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合成関数

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合成関数

2つの関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)の値域\(f\left( X\right) \)が\(g\)の定義域\(Y\)の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つということです。関数\(f\)は定義域\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対して値\(f\left( x\right) \)を定めますが、上の関係より点\(f\left( x\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)の要素であるため、関数\(g\)は点\(f\left(x\right) \)に対して\(g\left( f\left( x\right) \right) \)を定めます。したがって、関数\(f,g\)が上の条件を満たすとき、それぞれの\(x\in X\)に対して値\(g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \)を定める新たな関数が定義可能です。この関数を、\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記し、\(f\)と\(g\)の合成関数(composite function)と呼びます。定義より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}という関係が成り立ちます。

例(合成関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2} \\
g\left( x\right) &=&x+2
\end{eqnarray*}を定めるものとしてそれぞれ定義されているものとします。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、\(f\)と\(g\)の合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。具体的には、それぞれの要素\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(g\circ f\)が定める値は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) (x) &=&g\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&x^{2}+2\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。逆に、\(g\)の値域は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、\(g\)と\(f\)の合成関数\(f\circ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。具体的には、それぞれの要素\(x\in \mathbb{R} \)に対して\(f\circ g\)が定める値は、\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) (x) &=&f\left( g\left( x\right) \right) \quad
\because f\circ g\text{の定義} \\
&=&f\left( x+2\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( x+2\right) ^{2}\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関数)
長さの単位は様々です。尺貫法の単位である「寸」と国産単位系の単位である「センチメートル(cm)」の間には、\begin{equation*}
1\text{寸}=3.0303\text{センチメートル}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(x\)寸をセンチメートルで表現すると、\begin{equation}f\left( x\right) =3.0303x \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。国産単位系の単位である「センチメートル(cm)」とヤード・ポンド法の単位である「インチ(in)」の間には、\begin{equation*}
1\text{インチ}=2.54\text{センチメートル}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(x\)センチメートルをインチで表現すると、\begin{equation}g\left( x\right) =\frac{1}{2.54}x \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。以上を踏まえると、\(x\)寸をインチで表現すると、\begin{eqnarray*}g\left( f\left( x\right) \right) &=&\frac{1}{2.54}f\left( x\right) \quad
\because \text{合成関数の定義および}\left( 2\right) \\
&=&\frac{3.0303}{2.54}x\quad \because \left( 1\right) \\
&=&1.193x
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関数)
車を時間\(t\geq 0\)だけ走行させるためにはガソリンが、\begin{equation*}f\left( t\right) =\frac{t}{2}
\end{equation*}だけ必要なことが分かっているものとします。また、ガソリンを\(x\geq 0\)だけ購入するためには燃料費が、\begin{equation*}g\left( x\right) =100x
\end{equation*}だけ必要なことが分かっているものとします。以上の2つの関数\(f,g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( t\right) &=&g\left( f\left( t\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( \frac{t}{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&100\cdot \frac{t}{2} \quad \because g\text{の定義}
\\
&=&50t
\end{eqnarray*}ですが、これは車を時間\(t\)だけ走行させるために必要な燃料費です。
例(合成関数)
時間が\(t\geq 0\)だけ経過した時点における円の半径が、\begin{equation*}f\left( t\right) =5t
\end{equation*}であることが分かっているものとします。また、半径\(r\geq 0\)の円の面積は、\begin{equation*}g\left( r\right) =\pi r^{2}
\end{equation*}です。以上の2つの関数\(f,g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(t\in \mathbb{R} _{+}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( t\right) &=&g\left( f\left( t\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( 5t\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\pi \left( 5t\right) ^{2} \quad \because g\text{の定義} \\
&=&25\pi t^{2}
\end{eqnarray*}ですが、これは時間が\(t\)だけ経過した時点の円の面積です。

 

合成関数の定義域

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して\(g\left( f\left(x\right) \right) \in \mathbb{R} \)が必ず1つずつ定まるため、合成関数\(g\circ f\)の定義域もまた\(X\)となります。一方、関数\(f,g\)の間に上の関係が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) \not\in Y
\end{equation*}が成り立つ場合、関数\(g\)はそもそも上のような点\(f\left( x\right) \)において定義されていないため\(g\left( f\left( x\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって合成関数\(g\circ f\)は上のような点\(x\)において定義されていません。以上を踏まえると、一般に、合成関数\(g\circ f\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( g\circ f\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}となります。極端な話、上の集合\(D\left( g\circ f\right) \)が空集合であるならば、合成関数\(g\circ f\)はそもそも定義不可能です。

