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DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS

定数関数の微分

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定数関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が\(a\)において微分可能であるか否かを検討できますが、\(f\)は常に同一の値\(c\)をとることを踏まえると、\(f\)の\(a\)における微分係数は\(0\)であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(定数関数の微分)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明
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例(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =5
\end{equation*}であるものとします。\(\mathbb{R} \)は解集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。

上の命題は、定数関数\(f\)が問題としている点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている場合にのみ適用可能です。\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない場合、\(f\)が\(a\)において微分可能であるか調べることもできません。

例(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているため、先の命題より、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。一方、定義域の境界点である\(0\)や\(1\)に注目したとき、\(f\)はそれらの点の周辺にある任意の点において定義されていないため、そもそも点\(a\)における微分を考えることはできません。そのような場合、片側微分などで対処する必要があります。

 

定数関数の片側微分可能性

片側微分可能性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(定数関数の片側微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は\(a\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は\(a\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
証明
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例(定数関数の片側微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =7
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。内点\(a\in\left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(a\)において微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で連続ではありません。\(f\)は\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(0\)において右側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =0
\end{equation*}となります。また、\(f\)は\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(1\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =0
\end{equation*}となります。

 

定数関数は微分可能

以上の2つの命題より定数関数は微分可能であることが明らかになりました。

命題(定数関数は微分可能)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める。
例(定数関数は微分可能)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。上の命題より、\(f\)は\(a<1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(f\)は点\(1\)において左側微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( 1-0\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left( 1+h\right) -f\left( 1\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{2-1}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{1}{h} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり、これは有限な実数ではないため、\(f\)は点\(1\)において右側微分可能ではありません。したがって、\(f\)は点\(1\)において微分可能でもありません。また、\(f\)は\(1<a<2\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。また、一方、\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{f\left( 2+h\right) -f\left( 2\right) }{h}
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{2-3}{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0-}\frac{-1}{h} \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となり、これは有限な実数ではないため、\(f\)は点\(2\)において左側微分可能ではありません。したがって、\(f\)は点\(2\)において微分可能でもありません。また、\(f\)は\(2<a\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において微分可能であり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 1,2\right\} \)であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1,2\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めます。

 

演習問題

問題(定数関数の微分)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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次回は恒等関数の微分可能性について解説します。

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