教材一覧
教材一覧
教材検索
DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

関数の連続微分可能性

目次

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有

\(C^{0}\)級の関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において連続である場合、\(f\)は\(a\)において\(C^{0}\)級である(class \(C^{0}\) at \(a\))と表現します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{0}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{0}\)級である(class \(C^{0}\) on \(Y\))と表現します。これは\(f\)が\(Y\)上の任意の点において連続であることを意味します。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{0}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{0}\)級である(class \(C^{0}\))と表現します。これは\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において連続であることを意味します。

例((C^[0])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、\(f\)は\(C^{0}\)級の関数です。
例((C^[0])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ -1,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ -1\leq x<0\right) \\
1 & \left( if\ 0\leq x\leq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(-1\)において右側連続であり、\(\left(-1,0\right) \cup \left( 0,1\right) \)上の任意の点において連続であり、点\(1\)において左側連続です。その一方で、\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。つまり、\(f\)は\([-1,0)\cup (0,1]\)上の任意の点において連続であるため、\(f\)は\([-1,0)\cup (0,1]\)において\(C^{0}\)級です。

微分可能性は連続性を含意するため、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、\(f\)は点\(a\)において\(C^{0}\)級であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{0}\)級であるとき、点\(a\)において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例((C^[0])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において連続である一方、\(f\)が微分可能な点からなる集合は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)です。つまり、\(f\)は点\(0\)において\(C^{0}\)級である一方で微分可能ではありません。

 

\(C^{1}\)級の関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が点\(a\)において連続である場合、\(f\)は\(a\)において\(C^{1}\)級である(class \(C^{1}\) at \(a\))とか\(a\)において連続微分可能である(continuously differentiable at \(a\))などと表現します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{1}\)級である(class \(C^{1}\) on \(Y\))とか\(Y\)において連続微分可能である(continuously differentiable on \(Y\))などと表現します。これは\(f\)が\(Y\)上の任意の点において微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が\(Y\)上の任意の点において連続であることを意味します。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{1}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{1}\)級である(class \(C^{1}\))とか連続微分可能である(continuously differentiable)などと表現します。これは\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において微分可能であるとともに導関数\(f^{\prime }\)が\(X\)上の任意の点において連続であることを意味します。

例((C^[1])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上で微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上の任意の点において連続です。したがって\(f\)は\(C^{1}\)級の関数です。

関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合には、\(C^{1}\)級の定義より、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるとき、点\(a\)において\(C^{1}\)級であるとは限りません。つまり、導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)において連続であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例((C^[1])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において微分可能である一方、導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において連続ではなく、したがって\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級ではありません(演習問題にします)。

 

\(C^{n}\)級の関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)が点\(a\)において連続である場合、\(f\)は\(a\)において\(C^{n}\)級である(class \(C^{n}\) at \(a\))とか\(a\)において\(n\)階連続微分可能である(\(n\) th order continuously differentiable at \(a\))などと表現します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{n}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{n}\)級である(class \(C^{n}\) on \(Y\))とか\(Y\)において\(n\)階連続微分可能である(\(n\) th ordercontinuously differentiable on \(Y\))などと表現します。これは\(f\)が\(Y\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)階の導関数\(f^{\left( n\right) }\)が\(Y\)上の任意の点において連続であることを意味します。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{n}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{n}\)級である(class \(C^{n}\))とか\(n\)階連続微分可能である(\(n\)th order continuously differentiable)などと表現します。これは\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }\)が\(X\)上の任意の点において連続であることを意味します。

例((C^[n])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。先に示したように\(f\)は\(C^{1}\)級です。導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定めますが、\(f^{\prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能であり、2階の導関数\(f^{\prime \prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime \prime }\left( x\right) =2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime \prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上の任意の点において連続です。したがって\(f\)は\(C^{2}\)級の関数です。

関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{n}\)級である場合には、\(C^{n}\)級の定義より、\(f\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されます。微分可能性は連続性を含意するため、この場合には\(n-1\)階の導関数\(f^{\left(n-1\right) }\)は連続です。したがって、\(f\)は点\(a\)において\(C^{n-1}\)級であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{n-1}\)級であるとき、点\(a\)において\(C^{n}\)級であるとは限りません。つまり、\(n\)階導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)において連続であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例(連続微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\cdot \left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級である一方で\(C^{2}\)級ではありません(演習問題にします)。

 

\(C^{\infty } \)級の関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in X\)において無限階微分可能であるならば、\(f\)は\(a\)において\(C^{\infty }\)級である(class \(C^{\infty }\) at \(a\))とか\(a\)において無限階微分可能である(infinitelydifferentiable at \(a\))などと表現します。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{\infty }\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{\infty }\)級である(class \(C^{\infty }\) on \(Y\))とか\(Y\)において無限階連続微分可能である(infinitely differentiable on \(Y\))などと表現します。これは\(f\)が\(Y\)上の任意の点において無限階微分可能であることを意味します。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{\infty }\)級である場合には、\(f\)は\(C^{\infty }\)級である(class \(C^{\infty }\))とか無限階連続微分可能である(infinitely continuouslydifferentiable)などと表現します。これは\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において無限階微分可能であることを意味します。

