サイクロイドの微分

サイクロイドの媒介変数表示

平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在するサイクロイドの媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
y=r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(r\not=0\)はサイクロイドを生成する動円の半径です。

サイクロイド上の点の\(x\)座標を特定する関数\(x:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dx}{dt} &=&\frac{d}{dt}r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
&=&\frac{d}{dt}rt-\frac{d}{dt}r\sin \left( t\right) \\
&=&r-r\cos \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。

サイクロイド上の点の\(y\)座標を特定する関数\(y:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は\(C^{1}\)級であるとともに、その導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{d}{dt}r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \\
&=&\frac{d}{dt}r-\frac{d}{dt}r\cos \left( t\right) \\
&=&0+r\sin \left( t\right) \\
&=&r\sin \left( t\right)
\end{eqnarray*}です。

以上より、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{r\sin \left( t\right) }{r-r\cos \left( t\right) } \\
&=&\frac{\sin \left( t\right) }{1-\cos \left( t\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)は媒介変数\(t\)に関する関数であり、その定義域は、\begin{eqnarray*}\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\} &=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( t\right) \not=1\right\} \\
&=&\left\{ t\in \mathbb{R} \ |\ \forall z\in \mathbb{Z} :t\not=2\pi z\right\}
\end{eqnarray*}です。

サイクロイドの接線の傾きの大きさ

サイクロイドの媒介変数表示\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
y=r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。\(y\)の\(x\)に関する導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\in \mathbb{R} \)において定義されている場合には、すなわち、\begin{equation*}t_{0}\not=2\pi z\quad \left( z\in \mathbb{Z} \right)
\end{equation*}である場合には、微分係数\begin{equation*}
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}=\frac{\sin \left( t_{0}\right) }{1-\cos
\left( t_{0}\right) }
\end{equation*}の大きさは、サイクロイド上に存在する点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線の傾きの大きさと一致します。ただし、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t_{0}-\sin \left( t_{0}\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( t_{0}\right) \right] \end{array}\right)
\end{equation*}です。

一方、導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\in \mathbb{R} \)において定義されていない場合には、すなわち、\begin{equation*}t_{0}=2\pi z\quad \left( z\in \mathbb{Z} \right)
\end{equation*}である場合には、微分係数\(\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}\)はそもそも定義されていないため、微分係数の値からサイクロイド上の点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)における接線の傾きの大きさを特定できません。以下の方針のもとで判定する必要があります。

媒介変数の値が\(t_{0}=2\pi z\) \(\left( z\in \mathbb{Z} \right) \)を満たす場合には、\begin{eqnarray*}\frac{dx\left( t_{0}\right) }{dt} &=&r\left[ 1-\cos \left( t_{0}\right) \right] =r\left[ 1-\cos \left( 2\pi z\right) \right] =0 \\
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dt} &=&r\sin \left( t_{0}\right) =r\sin \left(
2\pi z\right) =0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow t_{0}}\frac{dy\left( t\right) }{dx}=\lim_{t\rightarrow
t_{0}}\frac{\frac{dy\left( t\right) }{dt}}{\frac{dx\left( t\right) }{dt}}=\frac{0}{0}
\end{equation*}となり、不定形になってしまいます。したがって、点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)における接線を特定できません。

サイクロイドの弧の微分と接線の傾き

サイクロイドの弧の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x=r\left[ t-\sin \left( t\right) \right] \\
y=r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right] \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(z\in \mathbb{Z} \)です。

先と同様に考えることにより、\(y\)の\(x\)に関する導関数は、\begin{eqnarray*}\frac{dy}{dx} &=&\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\
&=&\frac{r\sin \left( t\right) }{r-r\cos \left( t\right) } \\
&=&\frac{\sin \left( t\right) }{1-\cos \left( t\right) }
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(\frac{dy}{dx}\)は媒介変数\(t\)に関する関数であり、その定義域は、\begin{eqnarray*}\left\{ t\in \left[ 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right] \ |\ \frac{dx}{dt}\not=0\right\} &=&\left\{ t\in \left[ 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right] \ |\ r\left[ 1-\cos \left( t\right) \right] \not=0\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right] \ |\ \cos
\left( t\right) \not=1\right\} \\
&=&\left\{ t\in \left[ 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right] \ |\ \forall
z\in \mathbb{Z} :t\not=2\pi z\right\} \\
&=&\left( 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right)
\end{eqnarray*}です。

\(y\)の\(x\)に関する導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\in \mathbb{R} \)において定義されている場合には、すなわち、\begin{equation*}t_{0}\in \left( 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right)
\end{equation*}である場合には、微分係数\begin{equation*}
\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}=\frac{\sin \left( t_{0}\right) }{1-\cos
\left( t_{0}\right) }
\end{equation*}の大きさは、弧上に存在する点\(\left( x_{0},y_{0}\right) \)を通過する接線の傾きの大きさと一致します。ただし、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t_{0}-\sin \left( t_{0}\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( t_{0}\right) \right] \end{array}\right)
\end{equation*}です。

一方、導関数\(\frac{dy}{dx}\)が点\(t_{0}\in \mathbb{R} \)において定義されていない場合には、すなわち、\begin{equation*}t_{0}\in \left\{ 2\pi z,2\pi \left( z+1\right) \right\}
\end{equation*}である場合には、微分係数\(\frac{dy\left( t_{0}\right) }{dx}\)はそもそも定義されていないため、微分係数の値から弧上の点\(\left(x_{0},y_{0}\right) \)における接線の傾きの大きさを特定できません。以下の方針のもとで判定する必要があります。

媒介変数の値が\(t_{0}=2\pi z\)である場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow 2\pi z+}\frac{dy\left( t\right) }{dx} &=&\lim_{t\rightarrow 2\pi z+}\frac{\sin \left( t\right) }{1-\cos \left( t\right) } \\
&=&\lim_{t\rightarrow 2\pi z+}\frac{\cos \left( t\right) }{\sin \left(
t\right) }\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって、弧上に存在する点\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t_{0}-\sin \left( t_{0}\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( t_{0}\right) \right] \end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
r\left[ 2\pi z-\sin \left( 2\pi z\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( 2\pi z\right) \right] \end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\pi rz \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}における接線は垂直な直線です。

媒介変数の値が\(t_{0}=2\pi \left(z+1\right) \)である場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{t\rightarrow 2\pi \left( z+1\right) -}\frac{dy\left( t\right) }{dx}
&=&\lim_{t\rightarrow 2\pi \left( z+1\right) -}\frac{\sin \left( t\right) }{1-\cos \left( t\right) } \\
&=&\lim_{t\rightarrow 2\pi \left( z+1\right) -}\frac{\cos \left( t\right) }{\sin \left( t\right) }\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって、弧上に存在する点\begin{eqnarray*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0}\end{array}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
r\left[ t_{0}-\sin \left( t_{0}\right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( t_{0}\right) \right] \end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
r\left[ 2\pi \left( z+1\right) -\sin \left( 2\pi \left( z+1\right) \right) \right] \\
r\left[ 1-\cos \left( 2\pi \left( z+1\right) \right) \right] \end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
2\pi r\left( z+1\right) \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}における接線は垂直な直線です。

演習問題