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有理数ベキ関数の極限

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有理数ベキ関数の極限

自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\begin{equation*}x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。有理数ベキ関数の定義より、任意の\(x\in X\)について、\begin{equation*}x^{\frac{z}{n}}=\left( x^{\frac{1}{n}}\right) ^{z}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}\)は無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)と整数ベキ関数\(x^{z}\)の合成関数であるため、\(x^{\frac{z}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{z}{n}}=a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}が成り立つことが示されます。

命題(有理数ベキ関数の極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{\frac{z}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{z}{n}}=a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(有理数ベキ関数の極限)
有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x^{\frac{2}{3}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(有理数ベキ関数の極限)
有理数ベキ関数\(x^{\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、\(x^{\frac{5}{4}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{5}{4}}=a^{\frac{5}{4}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(有理数ベキ関数の極限)
有理数ベキ関数\(x^{-\frac{2}{3}}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(x^{-\frac{2}{3}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{-\frac{2}{3}}=a^{-\frac{2}{3}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(有理数ベキ関数の極限)
有理数ベキ関数\(x^{-\frac{5}{4}}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(x^{-\frac{5}{4}}\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{-\frac{5}{4}}=a^{-\frac{5}{4}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(有理数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) ^{\frac{2}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(\sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、多項式関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) =\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。有理数ベキ関数\(x^{\frac{2}{5}}\)は点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)の周辺の任意の点において定義されているため、有理数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1}x^{\frac{2}{5}}=\left( \sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{\frac{2}{5}} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{\frac{2}{5}}\)は点\(\sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \sqrt{2}a^{4}+2a^{2}+1\right) ^{\frac{2}{5}}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(有理数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) ^{\frac{3}{5}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\)と有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{5}}\)の合成関数であることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、有理関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{x^{4}+1}{x^{2}+1}\right) =\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。有理数ベキ関数\(x^{\frac{3}{5}}\)は点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)の周辺の任意の点において定義されているため、有理数ベキ関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow \frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}}x^{\frac{3}{5}}=\left( \frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\right) ^{\frac{3}{5}} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます(関数\(x^{\frac{3}{5}}\)は点\(\frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \sqrt{2}x^{4}+2x^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{a^{4}+1}{a^{2}+1}\right) ^{\frac{3}{5}}\quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(有理数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{\frac{3}{2}}-1}{x^{\frac{1}{2}}-1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 1\)のときの\(f\)の極限を求めます。そのまま極限をとると、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x^{\frac{3}{2}}-1}{x^{\frac{1}{2}}-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left( x^{\frac{3}{2}}-1\right) }{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left( x^{\frac{1}{2}}-1\right) }\quad \because
\text{収束する関数の商} \\
&=&\frac{1-1}{1-1}\quad \because \text{無理関数・有理数ベキ関数の極限} \\
&=&\frac{0}{0}
\end{eqnarray*}と不定形になるため定義不可能です。一方、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\frac{x^{\frac{3}{2}}-1}{x^{\frac{1}{2}}-1} \\
&=&\frac{\left( \sqrt{x}\right) ^{3}-1}{\sqrt{x}-1} \\
&=&\frac{\left( \sqrt{x}-1\right) \left( x+\sqrt{x}+1\right) }{\sqrt{x}-1}
\end{eqnarray*}と変形できることに注目すると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 1}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\left(
\sqrt{x}-1\right) \left( x+\sqrt{x}+1\right) }{\sqrt{x}-1} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1}\left( x+\sqrt{x}+1\right) \\
&=&1+\sqrt{1}+1 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow 1\)のときに\(f\)は\(3\)へ収束することが明らかになりました。

 

有理数ベキ関数の片側極限

先の命題を踏まえると、片側極限に関する以下の命題が得られます。

命題(有理数ベキ関数の片側極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだ上で、有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(x^{\frac{z}{n}}\)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}x^{\frac{z}{n}}=a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}が成り立つ。また、\(x^{\frac{z}{n}}\)が点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}x^{\frac{z}{n}}=a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

例(有理数ベキ関数の極限)
自然数\(n\in \mathbb{N} \)および整数\(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、有界閉区間上に有理数ベキ関数\(x^{\frac{z}{n}}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。定義域の内点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、有理数ベキ関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}x^{\frac{z}{n}}=a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(0\)に注目したとき、有理数ベキ関数の右側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}x^{\frac{z}{n}}=a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。定義域の端点\(1\)に注目したとき、有理数ベキ関数の左側極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}x^{\frac{z}{n}}=a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(有理数ベキ関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{\frac{3}{2}}+1}{x-1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 1\)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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問題(有理数ベキ関数の極限)
以下の極限を求めてください。\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 1}\left( \frac{x^{\frac{1}{3}}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}
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