合成関数の微分
2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(f\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つということです。この場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を像として定めます。以上を踏まえた上で、合成関数\(g\circ f\)を構成する関数\(f,g\)に関して以下の2つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるということです。つまり、点\(a\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の内点であるとともに、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=a}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は\(f\left( a\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left(a\right) \)はもう一方の関数\(g\)の定義域\(Y\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(f\left( a\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)の内点であるとともに、関数\(g\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数\begin{equation*}g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) =\left. \frac{g\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right)
}\cdot \left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}と定まることが保証されます。つまり、合成関数\(g\circ f\)の点\(a\)における微分係数は、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数と、関数\(g\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数の積として定まるということです。
したがって、2つの関数\(f,g\)の合成関数\(g\circ f\)の微分可能性を判定する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ微分可能であることを確認すればよいということになります。
2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能である。点\(a\in X\)に対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right)
}\cdot \left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=a}
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(X\)と\(Y\)はともに\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(x\in X\)は\(X\)の内点であるとともに、点\(f\left( x\right) \in Y\)は\(Y\)の内点です。したがって、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より、合成関数\(g\circ f\)は\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&g^{\prime }\left(
f\left( x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( x\right) \\
&=&\left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert _{y=f\left( x\right)
}\cdot \frac{df\left( x\right) }{dx}
\end{eqnarray*}を定めます。これを連鎖公式（chain rule）と呼びます。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は多項式関数\(2x-1\)と単項式関数\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。多項式関数\(2x-1\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、単項式関数\(x^{3}\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、それらの合成関数\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( 2x-1\right) ^{3}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}y^{3}\right\vert _{y=2x-1}\cdot \frac{d}{dx}\left(
2x-1\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 3y^{2}\right\vert _{y=2x-1}\cdot 2 \\
&=&3\left( 2x-1\right) ^{2}\cdot 2 \\
&=&6\left( 2x-1\right) ^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は有理関数\(\frac{x+1}{x-1}\)と単項式関数\(x^{5}\)の合成関数であることに注意してください。有理関数\(\frac{x+1}{x-1}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で微分可能であり、単項式関数\(x^{5}\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、それらの合成関数\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{x+1}{x-1}\right)
^{5}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}y^{5}\right\vert _{y=\frac{x+1}{x-1}}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x+1}{x-1}\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 5y^{4}\right\vert _{y=\frac{x+1}{x-1}}\cdot \frac{\left(
x+1\right) ^{\prime }\left( x-1\right) -\left( x+1\right) \left( x-1\right)
^{\prime }}{\left( x-1\right) ^{2}} \\
&=&5\left( \frac{x+1}{x-1}\right) ^{4}\cdot \frac{\left( x-1\right) -\left(
x+1\right) }{\left( x-1\right) ^{2}} \\
&=&5\left( \frac{x+1}{x-1}\right) ^{4}\cdot \frac{-2}{\left( x-1\right) ^{2}}
\\
&=&-\frac{10\left( x+1\right) ^{4}}{\left( x-1\right) ^{6}}
\end{eqnarray*}を定めます。
合成関数の片側微分
片側微分についても同様の主張は成り立つのでしょうか。つまり、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、関数\(f\)が点\(a\in X\)において右側微分可能であるとともに関数\(g\)が点\(f\left(a\right) \)において右側微分可能である場合、関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において右側微分可能であることを保証できるのでしょうか。また、関数\(f\)が点\(a\in X\)において左側微分可能であるとともに関数\(g\)が点\(f\left( a\right) \)において左側微分可能である場合、関数\(g\circ f\)もまた点\(a\)において左側微分可能であることを保証できるのでしょうか。以下の例が示唆するように、このような関係は成り立つとは限りません。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。点\(0\)に注目したとき、\(f\)は点\(0\)において右微分可能であり、\(g\)は点\(f\left( 0\right) =0\)において右側微分可能です。しかし、\(g\circ f\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません（演習問題）。
3個以上の関数の合成
3個以上の微分可能な関数の合成関数の微分についても同様の議論が成立します。関数\(f,g,h\)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}で与えられているとともに、これらの間に以下の関係\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &\subset &Y \\
g\left( Y\right) &\subset &Z
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
h\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) (x) &=&h\left( \left( g\circ f\right) \left(
x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&h\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。以上を踏まえた上で、合成関数\(h\circ g\circ f\)を構成する関数\(f,g,h\)に関して以下の3つの条件が成り立つものとします。
1つ目の条件は、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であるということです。つまり、点\(a\)は関数\(f\)の定義域\(X\)の内点であるとともに、関数\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=a}
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
関数\(f\)が先の点\(a\)に対して定める値は\(f\left( a\right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(f\left(a\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)上の点です。そこで、2つ目の条件として、関数\(g\)は点\(f\left( a\right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(f\left( a\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)の内点であるとともに、関数\(g\)の点\(f\left( a\right) \)における微分係数\begin{equation*}g^{\prime }\left( f\left( a\right) \right) =\left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=f\left( a\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
