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関数の片側無限極限

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関数の右側無限極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも大きい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a \)とは異なりなおかつ\(a \)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなる場合、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大へ発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow +\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(+\infty \)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側無限極限(right-handinfinite limit)と呼びます。

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合には\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<x-a<\delta \)に置き換えれば、それはそのまま右側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の右側無限極限の厳密な定義です。

例(関数の右側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(0\)より大きい周辺の任意の\(x\)において定義されています。そこで、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( 0<x-0<\delta \Rightarrow \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( 0<x<\delta \Rightarrow \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}となります。以上の命題が成り立つことを示すことが目標になります。\(M>0\)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができ、\begin{equation}
0<x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x^{2}} &>&\frac{1}{\delta ^{2}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{M}}\right) ^{2}}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{M}} \\
&=&M
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも大きい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなる場合、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大へ発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow -\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(-\infty \)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側無限極限(right-handinfinite limit)と呼びます。

復習になりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合には\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<x-a<\delta \)に置き換えれば、それはそのまま右側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の右側無限極限の厳密な定義です。

例(関数の右側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{x^{2}}\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( 0<x-0<\delta \Rightarrow -\frac{1}{x^{2}}<L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( 0<x<\delta \Rightarrow -\frac{1}{x^{2}}<L\right)
\end{equation*}となります。以上の命題が成り立つことを示すことが目標になります。\(L<0\)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{1}{\sqrt{-L}}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができ、\begin{equation}
0<x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{eqnarray*}-\frac{1}{x^{2}} &<&-\frac{1}{\delta ^{2}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&-\frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{-L}}\right) ^{2}}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&-\frac{1}{\frac{1}{-L}} \\
&=&L
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

関数の左側無限極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも小さい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a \)とは異なりなおかつ\(a \)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなる場合、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大へ発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow +\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(+\infty \)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の左側無限極限(left-handinfinite limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<-\left( x-a\right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-a<0\)に置き換えれば、それはそのまま左側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の左側無限極限の厳密な定義です。

例(関数の左側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\left( \frac{1}{x^{2}}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( -\delta <x-0<0\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( -\delta <x<0\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}となります。以上の命題が成り立つことを示すことが目標になります。\(M>0\)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができ、\begin{equation}
-\delta <x<0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{eqnarray*}\frac{1}{x^{2}} &>&\frac{1}{\left( -\delta \right) ^{2}}\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&\frac{1}{\delta ^{2}} \\
&=&\frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{M}}\right) ^{2}}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{M}} \\
&=&M
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも小さい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a \)とは異なりなおかつ\(a \)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなる場合、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大へ発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow -\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(-\infty \)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の左側無限極限(left-handinfinite limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<-\left( x-a\right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-a<0\)に置き換えれば、それはそのまま左側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の左側無限極限の厳密な定義です。

例(関数の左側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\left( -\frac{1}{x^{2}}\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( -\delta <x-0<0\Rightarrow -\frac{1}{x^{2}}<L\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( -\delta <x<0\Rightarrow -\frac{1}{x^{2}}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{1}{\sqrt{-L}}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができ、\begin{equation}
-\delta <x<0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \backslash \{0\}\)に対して、\begin{eqnarray*}-\frac{1}{x^{2}} &<&-\frac{1}{\left( -\delta \right) ^{2}}\quad \because
\left( 2\right) \\
&=&-\frac{1}{\delta ^{2}} \\
&=&-\frac{1}{\left( \frac{1}{\sqrt{-L}}\right) ^{2}}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&-\frac{1}{\frac{1}{-L}} \\
&=&L
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

関数の片側無限極限

関数の右側無限極限と左側無限極限を総称して片側無限極限(one-sided infinite limit)と呼びます。

例(関数の片側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、片側極限について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}f\left(
x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。これは右側無限極限と左側無限極限が一致する例です。加えて、通常の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立ちます。

関数が点において左右の極限を持つとともにそれらの値が一致することは、関数がその点において極限を持つための必要十分条件ですが、関数の片側無限極限と無限極限の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、関数の点における左右の無限極限がともに正の無限大であることは、その関数がその点において正の無限大へ発散するための必要十分条件です。また、点における左右の無限極限がともに負の無限大であることは、その関数がその点において負の無限大へ発散するための必要十分条件です。

命題(無限極限と片側無限極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)
&=&\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)=+\infty \Leftrightarrow
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty \\
\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)
&=&\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)=-\infty \Leftrightarrow
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

証明

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関数がある点において左右の無限極限を持つ場合でも両者が一致しない場合には、上の命題より、その関数はその点において無限極限を持ちません。以下の例から明らかです。

例(関数の片側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、片側極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&+\infty \\
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。これは右側無限極限と左側無限極限が一致しない例です。また、下のグラフから確認できるように、変数\(x\)を点\(0\)に限りなく近づけた場合に\(f\left( x\right) \)の値は正の無限大と負の無限大のどちらか一方へ発散するとは言えないため、\(f\)は\(0\)において無限極限を持ちません。

図:左右の無限極限が一致しない場合
図:左右の無限極限が一致しない場合

次回は変数が限りなく大きくなる(限りなく小さくなる)場合の関数の極限について解説します。

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