定数関数の連続性
定数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。
点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
命題（定数関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
例（定数関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。
定数関数の片側連続性
片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。
命題（定数関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続である。
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続である。
例（定数関数の片側連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となりますが、これは定数関数であるため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
-1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-1 \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。したがって\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) =-1
\end{equation*}となりますが、これは定数関数であるため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となりますが、これは定数関数であるため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
-1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-1 \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。したがって\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) =-1
\end{equation*}となりますが、これは定数関数であるため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。
演習問題
問題（イプシロン・デルタ論法を用いた定数関数の連続性の証明）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
問題（定数関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
問題（定数関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上のそれぞれの点において\(f\)が連続、右側連続、左側連続であるか、またいずれでもないかを検討してください。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上のそれぞれの点において\(f\)が連続、右側連続、左側連続であるか、またいずれでもないかを検討してください。
問題（離散的な定数関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left\{1,2,3,4,5\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
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