無限大における関数の無限極限

関数の変数が限りなく大きくなる(限りなく小さくなる)ときに、関数の値が限りなく大きくなる(限りなく小さくなる)状況について考えます。

正の無限大において発散する関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が限りなく大きい任意の実数を要素として持つとき、変数\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値もまた限りなく大きくなるならば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は正の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記します。これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。まず、\(x\rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく大きいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として正の実数\(N>0\)を導入したとき、\begin{equation*}
x>N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも大きい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きいと言うためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として正の実数\(M>0\)を導入したとき、\begin{equation*}
f\left( x\right) >M
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,M\)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より大きい任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left( x\right)
>M\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left(
x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つことの定義とします。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty \)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(正の無限大において正の無限大に発散する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( x>N\Rightarrow x^{2}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{equation*}
x^{2}>M\Rightarrow x>\sqrt{M}
\end{equation*}を得るため、\(M\)に対する\(N\)の候補として\(N=\sqrt{M}\)を選びます。実際、\(x>\sqrt{M}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{equation*}
x>\sqrt{M}\Rightarrow x^{2}>M
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が限りなく大きい任意の実数を要素として持つとき、変数\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなるならば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は負の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記します。これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。まず、\(x\rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく大きいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として正の実数\(N>0\)を導入したとき、\begin{equation*}
x>N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも大きい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さいと言うためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として負の実数\(L<0\)を導入したとき、\begin{equation*}
f\left( x\right) <L
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)は\(L\)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,L\)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(L\)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より大きい任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は\(L\)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\exists L<0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left( x\right)
<L\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)となる場合には、最初に設定する\(L\)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left(
x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つことの定義とします。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =-\infty \)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(正の無限大において負の無限大に発散する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-3x^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -3x^{2}\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N>0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( x>N\Rightarrow -3x^{2}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x>0\)については、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
-3x^{2}<L &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &x>\sqrt{\frac{-L}{3}}\quad \because L<0
\end{eqnarray*}を得るため、\(L\)に対する\(N\)の候補として\(N=\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を選びます。実際、\(x>\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x>\sqrt{\frac{-L}{3}} &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &-3x^{2}<L
\end{eqnarray*}となるため目標が達成されました。

 

負の無限大において発散する関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が限りなく小さい任意の実数を要素として持つとき、変数\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなるならば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)は正の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記します。これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。まず、\(x\rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく小さいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として負の実数\(N<0\)を導入したとき、\begin{equation*}
x<N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きいと言うためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として正の実数\(M>0\)を導入したとき、\begin{equation*}
f\left( x\right) >M
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,M\)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より小さい任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left( x\right)
>M\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left(
x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つことの定義とします。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty \)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(負の無限大において正の無限大に発散する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x^{4}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{4}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( x<N\Rightarrow x^{4}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。\(x<0\)については、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
x^{4}>M &\Rightarrow &\left\vert x\right\vert ^{4}>M \\
&\Rightarrow &\left\vert x\right\vert >\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &-\left\vert x\right\vert <-\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &x<-\sqrt[4]{M}
\end{eqnarray*}を得るため、\(M\)に対する\(N\)の候補として\(N=-\sqrt[4]{M}\)を選びます。実際、\(x<-\sqrt[4]{M}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x<-\sqrt[4]{M} &\Rightarrow &-x>\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &x^{4}>M
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が限りなく小さい任意の実数を要素として持つとき、変数\(x\)が\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくなるにつれて\(f\left( x\right) \)の値もまた限りなく小さくなるならば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)は負の無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記します。これはどのような形で厳密に表現できるでしょうか。まず、\(x\rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく小さいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として負の実数\(N<0\)を導入したとき、\begin{equation*}
x<N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さいと言うためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として負の実数\(L>0\)を導入したとき、\begin{equation*}
f\left( x\right) <L
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)は\(L\)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,L\)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(L\)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より小さい任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は\(L\)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left( x\right)
<L\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)となる場合には、最初に設定する\(L\)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left(
x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つことの定義とします。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty \)が成り立つことの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(負の無限大において負の無限大に発散する関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-3x^{2}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -3x^{2}\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N<0,\ \forall x\in
\mathbb{R} :\left( x<N\Rightarrow -3x^{2}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x<0\)については、\begin{eqnarray*}
-3x^{2}<L &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &x<\sqrt{\frac{-L}{3}}\quad \because x<0,\ L<0
\end{eqnarray*}となります。そこで\(N=\sqrt{\frac{-L}{3}}\)とおくと、\(x<\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
x<\sqrt{\frac{-L}{3}} &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &-3x^{2}<L
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。

次回から収束する関数の性質について解説します。

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