n\quad \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{equation*}などの角度はいずれも同一の動径に対応します。一方、考察対象とする角度\(\theta \)の範囲を、例えば、\begin{equation*}0\leq \theta <360
\end{equation*}に制限すれば、それぞれの角度に動径が1つずつ定まるだけでなく、それぞれの動径に角度が1つずつ定まります。

 

弧度法

数学では多くの場合、度数法ではなく弧度法(circular measure)を利用します。先ほどと同様、座標平面上に原点\(O\)を中心とする円を描きます。ただし今回は、円の半径は\(1\)であるものとします。このような円を単位円(unit circle)と呼びます。単位円の円周の長さは\(2\pi \)です。

図:弧度法
図:弧度法

繰り返しになりますが、角とは、半直線が点\(O\)を中心に始線\(OX\)から動径\(OP\)まで回転することでできる図形のことであり、角度とは動径\(OP\)の回転量に相当します。半直線が\(OX\)から\(OP\)まで回転すると単位円上の点は弧\(XP\)の長さだけ移動しますが、動径\(OP\)の回転量(角度)と弧\(XP\)の長さは1対1で対応します。そこで、弧\(XP\)の長さによって動径\(OP\)の回転量(角度)を表現しようとするのが弧度法の考え方です。つまり、弧\(XP\)の長さが\(\theta \)であるとき、動径\(OP\)の回転量(角度)を\(\theta \)で表現するということです。このように、弧\(XP\)の長さ\(\theta \)を角度を表す単位として利用するとき、\(\theta \)をラジアン(radian)と呼びます。ラジアンを表す記号は\(\mathrm{rad}\)ですが、多くの場合、これは省略されます。

単位円の円周の長さは\(2\pi \)であるため、半直線を始線\(OX\)から反時計回りに\(1\)回転させて得られる正の角度は\(2\pi \)ラジアンです。逆に、\(1\)ラジアンとは、半直線を始線\(OX\)から反時計回りに\(\frac{1}{2\pi }\)回転させて得られる正の角度に相当します。

負の角度についても同様に考えます。すなわち、半直線を始線\(OX\)から時計回りに\(1\)回転させて得られる不の角度は\(-2\pi \)ラジアンです。逆に、\(-1\)ラジアンとは、半直線を始線\(OX\)から時計回りに\(\frac{1}{2\pi }\)回転させて得られる負の角度に相当します。

例(正の角)
直角\(90^{\circ }\)は半直線を反時計回りに\(\frac{1}{4}\)回転させて得られる正の角度であるため、これは\(\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\)ラジアンに相当します(下図)。
図:直角
図:直角

平角\(180^{\circ }\)は半直線を反時計回りに\(\frac{1}{2}\)回転させて得られる正の角度であるため、これは\(\frac{2\pi }{2}=\pi \)ラジアンに相当します(下図)。

図:平角
図:平角

三直角\(270^{\circ }\)は半直線を反時計回りに\(\frac{3}{4}\)回転させて得られる正の角度であるため、これは\(\frac{3}{4}\left( 2\pi \right) =\frac{3\pi }{2}\)ラジアンに相当します(下図)。

図:三直角
図:三直角

周角\(360^{\circ }\)は半直線を始線\(OX\)から反時計回りに\(\frac{360}{360}=1\)回転させて得られる正の角度であるため、これは\(2\pi \)ラジアンに相当します(下図)。

図:周角
図:周角
例(負の角)
負の直角\(-90^{\circ }\)は半直線を時計回りに\(\frac{1}{4}\)回転させて得られる負の角度であるため、これは\(-\frac{2\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}\)ラジアンに相当します(下図)。
図:負の直角
図:負の直角

負の平角\(-180^{\circ }\)は半直線を時計回りに\(\frac{1}{2}\)回転させて得られる負の角度であるため、これは\(-\frac{2\pi }{2}=-\pi \)ラジアンに相当します(下図)。

図:負の平角
図:負の平角

上で例として挙げた角度はいずれも半直線を正もしくは負の向き1回転以内回転させることで得られるものですが、一般には、回転を1回転以内にとどめる必要がありません。例えば、反時計回りに2回転した場合の角度は\(4\pi \)ラジアン、3回転した場合の角度は\(6\pi \)ラジアンなどとなります。時計回りについても同様です。したがって、角度は任意の実数を値としてとり得ます。

