C^0級の関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。関数\(f\)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において連続である場合、\(f\)は点\(a\)において\(C^{0}\)級である（class \(C^{0}\) at \(a\)）と言います。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{0}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{0}\)級である（class \(C^{0}\) on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{0}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{0}\)級である（class \(C^{0}\)）と言います。
\end{equation*}と表されるものとします。多項式関数は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、\(f\)は\(C^{0}\)級の関数です。
\end{equation*}を定めるということです。自然指数関数は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、\(f\)は\(C^{0}\)級の関数です。
\end{equation*}を定めるということです。自然対数関数は\(\mathbb{R} \)上で連続であるため、\(f\)は\(C^{0}\)級の関数です。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において連続ではありませんが、それ以外の点、すなわち\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上で\(C^{0}\)級です。
関数の定義域が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合の端点\(a,b\)など、定義域上に内点ではない点が存在する場合には、片側連続性を用いて\(C^{0}\)級であることを評価します。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点ではないため、右側連続性で対処します。\(f\)は点\(0\)において右側連続であるため、\(f\)は点\(0\)において\(C^{0}\)級です。他の任意の点、すなわち\(\mathbb{R} _{++}\)上の任意の点において\(f\)は連続です。したがって\(f\)は\(C^{0}\)級です。
微分可能性は連続性を含意するため、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能である場合には、\(f\)は点\(a\)において\(C^{0}\)級であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{0}\)級であるとき、点\(a\)において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において連続である一方、\(f\)が微分可能な点からなる集合は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)です。つまり、\(f\)は点\(0\)において\(C^{0}\)級である一方で微分可能ではありません。
C^1級の関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において微分可能であるものとします。この場合、導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)を中心とする何らかの近傍上で定義されていることになるため、点\(a\)は導関数\(f^{\prime }\)の定義域の内点です。その上で、導関数\(f^{\prime }\)が点\(a\)において連続である場合には、もとの関数\(f\)は点\(a\)において\(C^{1}\)級である（class \(C^{1}\) at \(a\)）とか点\(a\)において連続微分可能である（continuously differentiable at \(a\)）などと言います。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{1}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{1}\)級である（class \(C^{1}\) on \(Y\)）とか\(Y\)において連続微分可能である（continuously differentiable on \(Y\)）などと言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{1}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{1}\)級である（class \(C^{1}\)）とか連続微分可能である（continuously differentiable）と言います。
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)もまた多項式関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって\(f\)は\(C^{1}\)級の関数です。
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)もまた自然指数関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって\(f\)は\(C^{1}\)級の関数です。
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めます。\(f^{\prime }\)は有理関数であるため\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。したがって\(f\)は\(C^{1}\)級の関数です。
関数の定義域が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合の端点\(a,b\)など、定義域上に内点ではない点が存在する場合には、片側微分可能性と片側連続性を用いて\(C^{1}\)級であることを評価します。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点ではないため、右側微分可能性と右側連続性で対処します。点\(0\)について、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\sqrt{h}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{1}{h^{\frac{1}{2}}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、ゆえに点\(0\)において\(C^{1}\)級ではありません。他の任意の点\(x\in \mathbb{R} _{++}\)については、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{equation*}ですが、\(f^{\prime }\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため、もとの関数\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で\(C^{1}\)級です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)の内点ではないため、右側微分可能性と右側連続性で対処します。点\(0\)について、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h^{\frac{3}{2}}}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}h^{\frac{1}{2}} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は点\(0\)において微分可能です。右側導関数は\(f_{+}^{\prime}\left( x\right) =\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\)ですが、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f_{+}^{\prime }\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0+}\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} \\
&=&0 \\
&=&f_{+}^{\prime }\left( 0\right)
\end{eqnarray*}となるため\(f^{\prime }\)は点\(0\)において右側微分可能です。したがって\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級です。他の任意の点\(x\in \mathbb{R} _{++}\)については、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}ですが、\(f^{\prime }\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。したがって、もとの関数\(f\)は\(C^{1}\)級です。
関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{1}\)級である場合には、\(C^{1}\)級の定義より、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるとき、点\(a\)において\(C^{1}\)級であるとは限りません。つまり、導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)において連続であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)において微分可能である一方、導関数\(f^{\prime }\)は点\(0\)において連続ではなく、したがって\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級ではありません（演習問題）。
