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正接関数(tan関数)の連続性

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正接関数の連続性

正接関数\begin{equation*}
\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。\(\tan \left( x\right) \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

命題(正接関数の連続性)
正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\tan \left( x\right) \)は点\(a\)において連続である。
証明

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例(正接関数の連続性)
正接関数\(\tan \left( x\right) \)の定義域となり得る最大の集合は、\begin{eqnarray*}X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}であることから、関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(X\)は開集合であるため、点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(\tan \left( x\right) \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より\(\tan \left( x\right) \)は点\(a\)において連続です。\(X\)上の任意の点において同様であるため、上の集合\(X\)上に定義された正接関数は\(X\)上で連続です。
例(正接関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( 3x^{2}+2x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)は\(f\)の定義域です。\(f\)は点\(0\)において連続であることを示します。\(f\)は多項式関数\(3x^{2}+2x+1\)と正接関数\(\tan \left( x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(3x^{2}+2x+1\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、多項式関数の連続性より、\(3x^{2}+2x+1\)は点\(0\)において連続です。\(3\cdot 0^{2}+2\cdot 0+1=1\)ですが、正接関数は点\(1\)の周辺の任意の点において定義されているため、正接関数の連続性より、\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(0\)において連続です。
例(正接関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は\(f\)の定義域です。\(f\)は点\(0\)において連続であることを示します。\(f\)は有理関数\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)と余弦関数\(\cos \left(x\right) \)の合成関数であることに注意してください。\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(0\)の周辺の任意の点において定義されているため、有理関数の連続性より、\(\frac{x^{2}-1}{x-1}\)は点\(0\)において連続です。\(\frac{0^{2}-1}{0-1}=1\)ですが、正接関数は点\(1\)の周辺の任意の点において定義されているため、正接関数の連続性より、\(\tan \left( x\right) \)は点\(1\)において連続です。したがって、合成関数の連続性より、\(f\)は点\(0\)において連続です。

 

正接関数の片側極限

片側連続性に関しても先と同様の命題が成り立ちます。

命題(正接関数の片側連続性)
正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)以上の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\tan \left( x\right) \)は点\(a\)において右側連続である。また、\(\tan \left(x\right) \)が定義域上の点\(a\in X\)以下の周辺の任意の点において定義されているならば、\(\tan \left(x\right) \)は点\(a\)において左側連続である。
例(正接関数の連続性)
有界開区間上に正接関数\(\tan \left( x\right) :\mathbb{R} \supset \lbrack 0,\frac{\pi }{2})\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。定義域の点\(a\in \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) \)を任意に選んだとき、正接関数の極限より、\(\tan \left( x\right) \)は点\(a\)において連続です。定義域の端点\(0\)に注目したとき、正接関数の右側連続性より、\(\tan \left( x\right) \)は点\(0\)において右側連続です。したがって、\(\tan \left( x\right) \)は\([0,\frac{\pi }{2})\)上で連続です。
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