正弦関数の高階微分
正弦関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。
正弦関数\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( x\right) \quad \because \text{正弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
正弦関数の導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は余弦関数であるため微分可能であり、2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime }\left( x\right)
\quad \because f^{\prime \prime }\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \quad \because f^{\prime }\left(
x\right) =\cos \left( x\right) \\
&=&-\sin \left( x\right) \quad \because \text{余弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
正弦関数の2階導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は正弦関数の定数倍であるため微分可能であり、3階導関数\(f^{\left(3\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( 3\right) }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\prime \prime }\left(
x\right) \quad \because f^{\left( 3\right) }\text{の定義}
\\
&=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left( x\right) \right] \quad \because f^{\prime
\prime }\left( x\right) =-\sin \left( x\right) \\
&=&-\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) \quad \because \text{関数の定数倍の微分} \\
&=&-\cos \left( x\right) \quad \because \text{正弦関数の微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
正弦関数の3階導関数\(f^{\left( 3\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は余弦関数の定数倍であるため微分可能であり、4階導関数\(f^{\left(4\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}f^{\left( 3\right)
}\left( x\right) \quad \because f^{\left( 4\right) }\text{の定義} \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left( x\right) \right] \quad \because f^{\left(
3\right) }\left( x\right) =-\cos \left( x\right) \\
&=&-\frac{d}{dx}\cos \left( x\right) \quad \because \text{関数の定数倍の微分} \\
&=&-\left[ -\sin \left( x\right) \right] \quad \because \text{余弦関数の微分} \\
&=&\sin \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。4階導関数\(f^{\left( 4\right) }\)は当初の関数\(f\)と一致するため、以降は同じパターンの繰り返しです。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は\(C^{\infty }\)級であり、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。ただし、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)である。
以上の命題をもう少しシンプルに表現できます。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)は\(C^{\infty }\)級であり、\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) =\sin \left( x+\frac{n\pi }{2}\right)
\end{equation*}を定める。
正弦関数のテイラー近似多項式（マクローリン近似多項式）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において\(n\)階微分可能である場合、点\(a\)における関数\(f\)の\(n\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&f\left( a\right) +f^{\prime }\left( a\right)
\cdot \left( x-a\right) +\frac{f^{\prime \prime }\left( a\right) }{2!}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\frac{f^{\left( n\right) }\left( a\right) }{n!}\cdot \left( x-a\right) ^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{f^{\left( k\right) }\left( a\right) }{k!}\cdot
\left( x-a\right) ^{k}\right]
\end{eqnarray*}と定義されます。
先に明らかになったように、正弦関数は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において\(C^{\infty }\)級であるため、テイラー近似多項式が定義可能です。具体的には以下の通りです。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\(f\)の点\(a\)における\(n\)次のテイラー近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,a}\left( x\right) &=&\sin \left( a\right) +\sin \left( a+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{\sin \left( a+\pi \right) }{2!}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\frac{\sin \left( a+\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}\cdot \left( x-a\right) ^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\sin \left( a+\frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{eqnarray*}P_{1,a}\left( x\right) &=&\sin \left( a\right) +\sin \left( a+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-a\right) \\
P_{2,a}\left( x\right) &=&\sin \left( a\right) +\sin \left( a+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{\sin \left( a+\pi \right) }{2!}\cdot
\left( x-a\right) ^{2} \\
P_{3,a}\left( x\right) &=&\sin \left( a\right) +\sin \left( a+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{\sin \left( a+\pi \right) }{2!}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}+\frac{\sin \left( a+\frac{3\pi }{2}\right) }{3!}\cdot
\left( x-a\right) ^{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、この関数\(f\)の点\(0\)における\(n\)次のテイラー近似多項式、すなわちマクローリン近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&\sin \left( 0\right) +\sin \left( 0+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-0\right) +\frac{\sin \left( 0+\pi \right) }{2!}\cdot
\left( x-0\right) ^{2}+\cdots +\frac{\sin \left( 0+\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}\cdot \left( x-0\right) ^{n} \\