例((C^[infty ])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&24c_{4}+120c_{5}x+360c_{9}+\cdots
+n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) c_{n}x^{n-4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\left( n\right) }\)もまた多項式関数ですが、多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上において連続であるため、\(f^{\left( n\right) }\)は連続関数です。任意の\(n\)について同様であるため、\(f\)は\(C^{\infty }\)級であることが明らかになりました。
例((C^[infty ])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left(n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&24c_{4}+120c_{5}x+360c_{9}+\cdots
+n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) c_{n}x^{n-4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\left( n\right) }\)もまた多項式関数ですが、多項式関数は全区間\(\mathbb{R} \)上において連続であるため、\(f^{\left( n\right) }\)は連続関数です。任意の\(n\)について同様であるため、\(f\)は\(C^{\infty }\)級であることが明らかになりました。
例((C^[infty ])級の関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は自然数指数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}であるということです。任意の\(n\)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&e^{x} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。\(f^{\left( n\right) }\)もまた自然数指数関数ですが、自然数指数関数は全区間\(\mathbb{R} \)上において連続であるため、\(f^{\left( n\right) }\)は連続関数です。任意の\(n\)について同様であるため、\(f\)は\(C^{\infty }\)級であることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(連続微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能である一方で\(C^{1}\)級ではないことを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(連続微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\cdot \left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級である一方で\(C^{2}\)級ではないことを示してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

Share on twitter
Twitterで共有
Share on email
メールで共有
DISCUSSION

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

連続関数
関数の微分可能性と連続性の関係

微分可能な関数は連続であり、右側微分可能な関数は右側連続であり、左側微分可能な関数は左側連続です。一方、これらの逆は成立するとは限りません。

偏微分
多変数関数の連続微分可能性

多変数関数が偏微分可能であることに加えてすべての変数に関する偏導関数が連続である場合、その関数は連続微分可能であると言います。

偏微分
偏微分の順序(クレローの定理)

開集合上に定義されたn階連続微分可能な多変数関数に関しては、n個の変数の順序によらず、n階偏導関数はすべて一致します。これをクレローの定理と呼びます。

偏微分
多変数関数の全微分と偏微分の関係

多変数関数が全微分可能である場合には偏微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。ただ、多変数関数が連続微分可能である場合には全微分可能であることが保証される一方、その逆は成り立つとは限りません。

上方位集合
選好の連続性

ある選好関係のもとで任意の消費ベクトルに関する狭義の上方位集合と狭義の下方位集合がともに消費集合上で開集合である場合、その選好関係は連続性を満たすと言います。連続性の仮定のもとでは消費者の選好が連続的に変化することが保証されます。また、連続な効用関数によって表現される選好は連続性を満たします。

連続関数
スカラー場の連続性

スカラー場が定義域上の点において有限な極限を持つとともに、それがその点におけるスカラー場の値と一致する場合、スカラー場はその点において連続であると言います。

高階の微分
関数の高階微分

関数の導関数が微分可能である場合には導関数の導関数が得られますがこれを2階の導関数と呼びます。同様に、3階の導関数、4階の導関数なども定義可能です。これらを高階の導関数と呼びます。

関数の定数倍
関数の定数倍の高階微分

高階微分可能な関数の定数倍として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の定数倍と一致します。

関数の和
関数の和の高階微分

高階微分可能な関数どうしの和として定義される関数もまた高階微分であるとともに、その高階微分係数はもとの関数の高階微分係数の和と一致します。

連続関数
関数の連続性

関数が定義域上の点において有限な極限を持つと同時に、その極限がその点における関数の値と一致する場合には、関数はその点において連続であると言います。

区間
位相を用いた関数の連続性の判定

関数による任意の開集合の逆像が開集合であることは、その関数が定義域上において連続であるための必要十分条件です。また、関数による任意の有界開区間の逆像が開集合であることもまた、関数が連続であるための必要十分条件です。

ボルツァーノの定理
中間値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数が定義域の左右の端点において異なる値をとるとき、中間値の定理と呼ばれる命題が成立します。

最大値・最小値の定理
最大値・最小値の定理

有界な閉区間上に定義された連続関数は定義域上の点において最大値や最小値を取ります。これを最大値・最小値の定理と呼びます。

連続関数による区間の像

有界な閉区間上に定義された連続関数による定義域の像もまた有界な閉区間になります。また、区間上に定義された連続関数による定義域の像もまた区間になります。

区間
逆関数の連続性

区間上に定義された連続な狭義単調関数の逆関数もまた区間上に定義された連続な狭義単調関数になります。定義域が区間ではない場合、同様の主張は成り立つとは限りません。

関数の微分