正接関数（tan関数）の高階微分とマクローリン展開

正接関数の高階微分

正接関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であるとともに、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。

正接関数\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\tan \left( x\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{\cos ^{2}\left( x\right) }\quad \because \text{正接関数の微分} \\
&=&1+\tan ^{2}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

正接関数の導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\quad \because f^{\prime \prime }\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] \quad \because
f^{\prime }\left( x\right) =1+\tan ^{2}\left( x\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( 1+y^{2}\right) \right\vert _{y=\tan \left(
x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 2y\right\vert _{y=\tan \left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\tan
\left( x\right) \\
&=&2\tan \left( x\right) \left[ 1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] \\
&=&2\tan \left( x\right) +2\tan ^{3}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

正接関数の2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であり、3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime
}\left( x\right) \quad \because f^{\prime \prime \prime }\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ 2\tan \left( x\right) +2\tan ^{3}\left( x\right) \right] \quad \because f^{\prime \prime }\left( x\right) =2\tan \left(
x\right) +2\tan ^{3}\left( x\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( 2y+2y^{3}\right) \right\vert _{y=\tan \left(
x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 2+6y^{2}\right\vert _{y=\tan \left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) \\
&=&\left[ 2+6\tan ^{2}\left( x\right) \right] \left[ 1+\tan ^{2}\left(
x\right) \right] \\
&=&2+8\tan ^{2}\left( x\right) +6\tan ^{4}\left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

正接関数の3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は微分可能であり、4階導関数\(f^{\left( 4\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime \prime
}\left( x\right) \quad \because f^{\left( 4\right) }\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ 2+8\tan ^{2}\left( x\right) +6\tan ^{4}\left( x\right) \right] \quad \because f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) =2+8\tan
^{2}\left( x\right) +6\tan ^{2}\left( x\right) \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\left( 2+8y^{2}+6y^{4}\right) \right\vert _{y=\tan
\left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. 16y+24y^{3}\right\vert _{y=\tan \left( x\right) }\cdot \frac{d}{dx}\tan \left( x\right) \\
&=&\left[ 16\tan \left( x\right) +24\tan ^{3}\left( x\right) \right] \left[
1+\tan ^{2}\left( x\right) \right] \\
&=&16\tan \left( x\right) +40\tan ^{3}\left( x\right) +24\tan ^{5}\left(
x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

以降についても同様です。つまり、以上の要領で計算を行うことにより、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、正接関数の\(n\)階導関数を\(\tan \left( x\right) \)だけを用いて表現できます。さらに、\(n\)階導関数を合成関数の微分を用いて微分することにより、\(n+1\)階導関数もまた\(\tan \left( x\right) \)だけを用いて表現できます。

正接関数のマクローリン展開

正弦関数\(\sin \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はマクローリン展開可能であり、点\(0\)とは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}\cdot x^{2k+1}}{\left( 2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}が成り立ちます。

余弦関数\(\cos \left( x\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はマクローリン展開可能であり、点\(0\)とは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}\cos \left( x\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\cos \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \left( -1\right) ^{k}\frac{x^{2k}}{\left(
2k\right) !}\right] \end{eqnarray*}が成り立ちます。

正接関数はマクローリン展開可能でしょうか。まずは以下の命題を示します。

任意の\(x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation}\tan \left( x\right) =\sin \left( x\right) \left\{ 1+\left[ 1-\cos \left(
x\right) \right] +\left[ 1-\cos \left( x\right) \right] ^{2}+\left[ 1-\cos
\left( x\right) \right] ^{3}+\cdots \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことが明らかになりました。\(x\)は\(0\)とは異なる点であるため、正弦関数および余弦関数のマクローリン展開もまた適用可能であり、\begin{eqnarray}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \quad \cdots (2) \\
\cos \left( x\right) &=&1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。\(\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)を\(\left( 1\right) \)に代入すれば正接関数を無限級数として表現できます。以上より、\(\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\backslash \left\{ 0\right\} \)上の点\(x\)に対しては、正接関数\(\tan \left(x\right) \)もまたマクローリン展開可能であることが明らかになりました。

演習問題