例(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)の定義域を特定します。関数\(g\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\left( x\right) =0\)を満たす実数\(x\)は\(g\circ f\)の定義域には含まれません。つまり、\(g\circ f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\not=0\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}となります。その上で、\(g\circ f\)は定義域のそれぞれの要素\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{x^{2}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。

例(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{2}-1
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)は負の実数ですが、関数\(g\)は任意の負の実数において定義されていないため、そもそも合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。

 

関数を合成する順番

2つの関数\(f,g\)が与えられたとき、それらから生成され得る合成関数としては\(g\circ f\)と\(f\circ g\)の2通りがあり、これらは区別して考える必要があります。具体的には、関数\(f,g\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}であるとき、合成関数\(g\circ f\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( g\circ f\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}であり、これはそれぞれの\(x\in D\left( g\circ f\right) \)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を像として定めます。一方、合成関数\(f\circ g\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( f\circ g\right) =\left\{ x\in Y\ |\ f\left( x\right) \in X\right\}
\end{equation*}であり、これはそれぞれの\(x\in D\left( f\circ g\right) \)に対して、\begin{equation*}\left( f\circ g\right) \left( x\right) =f\left( g\left( x\right) \right)
\end{equation*}を像として定める関数です。\(g\circ f\)と\(f\circ g\)は異なる関数であり、また、一方が存在する場合でも他方は存在するとは限りません。関数を合成する順番が変われば得られる関数も変わるため、関数を合成する際には注意が必要です。

例(関数を合成する順番)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x^{2} \\
g\left( x\right) &=&x+2
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、合成関数\(g\circ f\)の定義域もまた\(\mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) (x) &=&g\left( f\left( x\right) \right) \quad
\because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&x^{2}+2\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。他方で、\(g\)の値域は明らかに\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、合成関数\(f\circ g\)の定義域もまた\(\mathbb{R} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ g\right) (x) &=&f\left( g\left( x\right) \right) \quad
\because f\circ g\text{の定義} \\
&=&f\left( x+2\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( x+2\right) ^{2}\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。

 

3つ以上の関数の合成

3つ以上の関数を合成することもできます。関数\(f,g,h\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で与えられているとともに、これらの間に、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &\subset &Y \\
g\left( Y\right) &\subset &Z
\end{eqnarray*}という関係がともに成り立つものとします。関数\(f\)は定義域\(X\)に属するそれぞれの要素\(x\)に対して値\(f\left( x\right) \)を定めますが、点\(f\left(x\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)に属するため、\(g\)はこの点\(f\left( x\right) \)に対して値\(g\left( f\left( x\right) \right) \)を定めます。さらに、この点\(g\left(f\left( x\right) \right) \)は関数\(h\)の定義域\(Z\)に属するため、\(h\)はさらにこの点\(g\left( f\left(x\right) \right) \)に対して値\(h\left( g\left(f\left( x\right) \right) \right) \)を定めます。つまりこのとき、\(X\)の要素\(x\)に対して\(h\left( g\left(f\left( x\right) \right) \right) \)を値として定める関数が定義可能であるため、これを、\begin{equation*}h\circ \left( g\circ f\right) :X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。定義より、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ \left( g\circ f\right) \right) (x) &=&h\left( \left( g\circ
f\right) \left( x\right) \right) \\
&=&h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right)
\end{eqnarray*}を値として定めます。

上の議論では最初に\(f\)と\(g\)を合成して\(g\circ f\)を作り、続いて\(g\circ f\)と残りの\(h\)を合成して\(h\circ \left( g\circ f\right) \)を作りましたが、最初に\(g\)と\(h\)を合成して\(h\circ g\)を作り、続いて\(h\circ g\)と残りの\(f\)を合成すれば、以下のような合成関数\begin{equation*}\left( h\circ g\right) \circ f:X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。定義より、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \left( h\circ g\right) \circ f\right) (x) &=&\left( h\circ g\right)
\left( f\left( x\right) \right) \\
&=&h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right)
\end{eqnarray*}を値として定めますが、これは\(\left( h\circ \left( g\circ f\right) \right) (x)\)と一致します。つまり、3つの関数\(f,g,h\)が与えられたとき、隣り合う2つの関数のうちのどちらを先に合成するかに応じて合成関数は\(h\circ \left( g\circ f\right) \)と\(\left( h\circ g\right) \circ f\)の2通りが存在しますが、これらは関数として等しくなります。

