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1変数関数

絶対値関数の連続性

目次

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絶対値関数の連続性

絶対値関数\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(絶対値関数の連続性)
絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域以上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)において連続である。
証明

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例(絶対値関数の連続性)
絶対値関数は全区間上に定義可能であるため、関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)において連続です。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された絶対値関数は\(\mathbb{R} \)上で連続であるということです。
例(絶対値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より、\(3x^{3}-2x+x+1\)は点\(a\)において連続です。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は\(\mathbb{R} \)上に定義されるため、\(\left\vert a\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)の周辺の任意の点において定義されており、したがって絶対値関数の連続性より、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例(絶対値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\(\frac{2x+1}{\left(1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において連続です。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)は\(\mathbb{R} \)上に定義されるため、\(\left\vert a\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left(1-a\right) ^{3}}\)の周辺の任意の点において定義されており、したがって絶対値関数の連続性より、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で連続です。

 

絶対値関数の片側連続性

片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(絶対値関数の片側連続性)
絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)において右側連続である。また、\(\left\vert x\right\vert \)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の意の点において定義されているならば、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)において左側連続である。
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例(絶対値関数の連続性)
有界閉区間上に定義された絶対値関数\(\left\vert x\right\vert :\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、絶対値関数の連続性より、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(0\)に注目したとき、絶対値関数の右側連続性より、\(\left\vert x\right\vert \)は点\(0\)において右側連続です。定義域の端点\(1\)に注目したとき、絶対値関数の左側連続性より、\(\left\vert x\right\vert \)は\(1\)において左側連続です。したがって、\(\left\vert x\right\vert \)は\(\left[ 0,1\right] \)上で連続です。

 

演習問題

問題(絶対値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x-3}{\left\vert x-3\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
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問題(絶対値関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\left( x-7\right) \left( x+2\right) }{\left\vert
x+2\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
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