高階微分可能な関数の和
定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f,g\)が点\(a\)において\(n\)階微分可能であるか否かを検討できます。仮に\(f,g\)がともに点\(a\)において\(n\)階微分可能であるならば、そこでの\(n\)階微分係数に相当する有限な実数\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \\
g^{\left( n\right) }\left( a\right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が存在します。この場合、\(f+g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、そこでの\(n\)階微分係数が、\begin{equation*}(f+g)^{\left( n\right) }\left( a\right) =f^{\left( n\right) }\left( a\right)
+g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}として定まることが保証されます。これは\(n\)に関する数学的帰納法により証明されます。
+g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
つまり、点\(a\)において\(n\)階微分可能な関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f,g\)の\(n\)階微分係数を足せば、点\(a\)における\(f+g\)の\(n\)階微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の高階微分可能性を検討する際には、高階微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)を分けた上で、それらが高階微分可能であることを確認すればよいということになります。
}\left( x\right) +g^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) },g^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f,g\)の\(n\)階導関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数\(\sin \left( x\right) \)は\(n\)階微分であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\sin \left( x\right) & \left( if\ n=2m\right) \\
\left( -1\right) ^{m+1}\cos \left( x\right) & \left( if\ n=2m-1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。また、余弦関数\(\cos \left( x\right) \)も\(n\)階微分であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\sin \left( x\right) & \left( if\ n=2m-1\right) \\
\left( -1\right) ^{m}\cos \left( x\right) & \left( if\ n=2m\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、\(f\)の\(n\)階導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[ \sin
\left( x\right) +\cos \left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) +\frac{d^{n}}{dx^{n}}\cos \left(
x\right) \quad \because \text{高階微分可能な関数の和} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\sin \left( x\right) +\left( -1\right) ^{m}\cos \left(
x\right) & \left( if\ n=2m\right) \\
\left( -1\right) ^{m+1}\cos \left( x\right) +\left( -1\right) ^{m}\sin
\left( x\right) & \left( if\ n=2m-1\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\left[ \sin \left( x\right) +\cos \left( x\right) \right] & \left( if\ n=2m\right) \\
\left( -1\right) ^{m}\left[ \sin \left( x\right) -\cos \left( x\right) \right] & \left( if\ n=2m-1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。
高階微分可能な関数の差
定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f,g\)が点\(a\)において\(n\)階微分可能であるか否かを検討できます。このとき、\begin{equation*}f\left( x\right) -g\left( x\right) =f\left( x\right) +\left[ -g\left(
x\right) \right]
\end{equation*}という関係が成り立つため、関数\(f,g\)がともに点\(a\)において\(n\)階微分可能である場合、高階微分可能な関数の定数倍および和の高階微分可能性に関する命題より、関数\(f-g\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分であることが保証されます。
-g^{\left( n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
}\left( x\right) -g^{\left( n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) },g^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f,g\)の\(n\)階導関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(e^{x}\)は\(n\)階微分可能であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}=e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。また、関数\(\log x\)もまた\(n\)階微分可能であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\log x=\frac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !}{x^{n}} \quad \cdots (2)
\end{equation}となります。したがって、\(f\)の\(n\)階導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[
e^{x}-\log x\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}-\frac{d^{n}}{dx^{n}}\log x\quad \because \text{高階微分可能な関数の差} \\
&=&e^{x}-\frac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !}{x^{n}}\quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。
次回は高階微分可能な関数の和として定義される関数の高階微分可能性について解説します。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】