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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

正弦関数(sin関数)の高階微分とテイラー展開(マクローリン展開)

目次

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正弦関数の高階微分

正弦関数は全区間上に定義可能であるため、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。正弦関数は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めます。導関数\(f^{\prime }\)も微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\left( \cos \left( x\right) \right)
^{\prime } \\
&=&-\sin \left( x\right) \quad \because \text{余弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。導関数\(f^{\prime \prime }\)も微分可能であり、3階導関数\(f^{\prime \prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\left( -\sin \left( x\right)
\right) ^{\prime } \\
&=&-\left( \sin \left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\left( \cos \left( x\right) \right) \quad \because \text{正弦関数の微分} \\
&=&-\cos \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。導関数\(f^{\prime \prime \prime }\)も微分可能であり、4階導関数\(f^{\left( 4\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\left( -\cos \left( x\right) \right)
^{\prime } \\
&=&-\left( \cos \left( x\right) \right) ^{\prime }\quad \because \text{微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-\left( -\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{余弦関数の微分} \\
&=&\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、4階導関数\(f^{\left( 4\right) }\)は当初の関数\(f\)と一致するため、以降は同じパターンの繰り返しです。

命題(正弦関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は\(C^{\infty }\)級であり、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)である。

証明

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以上の命題を踏まえると、正弦関数の高階導関数を以下のようにシンプルに表現することもできます。

命題(正弦関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は\(C^{\infty }\)級であり、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =\sin \left( x+\frac{n\pi }{2}\right)
\end{equation*}を定める。

証明

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正弦関数に関するテイラーの定理

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)は全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された\(C^{\infty }\)級の関数であり、\(n\)階の導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =\sin \left( x+\frac{n\pi }{2}\right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。\(f\)はテイラーの定理が要求する条件を満たしているため、点\(a\in \mathbb{R} \)とそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
a+\theta \left( x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}という関係を満たす実数\(\theta \in \left( 0,1\right) \)が存在することが保証されます。ただし、\(P_{n-1,a}\left(x\right) \)は\(f\)の点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式であり、\begin{eqnarray*}P_{n-1,a}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{f^{\left( k\right)
}\left( a\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \quad \because
\text{テイラー近似多項式の定義} \\
&=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{\sin \left( a+\frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\sin \left( a\right) +\sin \left( a+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left(
x-a\right) +\frac{\sin \left( a+\pi \right) }{2}\cdot \left( x-a\right)
^{2}+\cdots +\frac{\sin \left( a+\frac{\left( n-1\right) \pi }{2}\right) }{\left( n-1\right) !}\cdot \left( x-a\right) ^{n-1}
\end{eqnarray*}となります。また、点\(a\)における\(n\)次のラグランジュの剰余項は、\begin{equation*}\frac{f^{\left( n\right) }\left( a+\theta \left( x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}=\frac{\sin \left( a+\theta \left( x-a\right) +\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}\quad \because \left( 1\right)
\end{equation*}となります。得られた結果を命題としてまとめます。

命題(正弦関数に関するテイラーの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)とそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{\sin \left( a+\frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] +\frac{\sin \left( a+\theta
\left( x-a\right) +\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。

点\(0\)は正弦関数の定義域である全区間\(\mathbb{R} \)の内点であるため、正弦関数にマクローリンの定理を適用することもできます。

命題(正弦関数に関するマクローリンの定理)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n-1}\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] +\frac{\sin \left( \theta x+\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n} \\
&=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots +\frac{\sin
\left( \theta x+\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n}
\end{eqnarray*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。
証明

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正弦関数に関するテイラー展開

正弦関数はテイラーの定理が適用可能であるだけでなく、テイラー展開も可能です。まずはマクローリン展開可能であることを示します。

命題(正弦関数に関するマクローリン展開)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi
}{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \left( -1\right) ^{k}\frac{x^{2k+1}}{\left(
2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立つ。

証明

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テイラー展開可能性の証明も同様です。

命題(正弦関数に関するテイラー展開)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)とそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( a+\frac{k\pi
}{2}\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{equation*}という関係が成り立つ。

 

テイラーの定理を用いて数の近似値を求める

正弦関数\(\sin \left( x\right) \)のマクローリン近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi
}{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots +\frac{\sin
\left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n}
\end{eqnarray*}であり、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において、\begin{equation*}e^{x}\approx P_{n,0}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立ちます。\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなりますが、\(\sin \left( x\right) \)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、ゼロとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \left( -1\right) ^{k}\frac{x^{2k+1}}{\left(
2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

例(正弦の近似)
正弦関数\(\sin \left( x\right) \)のマクローリン近似多項式より、\(\sin \left( 1\right) \)の\(n\)次のマクローリン近似多項式は、\begin{equation*}P_{n,0}\left( 1\right) =\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\right] \end{equation*}となります。したがって、\begin{eqnarray*}
P_{1,0}\left( 1\right) &=&\frac{\sin \left( 0\right) }{0!}+\frac{\sin
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}=1 \\
P_{2,0}\left( 1\right) &=&\frac{\sin \left( 0\right) }{0!}+\frac{\sin
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\sin \left( \pi \right) }{2!}=1 \\
P_{3,0}\left( 1\right) &=&\frac{\sin \left( 0\right) }{0!}+\frac{\sin
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\sin \left( \pi \right) }{2!}+\frac{\sin \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}=0.8333 \\
P_{4,0}\left( 1\right) &=&\frac{\sin \left( 0\right) }{0!}+\frac{\sin
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\sin \left( \pi \right) }{2!}+\frac{\sin \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}+\frac{\sin \left( 2\pi \right) }{4!}=0.8333 \\
P_{5,0}\left( 1\right) &=&\frac{\sin \left( 0\right) }{0!}+\frac{\sin
\left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\sin \left( \pi \right) }{2!}+\frac{\sin \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}+\frac{\sin \left( 2\pi \right) }{4!}+\frac{\sin \left( \frac{5\pi }{2}\right) }{5!}=0.84167 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。さらに、\(\sin \left( 1\right) \)のマクローリン級数は、\begin{eqnarray*}\sin \left( 1\right) &=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \left( -1\right) ^{k}\frac{1}{\left( 2k+1\right) !}\right] \\
&=&1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\cdots \\
&=&0.84147
\end{eqnarray*}となります。

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