微分可能な関数を合成して得られる関数もまた微分可能です。合成関数の微分公式と、合成関数を微分する際に役立つ連鎖公式について解説します。

2019年4月4日:公開

合成関数

区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R}
\end{eqnarray*}の間に、\begin{equation}
\forall x\in I:f\left( x\right) \in J \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立つものとしましょう。

関数\(f\)は定義域\(I\)に属するそれぞれの値\(x\)に対して値\(f\left( x\right) \)を定めますが、\(\left( 1\right) \)より\(f\left( x\right) \)は関数\(g\)の定義域\(J\)に属するため、\(g\)はさらに\(f\left( x\right) \)に対して値\(g\left( f\left( x\right) \right) \)を定めます。つまり、\(\left( 1\right) \)のもとでは\(I\)のそれぞれの値\(x\)に対して\(g\left( f\left( x\right) \right)\)を値として定めるような関数が定義可能であり、それを\(g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)で表し、これを\(f\)と\(g\)の合成関数(composite function)と呼びます。定義より、任意の\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) (x)=g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これが合成関数の定義です。

例(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)で、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(g\left( y\right) =\sin y\)でそれぞれ与えられているとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)は、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) (x) &=&g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sin x^{2}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。
例(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =x^{2}\)で、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(g\left( y\right) =\log y\)でそれぞれ与えられているとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの値\(x\in \mathbb{R}\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) (x) &=&g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\log x^{2}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

3つ以上の関数を順番に合成することもできます。3つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset K\rightarrow \mathbb{R}
\end{eqnarray*}の間に、\begin{eqnarray}
\forall x &\in &I:f\left( x\right) \in J \tag{2} \\
\forall y &\in &J:g\left( y\right) \in K \tag{3}
\end{eqnarray}という関係が成り立つものとします。関数\(f\)は定義域\(I\)に属するそれぞれの値\(x\)に対して値\(f\left( x\right) \)を定めますが、\(\left( 2\right) \)より\(f\left( x\right) \)は関数\(g\)の定義域\(J\)に属するため、\(g\)はさらに\(f\left( x\right) \)に対して値\(g\left( f\left( x\right) \right) \)を定めます。さらに、\(\left( 3\right) \)より\(g\left( f\left( x\right) \right) \)は関数\(h\)の定義域\(K\)に属するため、\(h\)はさらに\(g\left( f\left( x\right) \right) \)に対して値\(h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \)を定めます。つまり、\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)のもとでは\(I\)のそれぞれの値\(x\)に対して\(h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \)を値として定めるような関数が定義可能であり、それを\(h\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)で表し、これを\(f,g,h\)の合成関数と呼びます。定義より、任意の\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}
\left( h\circ g\circ f\right) (x)=h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これが3つの関数の合成の定義です。4つ以上の関数の定義についても同様です。

例(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(f\left( x\right) =2x\)で、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(g\left( y\right) =\cos y\)で、関数\(h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が\(h\left( z\right) =z^{3}\)でそれぞれ与えられているとき、合成関数\(h\circ g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)は、\begin{eqnarray*}
\left( h\circ g\circ f\right) (x) &=&h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \quad \because h\circ g\circ f\text{の定義} \\
&=&h\left( g\left( 2x\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&h\left( \cos 2x\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left[ \cos 2x\right] ^{3}\quad \because h\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。

 

