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定数関数の連続性

定数関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が\(a\)において連続であるか否かを検討できますが、\(f\)は常に同一の値\(c\)をとることを踏まえると、\(f\)は\(a\)において連続であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(定数関数の極限)

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は\(a\)において連続である。

証明
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例(定数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =5
\end{equation*}であるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\(f\)は\(a\)において連続です。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}5=5=f\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

上の命題は、定数関数\(f\)が問題としている点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている場合にのみ適用可能です。\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない場合、そもそも点\(a\)における連続性を検討することさえできません。

例(定数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されているため、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において連続です。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}2=2=f\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、定義域の境界点である\(0\)や\(1\)に注目したとき、\(f\)はそれらの点の周辺にある任意の点において定義されていないため、点\(0\)および\(1\)における\(f\)の連続性を検討できません。このような場合、片側連続性を考えることになります。

 

定数関数の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は\(a\)において右側連続であり、\(f\)が\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は\(a\)において左側連続である。
証明
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例(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =7
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。内点\(a\in\left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(a\)において連続です。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}7=7=f\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で連続ではありません。\(f\)は\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(0\)において右側連続です。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}7=7=f\left(
0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(f\)は\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(1\)において左側連続です。実際、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 1-}7=7=f\left(
0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

以下はもう少し複雑な場合です。

例(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
2 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この関数\(f\)は定数関数ではありませんが、\(f\)の定義域を縮小して得られる関数\begin{eqnarray*}f &:&(-\infty ,3]\rightarrow \mathbb{R} \\
f &:&\left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}はいずれも定数関数です。\(a<3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}1=1=f\left(
a\right)
\end{equation*}となるため\(f\)は点\(a\)において連続です。\(a>3\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)については、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a}2=2=f\left(
a\right)
\end{equation*}となるため\(f\)は点\(a\)において連続です。一方、点\(3\)においては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
3+}2=2\not=f\left( 3\right) \\
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}1=1=f\left(
3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(3\)において右側連続ではありませんが左側連続です。したがって\(f\)は点\(3\)において連続ではありません。

 

定数関数は連続関数

以上の2つの命題より定数関数は連続であることが明らかになりました。

命題(定数関数は連続関数)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)は連続関数である。
例(定数関数は連続関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。上の命題より、\(f\)は\(a<1\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続であり、点\(1\)において左側連続です。一方、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 1+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
1+}2=2\not=f\left( 1\right)
\end{equation*}であるため\(f\)は点\(1\)において右側連続ではありません。したがって\(f\)は点\(1\)において連続でもありません。また、\(f\)は\(1<a<2\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続です。一方、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
2-}2=2\not=f\left( 2\right)
\end{equation*}であるため\(f\)は点\(2\)において左側連続ではありません。したがって\(f\)は点\(2\)において連続でもありません。また、\(f\)は点\(2\)において右側連続であり、\(2<a\)を満たす任意の点\(a\in \mathbb{R} \)において連続です。

 

演習問題

問題(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上のそれぞれの点において\(f\)が連続、右側連続、左側連続であるか、またいずれでもないかを検討してください。
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次回は恒等関数が連続であることを示します。

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