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不定形の極限の解消:ロピタルの定理(0/0型)

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不定形の極限に関するロピタルの定義(0/0型)

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、関数\(f,g\)がともに点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)は点\(a\)の周辺の任意の点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow a\)のときの極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a}g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。

不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ますし、そもそも有限な実数として定まるか判定が困難であるような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(不定形の極限)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{x^{2}-\pi ^{2}}{\sin \left( x\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow \pi \)の場合の極限に注目します。ただし、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sin \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。分子については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\left( x^{2}-\pi ^{2}\right) &=&\lim_{x\rightarrow
\pi }x^{2}-\lim_{x\rightarrow \pi }\pi ^{2} \\
&=&\pi ^{2}-\pi ^{2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\sin \left( x\right) &=&\sin \left( \pi \right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\left( \frac{x^{2}-\pi ^{2}}{\sin \left( x\right) }\right)
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。ただ、この極限が有限な実数として定まるか判定するのは困難です。

ただし、一定の条件のもとでは、微分を用いて不定形の極限が有限な実数として定まるか判定できるとともに、その極限を具体的に特定することもできます。順番に解説します。

区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において、定義域の内点\(a\in I^{i}\)を任意に選びます。その上で、以下の条件が満たされているものとします。

1つ目の条件は、これらの関数\(f,g\)がともに定義域上で微分可能であるということです。つまり、導関数\(f^{\prime},g^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ存在します。

2つ目の条件は、これらの関数\(f,g\)が先の内点\(a\in I^{i}\)において、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( a\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすということです。ちなみに、微分可能性は連続性を含意するため、このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =g\left( a\right)
=0
\end{eqnarray*}がともに成り立ち、したがって以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形であることに注意してください。

3つ目の条件は、関数\(g\)の導関数が、\begin{equation*}\left( c\right) \ \forall x\in I:g^{\prime }\left( x\right) \not=0
\end{equation*}を満たすというものです。

4つ目の条件は、\(x\rightarrow a\)のときの関数\(\frac{f^{\prime }\left(x\right) }{g^{\prime }\left( x\right) }\)の極限が有限な実数として定まること、すなわち、\begin{equation*}\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left( x\right) }\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。

以上の条件が満たされる場合、不定形の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるとともに、その値は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left(
x\right) }
\end{equation*}となることが保証されます。これをロピタルの定理(l’Hospital’s rule)と呼びます。証明ではコーシーの平均値の定理などを利用します。

命題(不定形の極限に関するロピタルの定理)
区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)と区間の内点\(a\in I^{i}\)が与えられているものとする。関数\(f,g\)はともに区間\(I\)上で微分可能であるものとする。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f\left( a\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ g\left( a\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、導関数\(f^{\prime },g^{\prime }:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall x\in I:g^{\prime }\left( x\right) \not=0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left( x\right) }\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left(
x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(ロピタルの定理)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{x^{2}-\pi ^{2}}{\sin \left( x\right) }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow \pi \)の場合の極限に注目します。ただし、\begin{equation*}X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \sin \left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}です。十分小さい\(\varepsilon>0\)をとった上で、以下の2つの関数\begin{eqnarray*}x^{2}-\pi ^{2} &:&\mathbb{R} \supset \left( \pi -\varepsilon ,\pi +\varepsilon \right) \rightarrow \mathbb{R} \\
\sin \left( x\right) &:&\mathbb{R} \supset \left( \pi -\varepsilon ,\pi +\varepsilon \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}に注目します。これらは微分可能であるとともに点\(\pi \)における値は\(0\)です。さらに、任意の\(x\in \left( \pi -\varepsilon ,\pi+\varepsilon \right) \)について、\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) &=&\cos \left( x\right) \\
&\not=&0\quad \because x\in \left( \pi -\varepsilon ,\pi +\varepsilon
\right)
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\frac{\frac{d}{dx}\left( x^{2}-\pi ^{2}\right) }{\frac{d}{dx}\sin \left( x\right) } &=&\lim_{x\rightarrow \pi }\frac{2x}{\cos
\left( x\right) } \\
&=&\frac{2\pi }{\cos \left( \pi \right) } \\
&=&-2\pi \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つため、ロピタルの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \pi }\frac{x^{2}-\pi ^{2}}{\sin \left( x\right) }=-2\pi
\end{equation*}を得ます。

 

不定形の片側極限に関するロピタルの定義(0/0型)

不定形の右側極限と、関連するロピタルの定理は以下の通りです。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、関数\(f,g\)がともに点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)は点\(a\)より大きい周辺の任意の点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、点\(a\)より大きい周辺の任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow a+\)のときの右側極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の右側極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow a+}g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の右側極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。

不定形の右側極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ますし、そもそも有限な実数として定まるか判定が困難であるような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(不定形の極限)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{\sin \left( x-3\right) }{x-3}:\mathbb{R} \supset \left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow 3+\)の場合の右側極限に注目します。分子については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 3+}\sin \left( x-3\right) &=&\sin \left( 3-0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3+}\left( x-3\right) &=&3-3 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3+}\frac{\sin \left( x-3\right) }{x-3}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。ただ、この右側極限が有限な実数として定まるか判定するのは困難です。

不定形の右側極限に関するロピタルの定理は以下の通りです。

命題(不定形の右側極限に関するロピタルの定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がともに区間\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、導関数\(f^{\prime },g^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall x\in \left( a,b\right) :g^{\prime }\left(
x\right) \not=0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left( x\right) }\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)は\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ右側収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow a+}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left(
x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。