命題(関数の合成に関する結合律)
関数\(f,g,h\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で与えられており、なおかつこれらの間には、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &\subset &Y \\
g\left( Y\right) &\subset &Z
\end{eqnarray*}が成り立つものとする。このとき、以下の2つの合成関数\begin{eqnarray*}
h\circ (g\circ f) &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
(h\circ g)\circ f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに存在するとともに、両者は関数として等しい。

証明

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上の命題より、\(f\)と\(g\)を合成して得られる関数に\(h\)を合成して得られる関数は、\(g\)と\(h\)を合成して得られる関数に\(f\)を合成して得られる関数と等しくなります。これは、関数の合成\(\circ \)を演算と解釈したとき、この演算は結合律を満たすということです。3つの関数\(f,g,h\)の合成関数をつくる際には\(f\)と\(g\)を先に合成してもよいし、\(g\)と\(h\)を先に合成しても得られる関数は同じであることが明らかになりました。合成の順番は結果に影響を与えないということを踏まえた上で、\(h\circ (g\circ f)\)と\((h\circ g)\circ f\)を代表して、\begin{equation*}h\circ g\circ f
\end{equation*}と表記することができます。

例(3つ以上の関数の合成)
関数\(f,g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&2x \\
g\left( x\right) &=&\cos x \\
h\left( x\right) &=&x^{3}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、\(g\)の値域は明らかに\(h\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、合成関数\(h\circ g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) (x) &=&h\left( g\left( f\left( x\right)
\right) \right) \quad \because h\circ g\circ f\text{の定義}
\\
&=&h\left( g\left( 2x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&h\left( \cos \left( 2x\right) \right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left[ \cos \left( 2x\right) \right] ^{3}\quad \because h\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。

4つの関数\(f,g,h,i\)を合成する際には隣り合う2つの関数のうちのどれを先に合成するかに応じて最終的に得られる合成関数として様々なパターンが存在しますが、先の命題を繰り返し適用することにより、それらはいずれも関数として等しくなるため、それらを代表して\begin{equation*}i\circ h\circ g\circ f
\end{equation*}と表記します。5つ以上の写像を合成する場合も同様です。

 

演習問題

問題(合成関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&3x^{2}-x+10 \\
g\left( x\right) &=&1-20x
\end{eqnarray*}を定めるものとしてそれぞれ定義されているものとします。このとき、以下の合成関数をそれぞれ具体的に特定してください。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\circ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ f\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
&&\left( d\right) \ g\circ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}
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問題(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,3]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,3]\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{3-x}
\end{equation*}を定めるものとして定義されており、関数\(g:[-2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack -2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x+2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。このとき、合成関数\(g\circ f\)の定義域\(D\left( g\circ f\right) \)を明らかにしてください。
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問題(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{2}{3}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{2}{3}\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{4}{3x-2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されており、関数\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{5}{x-1}
\end{equation*}を定めるものとして定義されています。このとき、合成関数\(g\circ f\)の定義域\(D\left( g\circ f\right) \)を明らかにしてください。
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問題(合成関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&3x^{2}-x+10 \\
g\left( x\right) &=&1-20x
\end{eqnarray*}を定めるものとします。このとき、合成関数である\(f\circ g\)と\(g\circ f\)をそれぞれ求めてください。
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問題(合成関数)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&3x-2 \\
g\left( x\right) &=&\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
g\circ f=g\circ f
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(合成関数)
3つの関数\(f,g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}\left( f+g\right) \circ h=f\circ h+g\circ h
\end{equation*}という関係は常に成り立ちますか。成り立つ場合には証明し、成り立たない場合には反例を挙げてください。

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問題(合成関数)
3つの関数\(f,g,h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}f\circ \left( g+h\right) =f\circ g+f\circ h
\end{equation*}という関係は常に成り立ちますか。成り立つ場合には証明し、成り立たない場合には反例を挙げてください。

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問題(合成関数)
2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}\frac{1}{f\circ g}=\left( \frac{1}{f}\right) \circ g
\end{equation*}という関係は常に成り立ちますか。成り立つ場合には証明し、成り立たない場合には反例を挙げてください。

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問題(合成関数)
2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}\frac{1}{f\circ g}=f\circ \left( \frac{1}{g}\right)
\end{equation*}という関係は常に成り立ちますか。成り立つ場合には証明し、成り立たない場合には反例を挙げてください。

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問題(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x+1
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
f\circ g=g\circ f
\end{equation*}を満たす関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は存在するでしょうか。存在する場合には具体的に提示し、存在しない場合には理由を説明してください。
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次回は逆関数について解説します。

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