WIIS

関数

定数関数の連続性

目次

次のページ:

恒等関数の連続性

Mailで保存
Xで共有

定数関数の連続性

定数関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。

点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続であることが保証されます。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。

命題(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で連続です。

 

定数関数の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続である。したがって、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続かつ左側連続である。
証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

例(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-1 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}となりますが、これは定数関数であるため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(0\in \mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}1\quad
\because x>0\text{および}f\text{の定義}
\\
&=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
-1\right) \quad \because x<0\text{および}f\text{の定義} \\
&=&-1 \\
&\not=&1 \\
&=&f\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(0\)において左側連続ではありません。したがって\(f\)は点\(0\)において連続ではありません。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\in \mathbb{R} \)において、\begin{equation*}f\left( x\right) =-1
\end{equation*}となりますが、これは定数関数であるため、先の命題より\(f\)は点\(a\)において連続です。

 

演習問題

問題(イプシロン・デルタ論法を用いた定数関数の連続性の証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。本文中で示したように、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において連続です。本文中では関数の極限を用いて以上の主張が成り立つことを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上のそれぞれの点において\(f\)が連続、右側連続、左側連続であるか、またいずれでもないかを検討してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(離散的な定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left\{ 1,2,3,4,5\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left\{1,2,3,4,5\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

次のページ:

恒等関数の連続性

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録