正の無限大において発散する関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。
関数\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくした場合に\(f\left( x\right) \)の値もまた限りなく大きくなるならば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は正の無限大に発散する（diverge）と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記します。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。
まず、\(x\rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく大きいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として正の実数\(N>0\)を導入したとき、\begin{equation*}x>N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも大きい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きいと言うためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として正の実数\(M>0\)を導入したとき、\begin{equation*}f\left( x\right) >M
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,M\)の関係として表現することになります。
具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left(x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より大きい任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left( x\right)
>M\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left(
x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく大きい任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくする場合、\(f\left( x\right) \)の値もまた限りなく大きくなることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left(
x\right) >M\right)
\end{equation*}になるということです。
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x>N\Rightarrow x^{2}>M\right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。結論の式を変形すると、\begin{equation*}x^{2}>M\Rightarrow x>\sqrt{M}
\end{equation*}を得るため、\(M\)に対する\(N\)の候補として\(N=\sqrt{M}\)を選びます。実際、\(x>\sqrt{M}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{equation*}x>\sqrt{M}\Rightarrow x^{2}>M
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。
関数\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくした場合に\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなるならば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(f\)は負の無限大に発散する（diverge）と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記します。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。
まず、\(x\rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく大きいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として正の実数\(N>0\)を導入したとき、\begin{equation*}x>N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも大きい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きいと言うためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として負の実数\(L<0\)を導入したとき、\begin{equation*}f\left( x\right) <L
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)は\(L\)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,L\)の関係として表現することになります。
具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(L\)を任意に選びます。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left(x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より大きい任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は\(L\)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left( x\right)
<L\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)となる場合には、最初に設定する\(L\)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}\forall L<0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left(
x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく大きい任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくする場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall L<0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow f\left(
x\right) <L\right)
\end{equation*}になるということです。
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( -3x^{2}\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N>0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x>N\Rightarrow -3x^{2}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x>0\)については、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}-3x^{2}<L &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &x>\sqrt{\frac{-L}{3}}\quad \because L<0
\end{eqnarray*}を得るため、\(L\)に対する\(N\)の候補として\(N=\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を選びます。実際、\(x>\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}x>\sqrt{\frac{-L}{3}} &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &-3x^{2}<L
\end{eqnarray*}となるため目標が達成されました。
負の無限大において発散する関数
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(f\)は限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。
関数\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくした場合に\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなるならば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)は正の無限大に発散する（diverge）と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記します。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。
まず、\(x\rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく小さいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として負の実数\(N<0\)を導入したとき、\begin{equation*}x<N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きいと言うためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として正の実数\(M>0\)を導入したとき、\begin{equation*}f\left( x\right) >M
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,M\)の関係として表現することになります。
具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left(x\right) \rightarrow +\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より小さい任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left( x\right)
>M\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow +\infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left(
x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく小さい任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくする場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left(
x\right) >M\right)
\end{equation*}になるということです。
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{4}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x<N\Rightarrow x^{4}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。\(x<0\)については、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}x^{4}>M &\Rightarrow &\left\vert x\right\vert ^{4}>M \\
&\Rightarrow &\left\vert x\right\vert >\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &-\left\vert x\right\vert <-\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &x<-\sqrt[4]{M}
\end{eqnarray*}を得るため、\(M\)に対する\(N\)の候補として\(N=-\sqrt[4]{M}\)を選びます。実際、\(x<-\sqrt[4]{M}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}x<-\sqrt[4]{M} &\Rightarrow &-x>\sqrt[4]{M} \\
&\Rightarrow &x^{4}>M
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。
関数\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくした場合に\(f\left( x\right) \)の値もまた限りなく小さくなるならば、\(x\)が限りなく小さくなるときに\(f\)は負の無限大に発散する（diverge）と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記します。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。
まず、\(x\rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく小さいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として負の実数\(N<0\)を導入したとき、\begin{equation*}x<N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さいと言うためには、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す指標として負の実数\(L<0\)を導入したとき、\begin{equation*}f\left( x\right) <L
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)は\(L\)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,L\)の関係として表現することになります。
具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)の大きさを表す値\(L\)を任意に選びます。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left(x\right) \rightarrow -\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より小さい任意の\(x\)について\(f\left( x\right) \)は\(L\)よりも小さくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left( x\right)
<L\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow -\infty \)となる場合には、最初に設定する\(L\)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}\forall L<0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left(
x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。
結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が限りなく小さい任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくする場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall L<0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow f\left(
x\right) <L\right)
\end{equation*}になるということです。
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( -3x^{2}\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists N<0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x<N\Rightarrow -3x^{2}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x<0\)については、\begin{eqnarray*}-3x^{2}<L &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &x<\sqrt{\frac{-L}{3}}\quad \because x<0,\ L<0
\end{eqnarray*}となります。そこで\(N=\sqrt{\frac{-L}{3}}\)とおくと、\(x<\sqrt{\frac{-L}{3}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}x<\sqrt{\frac{-L}{3}} &\Rightarrow &x^{2}>\frac{-L}{3} \\
&\Rightarrow &-3x^{2}<L
\end{eqnarray*}が成り立つため目標は達成されました。
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