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関数の微分

定数関数の微分

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定数関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されている場合、点\(a\)において微分可能であるか検討できますが、\(f\)は常に同一の値\(c\)をとることを踏まえると、\(f\)の点\(a\)における微分係数は\(0\)であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(定数関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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例(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数は微分可能であるということです。
例(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left( 0,1\right) \)は開集合であるため、定義域上の点を任意に選んだとき、\(f\)はその点の周辺の任意の点において定義されています。すると先の命題より\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\left(0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( 0,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。

 

定数関数の片側微分

片側微分に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(定数関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

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例(定数関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =7
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(a\)において微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}となります。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で微分可能ではありません。\(f\)は\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(0\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 0+0\right) =0
\end{equation*}となります。また、\(f\)は\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(1\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1-0\right) =0
\end{equation*}となります。したがって\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

以下はもう少し複雑な場合です。

例(定数関数の片側微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
2 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)おいて\(f\left( x\right) =1\)であるため、定数関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}となります。また、点\(3\)以下の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =1\)であるため、定数関数の左側微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 3-0\right) =0
\end{equation*}となります。一方、点\(3\)以上の周辺の点\(x\)については、\(x\)の値によって\(f\left( x\right) \)の値が変わるため定義に遡って右側微分可能性を検討すると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 3+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
3+h\right) -f\left( 3\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{2-1}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{1}{h} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり、これは有限な実数ではないため、\(f\)は点\(3\)において右側微分可能ではありません。したがって、\(f\)は点\(3\)において微分可能でもありません。\(a>3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =2\)であるため、定数関数の微分より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}となります。以上の議論より、導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 3\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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問題(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

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