絶対値関数の連続性
絶対値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるということです。
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において連続です。
命題（絶対値関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において連続である。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において連続である。
例（絶対値関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert 3x^{3}-2x^{2}+x+1\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(3x^{3}-2x+x+1\)は点\(a\)において連続です。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるため、絶対値関数の連続性より\(\left\vert x\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(3x^{3}-2x+x+1\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の連続性より\(3x^{3}-2x+x+1\)は点\(a\)において連続です。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるため、絶対値関数の連続性より\(\left\vert x\right\vert \)は点\(3a^{3}-2a^{2}+a+1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
例（絶対値関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert \frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において連続です。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるため、絶対値関数の連続性より\(\left\vert x\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)と絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より\(\frac{2x+1}{\left( 1-x\right) ^{3}}\)は点\(a\)において連続です。絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)の定義域は\(\mathbb{R} \)であり、点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)は\(\mathbb{R} \)の内点であるため、絶対値関数の連続性より\(\left\vert x\right\vert \)は点\(\frac{2a+1}{\left( 1-a\right) ^{3}}\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上の任意の点において同様であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で連続です。
絶対値関数の片側連続性
片側極限に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（絶対値関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとする。以下が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。以下が成り立つ。
- 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において右側連続である。
- 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上において左側連続である。
演習問題
問題（絶対値関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x-3}{\left\vert x-3\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
問題（絶対値関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -2\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\left( x-7\right) \left( x+2\right) }{\left\vert
x+2\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
x+2\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点をすべて求めてください。
