関数の片側無限極限

関数の変数がある点に右側もしくは左側から近づくときに、変数の値が無限大や無限小へ発散する場合には、それらの極限を片側無限極限と呼びます。

片側発散する関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)がある実数\(\alpha \)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなる場合には、変数\(x\)が右側から点\(\alpha \)に限りなく近づくときに\(f\)は無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表します。

関数\(f\)が点\(\alpha \)において無限大に発散すること、すなわち\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =+\infty \)が成り立つことの定義は、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}となります。\(0<|x-\alpha |<\delta \)は\(x<\alpha \)の場合と\(x>\alpha \)の場合の両方のケースを内包していますが、変数\(x\)が右側から点\(\alpha \)に限りなく近づく場合には\(x>\alpha \)となるため、上の論理式において\(0<|x-\alpha |<\delta \)を\(0<x-\alpha <\delta \)に置き換えた、\begin{equation*} \forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-\alpha <\delta \ \Rightarrow \ f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}こそが\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =+\infty \)の厳密な定義となります。

例(点において右側から無限大に発散する関数)
\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( 0<x-0<\delta \ \Rightarrow \ \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。\(x>0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}}>M &\Rightarrow &\frac{1}{M}>x^{2} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{\sqrt{M}}>x \\
&\Rightarrow &0<x<\frac{1}{\sqrt{M}}
\end{eqnarray*}を得るため、\(M\)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}\)を選びます。実際、\(0<x-0<\frac{1}{\sqrt{M}}\)すなわち\(0<x<\frac{1}{\sqrt{M}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}} &>&1/\left( \frac{1}{\sqrt{M}}\right) ^{2}\quad \because 0<x<\frac{1}{\sqrt{M}} \\
&=&1/\frac{1}{M} \\
&=&M
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)がある実数\(\alpha \)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなる場合には、変数\(x\)が右側から点\(\alpha \)に限りなく近づくときに\(f\)は無限小に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表します。

関数\(f\)が点\(\alpha \)において無限小に発散すること、すなわち\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =-\infty \)が成り立つことの定義は、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}となります。\(0<|x-\alpha |<\delta \)は\(x<\alpha \)の場合と\(x>\alpha \)の場合の両方のケースを内包していますが、変数\(x\)が右側から点\(\alpha \)に限りなく近づく場合には\(x>\alpha \)となるため、上の論理式において\(0<|x-\alpha |<\delta \)を\(0<x-\alpha <\delta \)に置き換えた、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-\alpha <\delta \ \Rightarrow \ f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}こそが\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =-\infty \)の厳密な定義となります。

例(点において右側から無限小に発散する関数)
\(f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}-\frac{1}{x^{2}}=-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( 0<x-0<\delta \ \Rightarrow \ -\frac{1}{x^{2}}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x>0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{2}}<L &\Rightarrow &\frac{1}{-L}>x^{2} \\
&\Rightarrow &x<\frac{1}{\sqrt{-L}}
\end{eqnarray*}を得るため、\(L\)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\frac{1}{\sqrt{-L}}\)を選びます。実際、\(0<x-0<\frac{1}{\sqrt{-L}}\)すなわち\(0<x<\frac{1}{\sqrt{-L}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{2}} &<&-1/\left( \frac{1}{\sqrt{-L}}\right) ^{2}\quad \because 0<x<\frac{1}{\sqrt{-L}} \\
&=&-1/\left( \frac{1}{-L}\right) \\
&=&L
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)がある実数\(\alpha \)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなる場合には、変数\(x\)が左側から点\(\alpha \)に限りなく近づくときに\(f\)は無限大に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha +}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表します。

関数\(f\)が点\(\alpha \)において無限大に発散すること、すなわち\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =+\infty \)が成り立つことの定義は、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}となります。\(0<|x-\alpha |<\delta \)は\(x<\alpha \)の場合と\(x>\alpha \)の場合の両方のケースを内包していますが、変数\(x\)が左側から点\(\alpha \)に限りなく近づく場合には\(x<\alpha \)となるため、上の論理式において\(0<|x-\alpha |<\delta \)を\(0<-\left( x-\alpha \right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-\alpha <0\)に置き換えた、\begin{equation*} \forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta <x-\alpha <0\ \Rightarrow \ f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}こそが\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f\left( x\right) =+\infty \)の厳密な定義となります。

例(点において左側から無限大に発散する関数)
\(f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( -\delta <x-0<0\ \Rightarrow \ \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。\(x<0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}}>M &\Rightarrow &\frac{1}{M}>x^{2} \\
&\Rightarrow &-\frac{1}{\sqrt{M}}<x
\end{eqnarray*}を得るため、\(M\)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}\)を選びます。実際、\(-\frac{1}{\sqrt{M}}<x-0<0\)すなわち\(-\frac{1}{\sqrt{M}}<x<0\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}} &>&1/\left( -\frac{1}{\sqrt{M}}\right) ^{2}\quad \because -\frac{1}{\sqrt{M}}<x<0 \\
&=&1/\frac{1}{M} \\
&=&M
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数\(x\)がある実数\(\alpha \)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(\alpha \)に限りなく近づくにつれて、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなる場合には、変数\(x\)が左側から点\(\alpha \)に限りなく近づくときに\(f\)は無限小に発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha -}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表します。

関数\(f\)が点\(\alpha \)において無限小に発散すること、すなわち\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =-\infty \)が成り立つことの定義は、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<|x-\alpha |<\delta \ \Rightarrow \ f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}となります。\(0<|x-\alpha |<\delta \)は\(x<\alpha \)の場合と\(x>\alpha \)の場合の両方のケースを内包していますが、変数\(x\)が左側から点\(\alpha \)に限りなく近づく場合には\(x<\alpha \)となるため、上の論理式において\(0<|x-\alpha |<\delta \)を\(0<-\left( x-\alpha \right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-\alpha <0\)に置き換えた、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta <x-\alpha <0\ \Rightarrow \ f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}こそが\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f\left( x\right) =-\infty \)の厳密な定義となります。

例(点において左側から無限小に発散する関数)
\(f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}\)と定義される関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}-\frac{1}{x^{2}}=-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( -\delta <x-0<0\ \Rightarrow \ -\frac{1}{x^{2}}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x<0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{2}}<L &\Rightarrow &\frac{1}{-L}>x^{2} \\
&\Rightarrow &-\frac{1}{\sqrt{-L}}<x
\end{eqnarray*}を得るため、\(L\)に対する\(\delta \)の候補として\(\delta =\frac{1}{\sqrt{-L}}\)を選びます。実際、\(-\frac{1}{\sqrt{-L}}<x-0<0\)すなわち\(-\frac{1}{\sqrt{-L}}<x<0\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{2}} &<&-1/\left( \frac{1}{\sqrt{-L}}\right) ^{2}\quad \because -\frac{1}{\sqrt{-L}}<x<0 \\
&=&-1/\left( \frac{1}{-L}\right) \\
&=&L
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

次回は関数の極限と片側極限の関係について考察します。
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