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1変数関数の微分

片側微分を用いた微分可能性の判定

目次

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微分と片側微分の関係

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることとは、\(f\)の点\(a\)における微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されている場合、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能であることとは、\(f\)の点\(a\)における右側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されている場合、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X
\end{equation*}が成り立つ場合、\(f\)が点\(a\)において左側微分可能であることとは、\(f\)の点\(a\)における左側微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim\limits_{h\rightarrow 0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。

微分と片側微分の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。関数\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた場合、\(f\)は点の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)が点\(a\)において微分可能、右側微分可能、左側微分可能であるかそれぞれ検証できます。その上で、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能であり、なおかつ左右の微分係数が一致することとは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることと必要十分になります。しかもこの場合、\(f\)の点\(a\)における微分係数、右側微分係数、左側微分係数がいずれも一致します。

命題(微分と片側微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられているものとする。\(f\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。さらにこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(微分と片側微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) =1
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =1
\end{equation*}が成り立つはずです。実際、\begin{eqnarray*}
f^{\prime }\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( a+h\right) -a}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

 

片側微分を用いた微分可能性の判定

先の命題は関数が微分可能であるための必要十分条件を与えているため、関数が微分可能であることを片側微分を用いて判定できます。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より、\(f\)が点\(a\)において微分可能であることを示したことになります。しかもこの場合、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(片側微分を用いた微分可能性の判定)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-\left\vert x\right\vert & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left\vert x\right\vert & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}f\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right)
-f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left( -\left\vert 0+h\right\vert \right)
-\left( -\left\vert 0\right\vert \right) }{h}\quad \because h>0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{-\left\vert h\right\vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{-h}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となり、\begin{eqnarray*}
f\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right)
-f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert 0+h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h}\quad \because h<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-h}{h}\quad \because h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
f\left( 0+0\right) =f\left( 0-0\right) =-1
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(f\)は点\(0\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0\right) =-1
\end{equation*}が成り立ちます。

 

片側微分を用いた微分不可能性の判定

先の命題は関数が微分可能であるための必要十分条件を与えているため、関数が微分可能ではないことを片側微分を用いて判定できます。具体的には以下の通りです。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能ではないこと、または左側微分可能ではないことを示せば、先の命題より、\(f\)が点\(a\)において微分可能ではないことを示したことになります。

例(微分可能ではないことの判定)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{\left\vert 0+h\right\vert }-\sqrt{\left\vert 0\right\vert }}{h}\quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{\left\vert h\right\vert }}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{h}}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{1}{\sqrt{h}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではありません。したがって先の命題より、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および\(f\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)が与えられた状況において、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能である場合には、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) \not=f^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より、\(f\)が点\(a\)において微分可能ではないことを示したことになります。

例(微分可能ではないことの判定)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}f\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right)
-f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert 0+h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
f\left( 0-0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 0+h\right)
-f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert 0+h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-h}{h}\quad \because h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f\left( 0+0\right) \not=f\left( 0-0\right)
\end{equation*}を得ます。したがって先の命題より、\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

 

演習問題

問題(片側微分を用いた微分可能性の判定)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x+7\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(-7\in \mathbb{R} \)において微分可能でしょうか。議論してください。
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問題(片側微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
x^{2} & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x & \left( if\ x>0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能でしょうか。議論してください。
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問題(片側微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x-3\right\vert +x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能でしょうか。議論してください。
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