関数\(g\)が先の点\(f\left( a\right) \)に対して定める値は\(g\left( f\left( a\right) \right) \)ですが、合成関数の定義より、この点\(g\left( f\left( a\right) \right) \)は関数\(h\)の定義域\(Z\)上の点です。そこで、3つ目の条件として、関数\(h\)は点\(g\left( f\left( a\right) \right) \)において微分可能であるものとします。つまり、点\(g\left( f\left( a\right) \right) \)は関数\(h\)の定義域\(Z\)の内点であるとともに、関数\(h\)の点\(g\left( f\left( a\right) \right) \)における微分係数\begin{equation*}h^{\prime }\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) =\left. \frac{dh\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left( a\right) \right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるということです。
以上の条件が満たされる場合には、合成関数\(h\circ g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、そこでの微分係数が、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&h^{\prime
}\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) \cdot g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dh\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
a\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=f\left( a\right) }\cdot \left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=a}
\end{eqnarray*}と定まることが保証されます。
3つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。\(f\left( X\right) \subset Y\)かつ\(g\left( Y\right) \subset Z\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\begin{equation*}h\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能である。点\(a\in X\)に対して、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ f\text{は点}a\text{において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は点}f\left( a\right) \text{において微分可能} \\
&&\left( c\right) \ h\text{は点}g\left( f\left( a\right) \right)
\text{において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(h\circ g\circ f\)もまた点\(a\)において微分可能であり、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }\left( a\right) &=&h^{\prime
}\left( g\left( f\left( a\right) \right) \right) \cdot g^{\prime }\left(
f\left( a\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( a\right) \\
&=&\left. \frac{dh\left( x\right) }{dx}\right\vert _{x=g\left( f\left(
a\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=f\left( a\right) }\cdot \left. \frac{df\left( x\right) }{dx}\right\vert
_{x=a}
\end{eqnarray*}となる。
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset Z\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( X\right) \subset Y\)かつ\(g\left( Y\right) \subset Z\)が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}h\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。\(X,Y,Z\)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の開集合であるものとします。この場合、任意の点\(x\in X\)は\(X\)の内点であるとともに、点\(f\left( x\right) \in Y\)は\(Y\)の内点であり、点\(g\left( f\left( x\right) \right)\in Z\)は\(Z\)の内点です。したがって、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\text{は}X\text{上において微分可能} \\
&&\left( b\right) \ g\text{は}Y\text{上において微分可能} \\
&&\left( c\right) \ h\text{は}Z\text{上において微分可能}
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、先の命題より、合成関数\(h\circ g\circ f\)は\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( h\circ g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&h^{\prime
}\left( g\left( f\left( x\right) \right) \right) \cdot g^{\prime }\left(
f\left( x\right) \right) \cdot f^{\prime }\left( x\right) \\
&=&\left. \frac{dh\left( z\right) }{dz}\right\vert _{z=g\left( f\left(
x\right) \right) }\cdot \left. \frac{dg\left( y\right) }{dy}\right\vert
_{y=f\left( x\right) }\cdot \frac{df\left( x\right) }{dx}
\end{eqnarray*}を定めます。これが3つの関数の合成関数に関する連鎖公式です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は有理関数\(\frac{1}{x}\)と多項式関数\(2x^{5}-1\)と単項式関数\(x^{3}\)の合成関数であることに注意してください。有理関数\(\frac{1}{x}\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、多項式関数\(2x^{5}-1\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、単項式関数\(x^{3}\)は\(\mathbb{R} \)上で微分可能であるため、それらの合成関数である\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ 2\left( \frac{1}{x}\right)
^{5}-1\right] ^{3}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dz}z^{3}\right\vert _{z=2\left( \frac{1}{x}\right)
^{5}-1}\cdot \left. \frac{d}{dy}\left( 2y^{5}-1\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x}}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x}\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 3z^{2}\right\vert _{z=2\left( \frac{1}{x}\right) ^{5}-1}\cdot
\left. 10y^{4}\right\vert _{y=\frac{1}{x}}\cdot \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&3\left[ 2\left( \frac{1}{x}\right) ^{5}-1\right] ^{2}\cdot 10\left( \frac{1}{x}\right) ^{4}\cdot \left( -\frac{1}{x^{2}}\right) \\
&=&-30\left( \frac{2-x^{5}}{x^{5}}\right) ^{2}\cdot \frac{1}{x^{6}} \\
&=&-\frac{10\left( x+1\right) ^{4}}{\left( x-1\right) ^{6}}
\end{eqnarray*}を定めます。
4個以上の微分可能な関数の合成関数の微分についても同様に考えます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以上を踏まえたとき、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能であること、\(g\)は点\(f\left( 0\right) \)において右側微分可能であること、そして合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は点\(0\)において右側微分可能ではないことをそれぞれ証明してください。
f &:&\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset B\rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset C\rightarrow \mathbb{R} \\
i &:&\mathbb{R} \supset D\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。\(f\left( A\right) \subset B\)かつ\(g\left( B\right) \subset C\)かつ\(h\left(C\right) \subset D\)が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}i\circ h\circ g\circ f:\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。この合成関数に関する連鎖公式とはどのような主張でしょうか。記述してください（証明は不要です）。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】