合成関数の微分

微分可能な関数どうしを合成して得られる関数の微分可能性について以下の命題が成り立ちます。

命題(合成関数の微分)
区間上に定義された2つの関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R}\)の間に、\begin{equation*}
\forall x\in I:f\left( x\right) \in J
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。\(f\left( a\right) \in J^{i}\)を満たす内点\(a\in I^{i}\)をとったとき、\(f\)が\(a\)において微分可能であると同時に\(g\)が\(f\left( a\right)\)において微分可能であるならば、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R}\)もまた\(a\)において微分可能であり、\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) =g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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関数\(f\)の定義域である区間\(I\)が境界点\(a\in I^{f}\)を持つと同時に\(f\)が\(a\)において片側微分可能である場合や、関数\(g\)の定義域である区間\(J\)が境界点を持つと同時に\(f\left( a\right) \)がその境界点であり、なおかつ\(g\)が\(f\left( a\right) \)において片側微分可能である場合などには、上の命題において微分可能性を片側微分可能性に替えれば、同様の議論から上の命題と同様の結論を導くことができます。以上の事実を踏まえると、合成関数の導関数に関する以下の命題が得られます。

例(合成関数の微分)
区間上に定義された2つの関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R}\)の間に、\begin{equation*}
\forall x\in I:f\left( x\right) \in J
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。さらに\(f\)と\(g\)がともに微分可能であるならば合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)も微分可能であり、その導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)は任意の\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}
\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =g^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}という関係を満たす。

3つ以上の関数を合成して得られる関数の微分についても同様の結論が得られます。

系(合成関数の微分)
区間上に定義された3つの関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R} ,\ h:\mathbb{R} \supset K\rightarrow \mathbb{R}\)の間に、\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &I:f\left( x\right) \in J \\
\forall y &\in &J:g\left( y\right) \in K
\end{eqnarray*}という関係が成り立つものとする。さらに、\(f,g,h\)がいずれも微分可能であるならば合成関数\(h\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)も微分可能であり、その導関数\(\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)は任意の\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}
\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =h^{\prime }(g\left( f\left( x\right) \right) )\cdot g^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( x\right)
\end{equation*}という関係を満たす。

 

連鎖公式

区間上に定義された2つの関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ,\ g:\mathbb{R} \supset J\rightarrow \mathbb{R}\)の合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R}\)を微分する際の具体的な手順を解説します。まず、\(f\)と\(g\)が合成関数の微分公式が要求する条件を満たすことを確認します。このとき、合成関数の微分公式より、任意の\(x\in I\)に対して、\begin{equation}
\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =g^{\prime }\left( f\left( x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( x\right) \tag{1}
\end{equation}という関係が成り立ちます。

合成関数\(g\circ f\)を\(z=g\left( f\left( x\right) \right) \)とおいた上で、これを「入れ物」に相当する関数\(g\)である\(z=g\left( y\right) \)と、「中身」に相当する関数\(f\)である\(y=g\left( x\right) \)とに分離して考えます。\(g\circ f\)を微分することは\(\frac{dz\left( x\right) }{dx}\)を求めることを意味しますが、\(\left( 1\right) \)より、これを具体的に求める際には「入れ物」である\(g\)を\(y\)について微分した結果\(\frac{dg\left( y\right) }{dy}=g^{\prime }\left( y\right) \)と「中身」である\(f\)を\(x\)について微分した結果\(\frac{df\left( x\right) }{dx}=f^{\prime }\left( x\right) \)の積をとればよいことになります。つまり、\begin{equation}
\frac{dz\left( x\right) }{dx}=\frac{dg\left( y\right) }{dy}\cdot \frac{df\left( x\right) }{dx} \tag{2}
\end{equation}という関係が成り立ちます。右辺中の\(\frac{dg\left( y\right) }{dy}\)は\(y\)に関する式であるため、これを\(y=g\left( x\right) \)に置き換えれば右辺全体が\(x\)に関する式となり完成です。合成関数を微分する際には、関数を入れ物と中身に分離して考えると分かりやすいということです。なお、上の関係式\(\left( 2\right) \)を連鎖公式(chain rule)と呼びます。