&=&\sin \left( 0\right) +\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \cdot x+\frac{\sin \left( \pi \right) }{2!}\cdot x^{2}+\cdots +\frac{\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!}\cdot x^{n} \\
&=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots +\frac{\sin
\left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot
x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}\cdot x^{2k+1}}{\left(
2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
P_{1,0}\left( x\right) &=&\sin \left( 0\right) +\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \cdot x=x \\
P_{2,0}\left( x\right) &=&\sin \left( 0\right) +\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \cdot x+\frac{\sin \left( \pi \right) }{2}\cdot x^{2}=x \\
P_{3,0}\left( x\right) &=&\sin \left( 0\right) +\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \cdot x+\frac{\sin \left( \pi \right) }{2}\cdot x^{2}+\frac{\sin
\left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}\cdot x^{3}=x-\frac{x^{3}}{3!} \\
P_{4,0}\left( x\right) &=&\sin \left( 0\right) +\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) \cdot x+\frac{\sin \left( \pi \right) }{2}\cdot x^{2}+\frac{\sin
\left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}\cdot x^{3}+\frac{\sin \left( \frac{4\pi
}{2}\right) }{4!}\cdot x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
正弦関数に関するテイラーの定理（マクローリンの定理）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が区間\(I\)において\(n\)階微分可能である場合にはテイラーの定理が成立するため、定義域の内点\(a\in I^{i}\)およびそれとは異なる定義域上の点\(x\in I\backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{f^{\left( n\right) }\left(
a+\theta \left( x-a\right) \right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在することが保証されます。ただし、\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式です。
先に明らかになったように、全区間\(\mathbb{R} \)上に定義された正弦関数はテイラーの定理が要求する条件を満たすため以下を得ます。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)およびそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,a}\left( x\right) +\frac{\sin \left( a+\theta
\left( x-a\right) +\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}\left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。ただし、\(P_{n-1,a}\left( x\right) \)は点\(a\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式であり、\begin{equation*}P_{n-1,a}\left( x\right) =\sin \left( a\right) +\sin \left( a+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{\sin \left( a+\pi \right) }{2!}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\frac{\sin \left( a+\frac{\left( n-1\right)
\pi }{2}\right) }{\left( n-1\right) !}\cdot \left( x-a\right) ^{n-1}
\end{equation*}である。
以上の命題より、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,a}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sin \left( x\right) \approx \sin \left( a\right) +\sin \left( a+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{\sin \left( a+\pi \right) }{2!}\cdot \left( x-a\right) ^{2}+\cdots +\frac{\sin \left( a+\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}\cdot \left( x-a\right) ^{n}
\end{equation*}という近似関係が成り立つとともに、\(n\)を大きくするほど近似の精度が高くなることが明らかになりました。
点\(0\)は正弦関数の定義域である全区間\(\mathbb{R} \)の内点であるため、正弦関数にマクローリンの定理を適用できます。すると以下を得ます。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(0\)とは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f\left( x\right) =P_{n-1,0}\left( x\right) +\frac{\sin \left( \theta x+\frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n}
\end{equation*}を満たす実数\(\theta \in \left(0,1\right) \)が存在する。ただし、\(P_{n-1,0}\left( x\right) \)は点\(0\)における\(n-1\)次のテイラー近似多項式であり、\begin{equation*}P_{n-1,0}\left( x\right) =x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots +\frac{\sin \left( \frac{\left( n-1\right) \pi }{2}\right) }{\left(
n-1\right) !}x^{n-1}
\end{equation*}である。
以上の命題より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) \approx P_{n,0}\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\sin \left( x\right) \approx x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots +\frac{\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n}
\end{equation*}という近似関係が成り立つとともに、\(n\)を大きくするほど近似の精度が高くなることが明らかになりました。
正弦関数のテイラー展開（マクローリン展開）
正弦関数はテイラーの定理が適用可能であるだけでなく、テイラー展開も可能です。まずはマクローリン展開可能であることを示します。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(0\)とは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}\cdot x^{2k+1}}{\left( 2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立つ。
テイラー展開可能性の証明も同様です。
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)およびそれとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\sin \left( a\right) +\sin \left( a+\frac{\pi }{2}\right) \cdot \left( x-a\right) +\frac{\sin \left( a+\pi \right) }{2}\cdot
