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関数の片側無限極限

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関数の片側無限極限

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも大きい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなる場合、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大へ発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow +\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(+\infty \)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側無限極限(right-hand infinite limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合、\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<x-a<\delta \)に置き換えれば、それはそのまま右側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の右側無限極限の厳密な定義です。

例(関数の右側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( 0<x-0<\delta \Rightarrow \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。\(x>0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}}>M &\Rightarrow &\frac{1}{M}>x^{2} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{\sqrt{M}}>x \\
&\Rightarrow &0<x<\frac{1}{\sqrt{M}}
\end{eqnarray*}を得るため、\(M\)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}
\end{equation*}を選びます。実際、\(0<x-0<\frac{1}{\sqrt{M}}\)すなわち\(0<x<\frac{1}{\sqrt{M}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}} &>&1/\left( \frac{1}{\sqrt{M}}\right) ^{2}\quad \because 0<x<\frac{1}{\sqrt{M}} \\
&=&1/\frac{1}{M} \\
&=&M
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも大きい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなる場合、\(x\)が右側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大へ発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow -\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(-\infty \)を\(x\rightarrow a+\)のときの\(f\)の右側無限極限(right-hand infinite limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合、\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<x-a<\delta \)に置き換えれば、それはそのまま右側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の右側無限極限の厳密な定義です。

例(関数の右側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}-\frac{1}{x^{2}}=-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( 0<x-0<\delta \Rightarrow -\frac{1}{x^{2}}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x>0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{2}}<L &\Rightarrow &\frac{1}{-L}>x^{2} \\
&\Rightarrow &x<\frac{1}{\sqrt{-L}}
\end{eqnarray*}を得るため、\(L\)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\frac{1}{\sqrt{-L}}
\end{equation*}を選びます。実際、\(0<x-0<\frac{1}{\sqrt{-L}}\)すなわち\(0<x<\frac{1}{\sqrt{-L}}\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{2}} &<&-1/\left( \frac{1}{\sqrt{-L}}\right) ^{2}\quad \because
0<x<\frac{1}{\sqrt{-L}} \\
&=&-1/\left( \frac{1}{-L}\right) \\
&=&L
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも小さい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく大きくなる場合、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は正の無限大へ発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow +\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(+\infty \)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の左側無限極限(left-hand infinite limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<-\left( x-a\right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-a<0\)に置き換えれば、それはそのまま左側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) >M\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の左側無限極限の厳密な定義です。

例(関数の左側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものとして定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( -\delta <x-0<0\Rightarrow \frac{1}{x^{2}}>M\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(M>0\)を任意に選びます。\(x<0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}}>M &\Rightarrow &\frac{1}{M}>x^{2} \\
&\Rightarrow &-\frac{1}{\sqrt{M}}<x
\end{eqnarray*}を得るため、\(M\)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}
\end{equation*}を選びます。実際、\(-\frac{1}{\sqrt{M}}<x-0<0\)すなわち\(-\frac{1}{\sqrt{M}}<x<0\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{x^{2}} &>&1/\left( -\frac{1}{\sqrt{M}}\right) ^{2}\quad \because -\frac{1}{\sqrt{M}}<x<0 \\
&=&1/\frac{1}{M} \\
&=&M
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺にある\(a\)よりも小さい任意の点において定義されているものとします。点\(a\)自身は定義域\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。変数\(x\)が点\(a\)とは異なりなおかつ\(a\)よりも小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値が限りなく小さくなる場合、\(x\)が左側から\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は負の無限大へ発散する(diverge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\ \text{のとき}\ f\left( x\right)
\rightarrow -\infty
\end{equation*}などで表します。その上で、このような\(-\infty \)を\(x\rightarrow a-\)のときの\(f\)の左側無限極限(left-hand infinite limit)と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つことは、以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert
x-a\right\vert <\delta \Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が真であることとして定義されます。\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では\(0<|x-a|<\delta \)という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、上の論理式中の\(0<|x-a|<\delta \)を\(0<-\left( x-a\right) <\delta \)すなわち\(-\delta <x-a<0\)に置き換えれば、それはそのまま左側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) <L\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}で表記するということです。以上が関数の左側無限極限の厳密な定義です。

例(関数の左側無限極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =-\frac{1}{x^{2}}
\end{equation*}を定めるものと定義されているとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}-\frac{1}{x^{2}}=-\infty
\end{equation*}が成り立つことを示します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall L<0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in
\mathbb{R} \backslash \{0\}:\left( -\delta <x-0<0\Rightarrow -\frac{1}{x^{2}}<L\right)
\end{equation*}となります。この論理式を示すことが目標です。\(L<0\)を任意に選びます。\(x<0\)の場合には、結論の式を変形すると、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{2}}<L &\Rightarrow &\frac{1}{-L}>x^{2} \\
&\Rightarrow &-\frac{1}{\sqrt{-L}}<x
\end{eqnarray*}を得るため、\(L\)に対する\(\delta \)の候補として、\begin{equation*}
\delta =\frac{1}{\sqrt{-L}}
\end{equation*}を選びます。実際、\(-\frac{1}{\sqrt{-L}}<x-0<0\)すなわち\(-\frac{1}{\sqrt{-L}}<x<0\)を満たす任意の\(x\)について、\begin{eqnarray*}
-\frac{1}{x^{2}} &<&-1/\left( \frac{1}{\sqrt{-L}}\right) ^{2}\quad \because -\frac{1}{\sqrt{-L}}<x<0 \\
&=&-1/\left( \frac{1}{-L}\right) \\
&=&L
\end{eqnarray*}となるため目標は達成されました。

 

無限極限と片側無限極限の関係

関数が点において左右の極限を持つとともにそれらの値が一致することは、関数がその点において極限を持つための必要十分条件ですが、関数の片側無限極限と無限極限の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、関数の点における左右の極限がともに無限大であることは、その関数がその点において無限大に発散するための必要十分条件です。また、点における左右の極限がともに無限小であることは、その関数がその点において無限小に発散するための必要十分条件です(証明は「命題の証明」ページへ掲載します)。

命題(無限極限と片側無限極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(a\in \mathbb{R} \)に対して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)
&=&\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)=+\infty \Leftrightarrow
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=+\infty \\
\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)
&=&\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)=-\infty \Leftrightarrow
\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty
\end{eqnarray*}
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関数がある点において左右の無限極限を持つ場合でも両者が一致しない場合には、上の命題より、その関数はその点において無限極限を持ちません。以下の例から明らかです。

例(無限極限と片側無限極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)における右側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{x}=+\infty
\end{equation*}である一方で、左側極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}\frac{1}{x}=-\infty
\end{equation*}となりますが、両者は一致しないため、先の命題より、\(f\)は\(0\)において無限極限を持たないはずです。実際、下のグラフから確認できるように、変数\(x\)を\(0\)に限りなく近づけた場合に\(f\left( x\right) \)の値は無限大と無限小のどちらか一方になるとは言えないため、\(f\)は\(0\)において無限極限を持ちません。
図:左右の無限極限が一致しない場合
図:左右の無限極限が一致しない場合

次回は正の無限大における関数の無限極限について解説します。

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