例(連鎖公式)
関数\(f\left( x\right) =\sin x^{2}\)を微分します。この関数を\(z=\sin x^{2}\)とおくと、これは入れ物に相当する\(z=\sin y\)と中身に相当する\(y=x^{2}\)とに分離可能です。すると、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{dz\left( x\right) }{dx} \\
&=&\frac{dg\left( y\right) }{dy}\cdot \frac{df\left( x\right) }{dx}\quad \because \text{連鎖公式} \\
&=&\frac{d}{dy}\left( \sin y\right) \cdot \frac{d}{dx}x^{2}\quad \because z=\sin y,\ y=x^{2} \\
&=&\left( \cos y\right) \cdot 2x \\
&=&\left( \cos x^{2}\right) \cdot 2x\quad \because y=x^{2}
\end{eqnarray*}となります。
例(連鎖公式)
関数\(f\left( x\right) =\log x^{2}\)を微分します。この関数を\(z=\log x^{2}\)とおくと、これは入れ物に相当する\(z=\log y\)と中身に相当する\(y=x^{2}\)とに分離可能です。すると、\begin{align*}
f^{\prime }\left( x\right) & =\frac{dz\left( x\right) }{dx} \\
& =\frac{dg\left( y\right) }{dy}\cdot \frac{df\left( x\right) }{dx}\quad \because \text{連鎖公式} \\
& =\frac{d}{dy}\left( \log y\right) \cdot \frac{d}{dx}x^{2}\quad \because z=\log y,\ y=x^{2} \\
& =\left( \frac{1}{y}\right) \cdot 2x \\
& =\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \cdot 2x\quad \because y=x^{2} \\
& =\frac{2}{x}
\end{align*}となります。

3つ以上の関数を合成して得られる関数\(h\circ g\circ f\)の微分についても同様に考えます。つまり、合成関数\(h\circ g\circ f\)を\(t=h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \)とおいた上で、これを「外側の入れ物」に相当する関数\(h\)である\(t=h\left( z\right) \)と、「内側の入れ物」に相当する関数\(g\)である\(z=g\left( y\right) \)、そして「中身」に相当する関数\(f\)である\(y=f\left( x\right) \)とに分離します。\(h\circ g\circ f\)を微分することは\(\frac{dh\left( x\right) }{dx}\)を求めることを意味しますが、これを具体的に求める際には、\begin{equation*}
\frac{dt\left( x\right) }{dx}=\frac{dt\left( z\right) }{dz}\cdot \frac{dz\left( y\right) }{dy}\cdot \frac{dy\left( x\right) }{dx}
\end{equation*}という関係を活用します。ただし、右辺には\(y\)や\(z\)が残っているため、それらを\(y=f\left( x\right) \)や\(z=g\left( f\left( x\right) \right) \)で置き換えることで右辺全体が\(x\)に関する式となり完成です。

例(連鎖公式)
関数\(f\left( x\right) =\left[ \cos (2x)\right] ^{3}\)を微分します。この関数を\(z=\left[ \cos (2x)\right] ^{3}\)とおくと、これは外側の入れ物に相当する\(z=t^{3}\)と内側の入れ物に相当する\(t=\cos \left( y\right) \)、そして中身に相当する\(y=2x\)とに分離可能です。すると、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{dt\left( x\right) }{dx} \\
&=&\frac{dt\left( z\right) }{dz}\cdot \frac{dz\left( y\right) }{dy}\cdot \frac{dy\left( x\right) }{dx}\quad \because \text{連鎖公式} \\
&=&\frac{d}{dz}z^{3}\cdot \frac{d}{dy}\cos y\cdot \frac{d}{dx}2x\quad \because t=z^{3},\ z=\cos y,\ y=2x \\
&=&3z^{2}\cdot (-\sin y)\cdot 2 \\
&=&3\left( \cos y\right) ^{2}\cdot (-\sin y)\cdot 2\quad \because z=\cos y \\
&=&3\left[ \cos \left( 2x\right) \right] ^{2}\cdot \left[ -\sin \left( 2x\right) \right] \cdot 2\quad \because y=2x \\
&=&-6\left[ \cos \left( 2x\right) \right] ^{2}\sin \left( 2x\right)
\end{eqnarray*}となります。

次回は対数微分法について学びます。
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