有界変動関数どうしの差
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。すると、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)がともに区間\(\left[a,b\right] \)上で有界変動であるものとします。つまり、関数\(f\)の区間\(\left[a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}と、関数\(g\)の区間\(\left[ a,b\right]\)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( g\right) &=&\sup \left\{ V\left( g,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert g\left( x_{k}\right) -g\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まるということです。この場合、関数\(f-g\)もまた区間\(\left[a,b\right] \)上で有界変動になることが保証されるとともに、これらの関数の全変動の間には以下の関係\begin{equation*}TV\left( f-g\right) \leq TV\left( f\right) +TV\left( g\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動な関数\(f,g\)どうしの差の形をしている関数\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるとともに、\(f-g\)の全変動は\(f\)の全変動と\(g\)の全変動の和を超えません。したがって、何らかの関数\(f,g\)の差の形をしている関数\(f-g\)の有界変動性を検討する際には、\(f\)と\(g\)を分けた上で、それぞれが有界変動であることを確認すればよいということになります。
\end{equation*}という関係が成立する。
c_{2}g\right) \quad \because \text{有界変動関数の差の全変動} \\
&=&\left\vert c_{1}\right\vert \cdot TV\left( f\right) +\left\vert
c_{2}\right\vert \cdot TV\left( g\right) \quad \because \text{有界変動関数の定数倍の全変動}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
TV\left( c_{1}f-c_{2}g\right) \leq \left\vert c_{1}\right\vert \cdot
TV\left( f\right) +\left\vert c_{2}\right\vert \cdot TV\left( g\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
関数の差の全変動は関数の全変動の差と一致するとは限らない
関数\(f,g\)がともに区間\(\left[a,b\right] \)上において有界変動である場合には関数\(f-g\)もまた区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるとともに、以下の関係\begin{equation*}TV\left( f-g\right) \leq TV\left( f\right) +TV\left( g\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。この関係は等号で成立するとは限りません。以下の例より明らかです。
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}であるものとします。この場合、関数\(f-g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f-g\right) \left( x\right) &=&f\left( x\right) -g\left( x\right)
\quad \because f-g\text{の定義} \\
&=&x-x\quad \because f,g\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を定めます。これらの関数はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるとともに、\begin{equation*}TV\left( f-g\right) <TV\left( f\right) +TV\left( g\right)
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
演習問題
g\left( x\right) &=&x
\end{eqnarray*}とそれぞれ表されるものとします。その上で、関数\(f-g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f,g,f-g\)はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるとともに、\begin{equation*}TV\left( f-g\right) <TV\left( f\right) +TV\left( g\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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