C^n級の関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)および周辺の任意の点において\(n\)階微分可能であるものとします。この場合、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }\)は点\(a\)を中心とする何らかの近傍上で定義されていることになるため、点\(a\)は\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }\)の定義域の内点です。その上で、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }\)が点\(a\)において連続である場合には、もとの関数\(f\)は点\(a\)において\(C^{n}\)級である（class \(C^{n}\) at \(a\)）とか点\(a\)において\(n\)階連続微分可能である（\(n\) th order continuously differentiable at \(a\)）などと言います。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{n}\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{n}\)級である（class \(C^{n}\) on \(Y\)）とか\(Y\)において\(n\)階連続微分可能である（\(n\) th order continuously differentiable on \(Y\)）などと言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{n}\)級である場合には、\(f\)は\(C^{n}\)級である（class \(C^{n}\)）とか\(n\)階連続微分可能である（\(n\) th order continuously differentiable）などと表現します。
関数\(f\)が\(C^{n}\)級であるものとします。これは\(n-1\)階導関数\(f^{\left( n-1\right) }\)が微分可能であることを含意します。微分可能な関数は連続であるため\(f^{\left( n-1\right) }\)は連続です。以上より、\(C^{n}\)級の関数は\(C^{n-1}\)級であることが明らかになりました。関数が\(C^{n-1}\)級であるならば、同様の議論を繰り返すことにより\(C^{n-2}\)級であることが示されます。さらに同様の議論を繰り返すことができます。したがって、関数\(f\)が\(C^{n}\)級である場合には、\(m<n\)を満たす任意の\(m\in \mathbb{Z} _{+}\)について、\(f\)が\(C^{m}\)級であることが明らかになりました。
\end{equation*}と表されるものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&24c_{4}+120c_{5}x+360c_{9}+\cdots
+n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) c_{n}x^{n-4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(n\)について\(f^{\left( n\right) }\left( x\right) \)は多項式関数であるため連続であり、ゆえに\(f\)は任意の\(n\)について\(C^{n}\)級の関数です。
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&e^{x} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(n\)について\(f^{\left( n\right) }\left( x\right) \)は自然指数関数であるため連続であり、ゆえに\(f\)は任意の\(n\)について\(C^{n}\)級の関数です。
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\frac{1}{x^{2}} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{2}{x^{3}} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&-\frac{6}{x^{4}} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(n\)について\(f^{\left( n\right) }\left( x\right) \)は有理関数であるため連続であり、ゆえに\(f\)は任意の\(n\)について\(C^{n}\)級の関数です。
関数の定義域が有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)である場合の端点\(a,b\)など、定義域上に内点ではない点が存在する場合には、片側微分可能性と片側連続性を用いて\(C^{n}\)級であることを評価します。
関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{n}\)級である場合には、\(C^{n}\)級の定義より、\(f\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能であることが保証されます。微分可能性は連続性を含意するため、この場合には\(n-1\)階の導関数\(f^{\left(n-1\right) }\)は連続です。したがって、\(f\)は点\(a\)において\(C^{n-1}\)級であることが保証されます。その逆は成立するとは限りません。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において\(C^{n-1}\)級であるとき、点\(a\)において\(C^{n}\)級であるとは限りません。つまり、\(n\)階導関数\(f^{\prime }\)は点\(a\)において連続であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級である一方で\(C^{2}\)級ではありません（演習問題）。
C^∞級の関数
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域の内点\(a\in X^{i}\)において無限階微分可能であるならば、すなわち、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は点\(a\)において\(n\)階微分可能であるとともに\(n\)階微分関数\(f^{\left( n\right) }\)が点\(a\)において連続である場合には、\(f\)は点\(a\)において\(C^{\infty }\)級である（class \(C^{\infty }\) at \(a\)）とか点\(a\)において無限階微分可能である（infinitely differentiable at \(a\)）などと言います。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(C^{\infty }\)級であるような点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(f\)は\(Y\)において\(C^{\infty }\)級である（class \(C^{\infty }\) on \(Y\)）とか\(Y\)において無限階連続微分可能である（infinitely differentiable on \(Y\)）などと言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち\(f\)が定義域上の任意の点において\(C^{\infty }\)級である場合には、\(f\)は\(C^{\infty }\)級である（class \(C^{\infty }\)）とか無限階連続微分可能である（infinitely continuously differentiable）などと言います。
\end{equation*}と表されるものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&c_{1}+2c_{2}x+3c_{3}x^{2}+\cdots
+nc_{n}x^{n-1} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&2c_{2}+6c_{3}x+12c_{4}x^{2}+\cdots
+n\left( n-1\right) c_{n}x^{n-2} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right)
&=&6c_{3}+24c_{4}x+60c_{5}x^{2}+\cdots +n\left( n-1\right) \left( n-2\right)
c_{n}x^{n-3} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&24c_{4}+120c_{5}x+360c_{9}+\cdots
+n\left( n-1\right) \left( n-2\right) \left( n-3\right) c_{n}x^{n-4} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(n\)について\(f^{\left( n\right) }\left( x\right) \)は多項式関数であるため連続であり、ゆえに\(f\)は任意の\(n\)について\(C^{n}\)級の関数です。したがって\(f\)は\(C^{\infty }\)級の関数です。
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&e^{x} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&e^{x} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(n\)について\(f^{\left( n\right) }\left( x\right) \)は自然指数関数であるため連続であり、ゆえに\(f\)は任意の\(n\)について\(C^{n}\)級の関数です。したがって\(f\)は\(C^{\infty }\)級の関数です。
\end{equation*}を定めるということです。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f\)は\(n\)階微分可能であり、\(n\)階導関数\(f^{\left( n\right) }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{1}{x} \\
f^{\prime \prime }\left( x\right) &=&-\frac{1}{x^{2}} \\
f^{\prime \prime \prime }\left( x\right) &=&\frac{2}{x^{3}} \\
f^{\left( 4\right) }\left( x\right) &=&-\frac{6}{x^{4}} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}を定めます。任意の\(n\)について\(f^{\left( n\right) }\left( x\right) \)は有理関数であるため連続であり、ゆえに\(f\)は任意の\(n\)について\(C^{n}\)級の関数です。したがって\(f\)は\(C^{\infty }\)級の関数です。
演習問題
\begin{array}{cl}
x^{2}\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において微分可能である一方で\(C^{1}\)級ではないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において\(C^{1}\)級である一方で\(C^{2}\)級ではないことを示してください。
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