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1変数関数の微分

関数の連続微分可能性

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\(C^{0}\)級の関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において連続である場合、\(f\)は\(a\)において\(C^{0}\)級である(class \(C^{0}\) at \(a\))と表現します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{0}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{0}\)級である(class \(C^{0}\) on \(Y\))と表現します。これは\(f\)が\(Y\)上の任意の点において連続であることを意味します。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{0}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{0}\)級である(class \(C^{0}\))と表現します。これは\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において連続であることを意味します。

例((C^[0])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、\(f\)は\(C^{0}\)級の関数です。
例((C^[0])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ -1\leq x<0\right) \\
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(-1\)において右側連続であり、\(\left(-1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \)上の任意の点において連続であり、点\(1\)において左側連続です。その一方で、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。つまり、\(f\)は\([-1,0)\cup (0,1]\)上の任意の点において連続であるため、\(f\)は\([-1,0)\cup (0,1]\)において\(C^{0}\)級です。

微分可能性は連続性を含意するため、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、\(f\)は点\(a\)において\(C^{0}\)級であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{0}\)級であるとき、点\(a\)において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例((C^[0])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において連続である一方、\(f\)が微分可能な点からなる集合は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)です。つまり、\(f\)は点\(0\)において\(C^{0}\)級である一方で微分可能ではありません。

 

\(C^{1}\)級の関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が点\(a\)において連続である場合、\(f\)は\(a\)において\(C^{1}\)級である(class \(C^{1}\) at \(a\))とか\(a\)において連続微分可能である(continuously differentiable at \(a\))などと表現します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{1}\)級である(class \(C^{1}\) on \(Y\))とか\(Y\)において連続微分可能である(continuously differentiable on \(Y\))などと表現します。これは\(f\)が\(Y\)上の任意の点において微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が\(Y\)上の任意の点において連続であることを意味します。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{1}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{1}\)級である(class \(C^{1}\))とか連続微分可能である(continuously differentiable)などと表現します。これは\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が\(X\)上の任意の点において連続であることを意味します。

例((C^[1])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上の任意の点において連続です。したがって\(f\)は\(C^{1}\)級の関数です。

関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合には、\(C^{1}\)級の定義より、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるとき、点\(a\)において\(C^{1}\)級であるとは限りません。つまり、導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)において連続であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例((C^[1])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において微分可能である一方、導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において連続ではなく、したがって\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級ではありません(演習問題にします)。

 

\(C^{n}\)級の関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)が点\(a\)において連続である場合、\(f\)は\(a\)において\(C^{n}\)級である(class \(C^{n}\) at \(a\))とか\(a\)において\(n\)階連続微分可能である(\(n\) th order continuously differentiable at \(a\))などと表現します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{n}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{n}\)級である(class \(C^{n}\) on \(Y\))とか\(Y\)において\(n\)階連続微分可能である(\(n\) th ordercontinuously differentiable on \(Y\))などと表現します。これは\(f\)が\(Y\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)が\(Y\)上の任意の点において連続であることを意味します。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{n}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{n}\)級である(class \(C^{n}\))とか\(n\)階連続微分可能である(\(n\)th order continuously differentiable)などと表現します。これは\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }\)が\(X\)上の任意の点において連続であることを意味します。

例((C^[n])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。先に示したように\(f\)は\(C^{1}\)級です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定めますが、\(f^{\prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であり、2階の導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上の任意の点において連続です。したがって\(f\)は\(C^{2}\)級の関数です。

関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{n}\)級である場合には、\(C^{n}\)級の定義より、\(f\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されます。微分可能性は連続性を含意するため、この場合には\(n-1\)階の導関数\(f^{\left(n-1\right) }\)は連続です。したがって、\(f\)は点\(a\)において\(C^{n-1}\)級であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{n-1}\)級であるとき、点\(a\)において\(C^{n}\)級であるとは限りません。つまり、\(n\)階導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)において連続であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例(連続微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\cdot \left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級である一方で\(C^{2}\)級ではありません(演習問題にします)。

 

\(C^{\infty } \)級の関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において無限階微分可能であるならば、\(f\)は\(a\)において\(C^{\infty }\)級である(class \(C^{\infty }\) at \(a\))とか\(a\)において無限階微分可能である(infinitelydifferentiable at \(a\))などと表現します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{\infty }\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{\infty }\)級である(class \(C^{\infty }\) on \(Y\))とか\(Y\)において無限階連続微分可能である(infinitely differentiable on \(Y\))などと表現します。これは\(f\)が\(Y\)上の任意の点において無限階微分可能であることを意味します。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{\infty }\)級である場合には、\(f\)は\(C^{\infty }\)級である(class \(C^{\infty }\))とか無限階連続微分可能である(infinitely continuouslydifferentiable)などと表現します。これは\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において無限階微分可能であることを意味します。

例((C^[infty ])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&24c_{4}+120c_{5}x+360c_{9}+\cdots
+n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) c_{n}x^{n-4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\left( n\right) }\)もまた多項式関数ですが、多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上において連続であるため、\(f^{\left( n\right) }\)は連続関数です。任意の\(n\)について同様であるため、\(f\)は\(C^{\infty }\)級であることが明らかになりました。
例((C^[infty ])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&24c_{4}+120c_{5}x+360c_{9}+\cdots
+n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) c_{n}x^{n-4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\left( n\right) }\)もまた多項式関数ですが、多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上において連続であるため、\(f^{\left( n\right) }\)は連続関数です。任意の\(n\)について同様であるため、\(f\)は\(C^{\infty }\)級であることが明らかになりました。
例((C^[infty ])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるということです。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&e^{x} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\left( n\right) }\)もまた自然数指数関数ですが、自然数指数関数は全区間\(\mathbb{R} \)上において連続であるため、\(f^{\left( n\right) }\)は連続関数です。任意の\(n\)について同様であるため、\(f\)は\(C^{\infty }\)級であることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(連続微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能である一方で\(C^{1}\)級ではないことを示してください。
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問題(連続微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\cdot \left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級である一方で\(C^{2}\)級ではないことを示してください。
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