関数の定数倍の高階微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において\(n\)階微分可能であるならば、\(cf\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であり、そこでの\(n\)階微分係数は、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right) =cf^{\left( n\right)
}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。すると先の命題より\(cf\)もまた\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに、\(n\)階導関数\(\left( cf\right) ^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) ^{\left( n\right) }\left( x\right) =cf^{\left( n\right)
}\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f\)の\(n\)階導関数です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(
-e^{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}\quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&-e^{x}\quad \because \text{指数関数の高階微分}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数に関しては、\begin{eqnarray*}
\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cos \left(
x\right) =-\sin \left( x\right) \\
\frac{d^{3}}{dx^{3}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\sin \left(
x\right) \right] =-\cos \left( x\right) \\
\frac{d^{4}}{dx^{4}}\sin \left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ -\cos \left(
x\right) \right] =\sin \left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となるため、\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。以上を踏まえると、\(f\)の\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[ -\sin
\left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) \quad \because \text{定数倍の法則} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
-\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m\right) \\
-\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+1\right) \\
\sin \left( x\right) & \left( if\ n=4m+2\right) \\
\cos \left( x\right) & \left( if\ n=4m+3\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{\log \left( 1+x\right) }{\pi }
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。