高階微分可能な関数の定数倍
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において\(n\)階微分可能ならば、\(cf\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、両者の\(n\)階微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right) =cf^{\left( n\right)
}\left( a\right)
\end{equation*}が成立します。
したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の高階微分可能性を検討する際には、高階微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が高階微分可能であることを確認すればよいということになります。さらに、関数\(f\)が高階微分可能である場合、\(f\)の高階微分係数の定数\(c\)倍をとれば、関数\(cf\)の高階微分係数が得られます。
命題（高階微分可能な関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において\(n\)階微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であり、そこでの\(n\)階微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right) =cf^{\left( n\right)
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
例（高階微分可能な関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。すると先の命題より\(cf\)もまた\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに、\(n\)階導関数\(\left( cf\right) ^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\left( n\right) }\left( x\right) =cf^{\left( n\right)
}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f\)の\(n\)階導関数です。
}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f\)の\(n\)階導関数です。
例（高階微分可能な関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(
-e^{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-e^{x}\quad \because \text{指数関数の高階微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(
-e^{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-e^{x}\quad \because \text{指数関数の高階微分}
\end{eqnarray*}を定めます。
例（高階微分可能な関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cos \left(
x\right) =-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\(f\)の\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[ -\sin
\left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) \quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cos \left(
x\right) =-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\(f\)の\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[ -\sin
\left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) \quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
演習問題
問題（高階微分可能な関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。
問題（高階微分可能な関数の定数倍）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{\log \left( 1+x\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。
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