有界変動関数と単調関数の関係（ジョルダンの定理）

単調増加関数どうしの差は有界変動関数

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された2つの関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。すると、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

関数\(f,g\)はともに単調増加関数であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}\forall x,x^{\prime } &\in &\left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \\
\forall x,x^{\prime } &\in &\left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow g\left( x\right) \leq g\left( x^{\prime }\right) \right] \end{eqnarray*}がともに成り立つということです。単調増加関数は有界変動関数であるため\(f\)と\(g\)はともに区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動です。つまり、関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&\sup \left\{ V\left( f,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right) -f\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}と、関数\(g\)の区間\(\left[ a,b\right]\)上での全変動\begin{eqnarray*}TV\left( g\right) &=&\sup \left\{ V\left( g,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ \sum_{k=1}^{n}\left\vert g\left( x_{k}\right) -g\left(
x_{k-1}\right) \right\vert \in \mathbb{R} \ |\ \left\{ x_{k}\right\} _{k=0}^{n}\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\}
\end{eqnarray*}がともに有限な実数として定まるということです。また、有界変動関数どうしの差として定義される関数は有界変動関数であるため\(f-g\)は区間\(\left[a,b\right] \)上において有界変動です。

関数\(f,g\)はともに狭義単調増加関数であるものとします。つまり、\begin{eqnarray*}\forall x,x^{\prime } &\in &\left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow f\left( x\right) <f\left( x^{\prime }\right) \right] \\
\forall x,x^{\prime } &\in &\left[ a,b\right] :\left[ x<x^{\prime
}\Rightarrow g\left( x\right) <g\left( x^{\prime }\right) \right] \end{eqnarray*}がともに成り立つということです。狭義単調増加関数は単調増加関数であるため、先の命題より以下を得ます。

単調増加関数どうしの差として定義される関数は有界変動であることが明らかになりました。実は、有界変動関数は単調増加関数どうしの積として表現することができます。以降で順番に示します。

全変動を用いた定数関数の特徴づけ

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定数関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるということです。

定数関数は有界変動であるため\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。加えて、定数関数の全変動は\(0\)であるため、\begin{equation*}TV\left( f,\left[ a,b\right] \right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。逆の主張も成り立つため以下を得ます。

有界変動関数から生成される単調増加関数

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動関数であるものとします。点\(x\in \left( a,b\right] \)を任意に選べば、この点を右側の端点とする区間\(\left[ a,x\right] \)が得られますが、明らかに、\begin{equation*}\left[ a,x\right] \subset \left[ a,b\right] \end{equation*}が成り立ちます。閉区間上で有界変動な関数は部分閉区間上においても有界変動であるため\(f\)は\(\left[ a,x\right] \)上において有界変動であり、したがって、その全変動\begin{equation*}TV\left( f,\left[ a,x\right] \right)
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。任意の\(x\in \left( a,b\right] \)について同様です。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=a\right) \\
TV\left( f,\left[ a,x\right] \right) & \left( if\ x\not=a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
g:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これは単調増加関数になることが保証されます。

単調増加関数どうしの差としての有界変動関数

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動関数であるものとします。この場合、\(f\)を2つの単調増加関数の差として表現できることが保証されます。つまり、以下の条件\begin{equation*}f=g-h
\end{equation*}を満たす2つの単調増加関数\begin{eqnarray*}
g &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \\
h &:&\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が必ず存在するということです。これをジョルダンの定理（Jordan’s theorem）と呼びます。

有界変動関数は単調増加関数どうしの差として表現されることが明らかになりました。また、冒頭で示したように、単調増加関数どうしの差として表現される関数は有界変動関数です。したがって以下を得ます。

狭義単調増加関数どうしの差としての有界変動関数

先の命題において、単調増加関数を狭義単調増加関数に置き換えた主張もまた成り立ちます。

有界変動関数は狭義単調増加関数どうしの差として表現されることが明らかになりました。また、冒頭で示したように、狭義単調増加関数どうしの差として表現される関数は有界変動関数です。したがって以下を得ます。