ラジアンの値を1つ選ぶと、それに対応する動径\(OP\)が1つだけ定まりますが、その逆は成り立つとは限りません。つまり、何らかの動径\(OP\)を選ぶと、それに対応するラジアンは一意的には定まりません。実際、動径\(OP\)に対応するラジアンを\(\theta \)としたとき、自然数\(n\)を任意に選び、動径を反時計回りに\(n\)回転すると動径の位置は\(OP\)のままですが、ラジアンは\(\theta +2n\pi \)に変化します。また、時計回りに\(n\)回転すると動径はやはり\(OP\)のままですが、ラジアンは\(\theta -2n\pi \)に変化します。したがって、\begin{equation*}\theta \pm 2n\pi \quad \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{equation*}などのラジアンはいずれも同一の動径に対応します。一方、考察対象とするラジアン\(\theta \)の範囲を、例えば、\begin{equation*}0\leq \theta <2\pi
\end{equation*}に制限すれば、それぞれのラジアンに動径が1つずつ定まるだけでなく、それぞれの動径にラジアンが1つずつ定まります。

 

度数法と弧度法の関係

度数法と弧度法の関係を整理します。\(0^{\circ }\)は半直線を始線から動かさない場合の角度であるため、これは\(0\)ラジアンに相当します。つまり、\begin{equation*}0^{\circ }=0\mathrm{rad}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。直角\(90^{\circ }\)は半直線を反時計回りに\(\frac{1}{4}\)回転させて得られる角度ですが、単位円の円周は\(2\pi \)であるため、これは\(2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{2}\)ラジアンに相当します。つまり、\begin{equation*}90^{\circ }=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。平角\(180^{\circ }\)は半直線を反時計回りに\(\frac{1}{2}\)回転させて得られる角度ですが、単位円の円周は\(2\pi \)であるため、これは\(2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi \)ラジアンに相当します。つまり、\begin{equation*}180^{\circ }=\pi \mathrm{rad}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

一般化しましょう。弧度法において\(\theta ^{\circ }\)と表現される角度は半直線を\(\frac{\theta }{360}\)回転させて得られる角度ですが、単位円の円周は\(2\pi \)であるため、これは\(2\pi \cdot \frac{\theta }{360}=\frac{\theta \pi }{180}\)ラジアンに相当します。つまり、\begin{equation*}\theta ^{\circ }=\frac{\theta \pi }{180}\mathrm{rad}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。比例関係より、\begin{eqnarray*}
1^{\circ } &=&\frac{\pi }{180}\mathrm{rad} \\
1\mathrm{rad} &=&\left( \frac{180}{\pi }\right) ^{\circ }
\end{eqnarray*}を得ます。

命題(度数法と弧度法の関係)
度数法と弧度法の間には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 1^{\circ }=\frac{\pi }{180}\mathrm{rad} \\
&&\left( b\right) \ 1\mathrm{rad}=\left( \frac{180}{\pi }\right) ^{\circ }
\end{eqnarray*}などの関係が成立する。
例(度数法と弧度法の関係)
上の命題をもとに、代表的な角度について、度数法と弧度法の関係をまとめました。

$$\begin{array}{lcccccccc}
\hline
度数法(度) & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180 & 270 & 360 \\ \hline
弧度法(ラジアン) & 0 & \frac{\pi }{6} & \frac{\pi }{4} & \frac{\pi }{3} & \frac{\pi }{2} & \pi & \frac{3\pi }{2} & 2\pi \\ \hline
\end{array}$$

表:度数法と弧度法の関係

 

演習問題

問題(度数法と弧度法)
度数法で表記された以下の角度をそれぞれ弧度法での表記に変換してください。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ -250^{\circ } \\
&&\left( b\right) \ 6^{\circ } \\
&&\left( c\right) \ -145^{\circ } \\
&&\left( d\right) \ 870^{\circ } \\
&&\left( e\right) \ 18^{\circ } \\
&&\left( f\right) \ -820^{\circ }
\end{eqnarray*}
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問題(度数法と弧度法)
弧度法で表記された以下の角度をそれぞれ度数法での表記に変換してください。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 4\pi \\
&&\left( b\right) \ \frac{13\pi }{30} \\
&&\left( c\right) \ -1 \\
&&\left( d\right) \ \frac{3\pi }{16} \\
&&\left( e\right) \ -2.56 \\
&&\left( f\right) \ -\frac{7\pi }{9}
\end{eqnarray*}
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