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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

片側微分を用いた微分可能性の判定

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微分と片側微分の関係

微分と片側微分の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。まず、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、以下の極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。つまり、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした場合、\(h\rightarrow 0\)のときに\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するならば、その極限を微分係数\(f^{\prime }\left( a\right) \)と呼ぶということです。

一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されているとともに、以下の右側極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。つまり、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした場合、\(h\rightarrow 0+\)のときに\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するならば、その右側極限を右側微分係数\(f^{\prime }\left( a+0\right) \)と呼ぶということです。

さらに、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において左側微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているとともに、以下の左側極限\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \end{equation*}が存在することを意味します。つまり、平均変化率\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left(a\right) }{h}\)を変数\(h\)に関する関数とみなした場合、\(h\rightarrow 0-\)のときに\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が有限な実数へ収束するならば、その左側極限を左側微分係数\(f^{\prime }\left( a-0\right) \)と呼ぶということです。

さて、関数の極限と片側極限の関係より、変数\(h\)に関する関数\(\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が\(h\rightarrow 0+\)のときに有限な実数へ収束するとともに、\(h\rightarrow 0-\)のときにも有限な実数へ収束し、なおかつ片側極限の間に、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}という関係が成り立つことは、関数\(\frac{f\left(a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\)が\(h\rightarrow 0\)のときに有限な実数へ収束するための必要十分条件です。しかもこのとき、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実と微分および片側微分の定義を踏まえると、微分可能性と片側微分可能性の関係を規定する以下の命題を得ます。

命題(微分と片側微分の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側微分可能かつ左側微分可能であり、なおかつ片側微分係数の間に、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。さらにこのとき、微分係数および片側微分係数の間には、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left(
a-0\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

 

片側微分を用いた微分可能性の判定

以上の命題より、関数の微分可能性に関する議論を片側微分可能性に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であることを示すためには、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに、右側微分係数と左側微分係数が一致することを示せばよいということです。しかも、その片側微分係数は微分係数と一致することが保証されます。

例(微分可能性の判定)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3-x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =f^{\prime }\left( a-0\right) =-2a
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において微分可能です。しかも、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-2a
\end{equation*}が成り立ちます。

 

片側微分を用いた微分不可能性の判定

関数\(f\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能であるとともに、左右の片側微分係数が一致する場合、そしてその場合にのみ、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが明らかになりました。したがって、\(f\)が点\(a\)において右側微分可能でない場合や左側微分可能でない場合には、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。

例(微分可能ではないことの判定)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{\left\vert x\right\vert }
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)の点\(0\)における平均変化率は、\(h>0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\sqrt{\left\vert
0+h\right\vert }-\sqrt{\left\vert 0\right\vert }}{h} \\
&=&\frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\frac{\sqrt{h}}{h} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{h}}\quad \because h>0
\end{eqnarray*}となるため、点\(0\)における右側微分係数は、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{1}{\sqrt{h}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は\(0\)において右側微分可能ではありません。したがって先の命題より\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。

関数\(f\)が点\(a\)において右側微分可能かつ左側微分可能であるものの、左右の片側微分係数が一致しない場合にも、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではないことが保証されます。

例(微分可能ではないことの判定)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x+7\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(-7\in \mathbb{R} \)において微分可能でしょうか。まず、\begin{eqnarray*}\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( -7+h\right) -f\left( -7\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert \left( -7+h\right) +7\right\vert
-\left\vert \left( -7\right) +7\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-h}{h}\quad \because h<0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -7-0\right) =-1
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( -7+h\right) -f\left( -7\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert \left( -7+h\right) +7\right\vert
-\left\vert \left( -7\right) +7\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\left\vert h\right\vert -\left\vert
0\right\vert }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
f^{\prime }\left( -7+0\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(f\)は点\(-7\)において片側微分可能であるものの、そこでの右側微分係数と左側微分係数は異なるため、先の命題より、\(f\)は点\(-7\)において微分可能ではありません。

 

演習問題

問題(片側微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能でしょうか。議論してください。
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問題(片側微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
x^{2} & \left( if\ x\leq 0\right) \\
x & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能でしょうか。議論してください。
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問題(片側微分係数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x-3\right\vert +x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能でしょうか。議論してください。
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次回は微分可能性と導関数について改めて整理します。

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