関数の片側無限極限

関数の右側無限極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大へ発散する（diverge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow +\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(+\infty \)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側無限極限（right-hand infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合には\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべきべき前提条件を、\begin{equation*}0<x-a<\delta
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま右側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記するということです。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である場合、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}になるということです。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることが保証されているのであれば、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大へ発散する（diverge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow -\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(+\infty \)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の右側無限極限（right-hand infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことは以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合には\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべきべき前提条件を、\begin{equation*}0<x-a<\delta
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま右側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記するということです。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である場合、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}になるということです。

関数の左側無限極限

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大へ発散する（diverge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow +\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(+\infty \)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の左側無限極限（left-hand infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべきべき前提条件を、\begin{equation*}0<-\left( x-a\right) <\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\delta <x-a<0
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま左側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記するということです。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点である場合、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}になるということです。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることが保証されているのであれば、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大へ発散する（diverge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow -\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(-\infty \)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の左側無限極限（left-hand infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことは以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべきべき前提条件を、\begin{equation*}0<-\left( x-a\right) <\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\delta <x-a<0
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま左側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記するということです。

結論をまとめましょう。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点である場合、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}になるということです。

関数の片側無限極限

関数の右側無限極限と左側無限極限を総称して片側無限極限（one-sided infinite limit）と呼びます。

関数が点において左右の極限を持つとともにそれらの値が一致することは、関数がその点において極限を持つための必要十分条件ですが、関数の片側無限極限と無限極限の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、関数の点における左右の無限極限がともに正の無限大であることは、その関数がその点において正の無限大へ発散するための必要十分条件です。また、点における左右の無限極限がともに負の無限大であることは、その関数がその点において負の無限大へ発散するための必要十分条件です。

関数がある点において左右の無限極限を持つ場合でも両者が一致しない場合には、先の命題より、その関数はその点において無限極限を持ちません。以下の例より明らかです。

例（関数の片側無限極限）

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、片側極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これは右側無限極限と左側無限極限が一致しない例です。また、下のグラフから確認できるように、変数\(x\)を点\(0\)に限りなく近づけた場合に\(f\left( x\right) \)の値は正の無限大と負の無限大のどちらか一方へ発散するとは言えないため、\(f\)は\(0\)において無限極限を持ちません。