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例(ロピタルの定理)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{\sin \left( x-3\right) }{x-3}:\mathbb{R} \supset \left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow 3+\)の場合の右側極限に注目します。以下の2つの関数\begin{eqnarray*}\sin \left( x-3\right) &:&\mathbb{R} \supset \left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \\
x-3 &:&\mathbb{R} \supset \left( 3,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}に注目します。これらは微分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3+}\sin \left( x-3\right) &=&\sin \left( 0\right) =0 \\
\lim_{x\rightarrow 3+}\left( x-3\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。さらに、任意の\(x\in \left( 3,+\infty\right) \)について、\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left( x-3\right) =1\not=0
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 3+}\frac{\frac{d}{dx}\sin \left( x-3\right) }{\frac{d}{dx}\left( x-3\right) } &=&\lim_{x\rightarrow 3+}\frac{\cos \left( x-3\right) }{1} \\
&=&\cos \left( 3-3\right) \\
&=&\cos \left( 0\right) \\
&=&1 \\
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つため、ロピタルの定理より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 3+}\frac{\sin \left( x-3\right) }{x-3}=1
\end{equation*}を得ます。

不定形の左側極限と、関連するロピタルの定理は以下の通りです。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、定義域の点\(b\in X\)を任意に選びます。ただし、関数\(f,g\)がともに点\(b\)より小さい周辺の任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)は点\(b\)より小さい周辺の任意の点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、点\(b\)より小さい周辺の任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow b+\)のときの左側極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b-}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の左側極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow b-}g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の左側極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b-}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。

不定形の左側極限に関するロピタルの定理は以下の通りです。

命題(不定形の左側極限に関するロピタルの定理)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がともに区間\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、導関数\(f^{\prime },g^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall x\in \left( a,b\right) :g^{\prime }\left(
x\right) \not=0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow b-}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left( x\right) }\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)は\(x\rightarrow b-\)のときに有限な実数へ左側収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b-}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow b-}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime }\left(
x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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不定形の無限大の極限に関するロピタルの定義(0/0型)

不定形の正の無限大における極限と、関連するロピタルの定理は以下の通りです。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)はそれらの点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、限りなく大きい任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow+\infty \)のときの極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の正の無限大における極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の正の無限大における極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。

不定形の極限は有限な実数として定まる場合とそうでない場合の両方が起こり得ますし、そもそも有限な実数として定まるか判定が困難であるような状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(不定形の極限)
以下の関数\begin{equation*}
\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\left( \frac{1}{x}\right) ^{2}}:\mathbb{R} \supset \left( 0,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について、\(x\rightarrow +\infty \)の場合の右側極限に注目します。分子については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( e^{\frac{1}{x}}-1\right)
&=&\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{\frac{1}{x}}-\lim_{x\rightarrow +\infty }1
\\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、分母については、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right) ^{2}=0
\end{equation*}が成り立つため、以下の極限\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\left( \frac{1}{x}\right) ^{2}}
\end{equation*}は\(\frac{0}{0}\)型の不定形です。ただ、この極限が有限な実数として定まるか判定するのは困難です。

不定形の正の無限大における極限に関するロピタルの定理は以下の通りです。

命題(不定形の正の無限大における極限に関するロピタルの定理)
\(a>0\)を満たす実数\(a\in \mathbb{R} \)を端点とする無限開区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left( a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)がともに区間\(\left( a,+\infty \right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、導関数\(f^{\prime },g^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( a,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall x\in \left( a,+\infty \right) :g^{\prime }\left(
x\right) \not=0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f^{\prime }\left(
x\right) }{g^{\prime }\left( x\right) }\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)は\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数へ収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime
}\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。

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不定形の無限小における極限と、関連するロピタルの定理は以下の通りです。

定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がともに限りなく小さい任意の点において定義されているとともに、関数\(g\)はそれらの点において非ゼロの値をとるものとします。この場合、限りなく小さい任意の点\(x\in X\)において以下の関数\begin{equation*}\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}は定義されていることになるため、\(x\rightarrow-\infty \)のときの極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }
\end{equation*}が有限な実数として定まるか検討できます。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}がともに成り立つ状況を想定します。この場合、分子\(f\left( x\right) \)と分母\(g\left( x\right) \)の負の無限大における極限を別々にとると、\begin{equation*}\frac{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) }=\frac{0}{0}
\end{equation*}という不定形になってしまいます。このような事情を踏まえた上で、もとの関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)の負の無限大における極限\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right)
}
\end{equation*}を\(\frac{0}{0}\)型の不定形(indeterminate form of type \(\frac{0}{0}\))と呼びます。

不定形の負の無限大における極限に関するロピタルの定理は以下の通りです。

命題(不定形の負の無限大における極限に関するロピタルの定理)
\(b<0\)を満たす実数\(b\in \mathbb{R} \)を端点とする無限開区間上に定義された2つの関数\(f,g:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)がともに区間\(\left( -\infty ,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、導関数\(f^{\prime },g^{\prime }:\mathbb{R} \supset \left( -\infty ,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall x\in \left( -\infty ,b\right) :g^{\prime }\left(
x\right) \not=0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f^{\prime }\left(
x\right) }{g^{\prime }\left( x\right) }\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、関数\(\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\)は\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数へ収束するとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{g^{\prime
}\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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