高階微分可能な関数の定数倍
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\(c\cdot f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において\(n\)階微分可能であるか否かを検討できます。仮に\(f\)が点\(a\)において\(n\)階微分可能であるならば、そこでの\(n\)階微分係数に相当する有限な実数\begin{equation*}f^{\left( n\right) }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が存在します。この場合、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、そこでの\(n\)階微分係数が、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) ^{\left( n\right) }\left( a\right) =c\cdot f^{\left(
n\right) }\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}として定まることが保証されます。これは\(n\)に関する数学的帰納法により証明されます。
n\right) }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす。
つまり、点\(a\)において\(n\)階微分可能な関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されるとともに、点\(a\)における\(f\)の\(n\)階微分係数を\(c\)倍すれば、点\(a\)における\(c\cdot f\)の\(n\)階微分係数が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(c\cdot f\)の高階微分可能性を検討する際には、高階微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が高階微分可能であることを確認すればよいということになります。
n\right) }\left( x\right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(f\)の\(n\)階導関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(e^{x}\)は\(n\)階微分であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}=e^{x} \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、\(f\)の\(n\)階導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(
-e^{x}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}e^{x}\quad \because \text{高階微分可能な関数の定数倍} \\
&=&-e^{x}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。正弦関数\(\sin \left( x\right) \)は\(n\)階微分であり、その\(n\)階導関数は、\begin{equation}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m}\sin \left( x\right) & \left( if\ n=2m\right) \\
\left( -1\right) ^{m+1}\cos \left( x\right) & \left( if\ n=2m-1\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。ただし\(m\in \mathbb{N} \)です。したがって、\(f\)の\(n\)階導関数は、\begin{eqnarray*}f^{\left( n\right) }\left( x\right) &=&\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[ -\sin
\left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \left( x\right) \quad \because \text{高階微分可能な関数の定数倍} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
\left( -1\right) ^{m+1}\sin \left( x\right) & \left( if\ n=2m\right) \\
\left( -1\right) ^{m}\cos \left( x\right) & \left( if\ n=2m-1\right)
\end{array}\right. \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の\(n\)階導関数を求めてください。
次回は高階微分可能な関数の和として定義される関数の高階微分可能性について解説します。
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