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定数関数の連続性

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定数関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の値において定義されているとき、\(f\)が点\(a\)において連続であるか否かを検討できますが、\(f\)は常に同一の値\(c\)をとることを踏まえると、\(f\)は点\(a\)において連続であることが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は\(a\)において連続である。
証明

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例(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\(f\)は\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} \)上の任意の点において同様の議論が成立します。つまり、\(\mathbb{R} \)上に定義された定数関数は\(\mathbb{R} \)上で連続であるということです。
例(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( 0,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left( 0,1\right) \)は開集合であるため、点\(a\in \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。しかも\(f\)は定数関数であるため、上の命題より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において同様の議論が成立するため\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上で連続です。

 

定数関数の片側連続性

片側連続性に関しても同様の命題が成り立ちます。

命題(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において右側連続であり、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば\(f\)は点\(a\)において左側連続である。
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例(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =7
\end{equation*}であるものとします。定義域\(\left[ 0,1\right] \)の内部は\(\left( 0,1\right) \)です。内点\(a\in\left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(a\)において連続です。一方、\(f\)は定義域の境界点である\(0\)や\(1\)において通常の意味で連続ではありません。\(f\)は点\(0\)以上の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。また、\(f\)は点\(1\)以下の周辺の任意の点において定義されているため、\(f\)は\(1\)において左側連続です。

以下はもう少し複雑な場合です。

例(定数関数の片側連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 3\right) \\
2 & \left( if\ x>3\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(a<3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =3\)となりますが、これは定数関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。\(a>3\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、その周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) =2\)となりますが、これは定数関数であるため\(f\)は点\(a\)において連続です。点\(3\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
3+}2=2\not=f\left( 3\right) \\
\lim_{x\rightarrow 3-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 3-}1=1=f\left(
3\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(3\)において右側連続ではない一方で左側連続です。したがって\(f\)は点\(3\)において連続ではありません。

 

演習問題

問題(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
3 & \left( if\ 2\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続でしょうか。議論してください。
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問題(定数関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset (-\infty ,1]\cup (2,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in (-\infty ,1]\cup(2,+\infty )\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
2 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上のそれぞれの点において\(f\)が連続、右側連続、左側連続であるか、またいずれでもないかを検討してください。
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次回は恒等関数が連続であることを示します。

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