WIIS

教材一覧
教材一覧
教材検索
DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数の和の高階微分

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

高階微分可能な関数の和

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f,g\)が点\(a\)において\(n\)階微分可能であるか否かを検討できます。仮に\(f,g\)がともに点\(a\)において\(n\)階微分可能であるならば、そこでの\(n\)階微分係数に相当する有限な実数\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \\
g^{\left( n\right) }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。この場合、\(f+g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、そこでの\(n\)階微分係数が、\begin{equation*}(f+g)^{\left( n\right) }\left( a\right) =f^{\left( n\right) }\left( a\right)
+g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。これは\(n\)に関する数学的帰納法により証明されます。

命題(高階微分可能な関数の和)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能であるならば、\(f+g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であり、そこでの\(n\)階微分係数は、\begin{equation*}(f+g)^{\left( n\right) }\left( a\right) =f^{\left( n\right) }\left( a\right)
+g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、点\(a\)において\(n\)階微分可能な関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f,g\)の\(n\)階微分係数を足せば、点\(a\)における\(f+g\)の\(n\)階微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の高階微分可能性を検討する際には、高階微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それらが高階微分可能であることを確認すればよいということになります。

例(高階微分可能な関数の和)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がともに\(n\)階微分可能であるものとします。すると先の命題より関数\(f+g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(n\)階微分可能であり、その\(n\)階導関数\(\left( f+g\right) ^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) ^{\left( n\right) }\left( x\right) =f^{\left( n\right)
}\left( x\right) +g^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) },g^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f,g\)の\(n\)階導関数です。
例(高階微分可能な関数の和)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right) +\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数\(\sin \left( x\right) \)は\(n\)階微分であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\sin \left( x\right) & \left( if\ n=2m\right) \\
\left( -1\right) ^{m+1}\cos \left( x\right) & \left( if\ n=2m-1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。また、余弦関数\(\cos \left( x\right) \)も\(n\)階微分であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\sin \left( x\right) & \left( if\ n=2m-1\right) \\
\left( -1\right) ^{m}\cos \left( x\right) & \left( if\ n=2m\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、\(f\)の\(n\)階導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[ \sin
\left( x\right) +\cos \left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) +\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left(
x\right) \quad \because \text{高階微分可能な関数の和} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\sin \left( x\right) +\left( -1\right) ^{m}\cos \left(
x\right) & \left( if\ n=2m\right) \\
\left( -1\right) ^{m+1}\cos \left( x\right) +\left( -1\right) ^{m}\sin
\left( x\right) & \left( if\ n=2m-1\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\left[ \sin \left( x\right) +\cos \left( x\right) \right] & \left( if\ n=2m\right) \\
\left( -1\right) ^{m}\left[ \sin \left( x\right) -\cos \left( x\right) \right] & \left( if\ n=2m-1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。

 

高階微分可能な関数の差

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f,g\)が点\(a\)において\(n\)階微分可能であるか否かを検討できます。このとき、\begin{equation*}f\left( x\right) -g\left( x\right) =f\left( x\right) +\left[ -g\left(
x\right) \right] \end{equation*}という関係が成り立つため、関数\(f,g\)がともに点\(a\)において\(n\)階微分可能である場合、高階微分可能な関数の定数倍および和の高階微分可能性に関する命題より、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分であることが保証されます。

命題(高階微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)と\(g\)がともに定義域の点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能であるならば、\(f-g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であり、そこでの\(n\)階微分係数は、\begin{equation*}(f-g)^{\left( n\right) }\left( a\right) =f^{\left( n\right) }\left( a\right)
-g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(高階微分可能な関数の差)
関数\(f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がともに\(n\)階微分可能であるものとします。すると先の命題より関数\(f-g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(n\)階微分可能であり、その\(n\)階導関数\(\left( f-g\right) ^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) ^{\left( n\right) }\left( x\right) =f^{\left( n\right)
}\left( x\right) -g^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) },g^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f,g\)の\(n\)階導関数です。
例(高階微分可能な関数の差)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}-\log x
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(e^{x}\)は\(n\)階微分可能であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}=e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。また、関数\(\log x\)もまた\(n\)階微分可能であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\log x=\frac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !}{x^{n}} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、\(f\)の\(n\)階導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[
e^{x}-\log x\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}-\frac{d^{n}}{dx^{n}}\log x\quad \because \text{高階微分可能な関数の差} \\
&=&e^{x}-\frac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !}{x^{n}}\quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。

次回は高階微分可能な関数の和として定義される関数の高階微分可能性について解説します。

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
RELATED KNOWLEDGE

関連知識

関数の和
関数の和の微分

微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた微分可能です。

関数の差
関数の差の微分

微分可能な関数どうしの差として定義される関数もまた微分可能です。

高階の微分
関数の高階微分

関数の導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られますがこれを2階の導関数と呼びます。同様に、3階の導関数、4階の導関数なども定義可能です。これらを高階の導関数と呼びます。

関数の定数倍
関数の定数倍の高階微分

高階微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の定数倍と一致します。

関数の和
関数の和の極限

収束する関数どうしの和として得られる関数もまた収束し、新たな関数の極限はもとの関数の極限の和になります。また、このような関係は無限極限に関しても拡張可能です。

連続微分可能性
関数の連続微分可能性

関数が微分可能であることに加えて導関数が連続である場合、その関数は連続微分可能であると言います。連続微分可能な関数は微分可能ですが、その逆は成立するとは限りません。

関数の和
関数の和の連続性

連続な関数どうしの和として定義される関数もまた連続です。同様に、片側連続(右側連続・左側連続)な関数どうしの和として定義される関数もまた片側連続です。

DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関数の微分