\left( x-a\right) ^{2}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( a+\frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot \left( x-a\right) ^{k}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立つ。
マクローリン展開を用いて数の近似値を求める
正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の\(n\)次のマクローリン近似多項式は、\begin{eqnarray*}P_{n,0}\left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots +\frac{\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!}x^{n} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot
x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}\cdot x^{2k+1}}{\left(
2k+1\right) !}\right]
\end{eqnarray*}であるとともに、マクローリンの定理より、点\(0\)の周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)において、\begin{equation*}\sin \left( x\right) \approx P_{n,0}\left( x\right)
\end{equation*}という近似式が成り立つことが明らかになりました。\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなりますが、\(\sin \left( x\right) \)はマクローリン展開可能であるため、究極的には、ゼロとは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}\cdot x^{2k+1}}{\left( 2k+1\right) !}\right]
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことが明らかになりました。
以上の議論において\(x\)の値を具体的に指定することにより、正弦\(\sin \left( x\right) \)の近似値を求めることができます。
&=&x-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\cdots +\frac{\sin \left( \frac{n\pi }{2}\right) }{n!} \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{n}\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}}{\left( 2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}という近似関係が成り立つとともに、\(n\)が大きくなるほど近似の精度が高くなります。加えて、\(\sin \left( x\right) \)はマクローリン展開可能であるため、点\(0\)とは異なる点である点\(1\)において、\begin{eqnarray*}\sin \left( 1\right) &=&1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}}{\left(
2k+1\right) !}\right] \end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\sin \left( 1\right) &\approx &P_{1,0}\left( 1\right) =\frac{\sin \left(
0\right) }{0!}+\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}=1 \\
\sin \left( 1\right) &\approx &P_{2,0}\left( 1\right) =\frac{\sin \left(
0\right) }{0!}+\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\sin
\left( \pi \right) }{2!}=1 \\
\sin \left( 1\right) &\approx &P_{3,0}\left( 1\right) =\frac{\sin \left(
0\right) }{0!}+\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\sin
\left( \pi \right) }{2!}+\frac{\sin \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}=0.8333 \\
\sin \left( 1\right) &\approx &P_{4,0}\left( 1\right) =\frac{\sin \left(
0\right) }{0!}+\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\sin
\left( \pi \right) }{2!}+\frac{\sin \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}+\frac{\sin \left( 2\pi \right) }{4!}=0.8333 \\
\sin \left( 1\right) &\approx &P_{5,0}\left( 1\right) =\frac{\sin \left(
0\right) }{0!}+\frac{\sin \left( \frac{\pi }{2}\right) }{1!}+\frac{\sin
\left( \pi \right) }{2!}+\frac{\sin \left( \frac{3\pi }{2}\right) }{3!}+\frac{\sin \left( 2\pi \right) }{4!}+\frac{\sin \left( \frac{5\pi }{2}\right) }{5!}=0.84167 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という近似関係が成り立つとともに、究極的には、\begin{eqnarray*}
\sin \left( 1\right) &=&1-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\cdots \\
&=&0.84147
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(1\)の単位はラジアンです。
マクローリン展開を用いて関数の極限を求める
正弦関数\(\sin \left( x\right) \)はマクローリン展開可能であり、点\(0\)とは異なる点\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\sin \left( x\right) &=&x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\sin \left( \frac{k\pi }{2}\right) }{k!}\cdot x^{k}\right] \\
&=&\sum_{k=0}^{\infty }\left[ \frac{\left( -1\right) ^{k}}{\left(
2k+1\right) !}\right]
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことが明らかになりました。
関数\(f\)が正弦関数を含む関数である場合、以上の関係を用いることにより\(f\)を多項式関数や有理関数へ変換できます。したがって、そのような関数\(f\)の極限を求める際には、それを多項式関数や有理関数の極限に関する問題へ帰着させることができます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)とは異なる任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{\sin \left( x\right) -x+\frac{x^{3}}{6}}{x^{5}} \\
&=&\frac{1}{x^{5}}\left[ \left( x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \right) -x+\frac{x^{3}}{6}\right] \\
&=&\frac{1}{x^{5}}\left( \frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \right) \\
&=&\left( \frac{1}{5!}-\frac{x^{2}}{7!}+\cdots \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{5!}-\frac{x^{2}}{7!}+\cdots \right) \\
&=&\frac{1}{5!} \\
&=&\frac{1}{120}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階の導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)はマクローリン展開可能でしょうか。可能であるならばそれを具体的に求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。マクローリン展開を用いて以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right)
\end{equation*}を求めてください。
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